两类曲面积分的关系及其应用

PAGEPAGE10ADDINCNKISM.UserStyle两类曲面积分的关系及其应用学生姓名：陶其亮学号：20231054126所在院系：数学与统计学院专业：数学与应用数学指导教师：李艳梅老师目录TOC\o"1-3"\u摘要 3关键词 3Abstract 3Keywords 3前言 41．预备知识 41.1两类曲面积分的定义与相关性质 4〔1〕第一型曲面积分的定义 4〔2〕第二型曲面积分的定义 4〔3〕两类曲面积分的相关性质 51.2两类曲面积分的关系 52．两类曲面积分关系的应用 52.1将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分 52.2将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分 103.小结 11参考文献 11致谢 12ADDINCNKISM.UserStyle两类曲面积分的关系及其应用摘要：本文讨论了两类曲面积分的关系并给出了其应用.关键词：曲面，侧，第一型曲面积分，第二型曲面积分TherelationshipbetweenthetwokindsofsurfaceintegralsanditsapplicationAbstract：Inthispaper,therelationshipbetweenthetwokindsofsurfaceintegralsarediscussedandtheapplicationsaregiven.Keywords：Thecurvedsurface;side;thefirsttypeofsurfaceintegral;thesecondtypeofsurfaceintegral0.前言在数学分析中第二型曲面积分的计算是一个重点也是一个难点问题[1].假设空间区域是由分片光滑的双侧封闭曲面所围成，函数在上具有一阶的连续偏导数，那么可以利用高斯公式计算第二型曲面积分[2].假设曲面在面上的投影为一条线，且被积函数及它们的一阶偏导数不连续的情况下，那么通常用直接投影法来处理[3].当曲面的方程由参数形式给出时，可以用参数形式计算[4-7].当然第二型曲面积分还可以利用stokes公式化为第二型曲线积分来计算[5～6].如果在上述方法都无法解决的情况下，我们可以考虑利用两类曲面积分之间的关系计算第二型曲面积分[8].下面将探讨两类曲面积分的关系以及这种关系的应用.1．预备知识1.1两类曲面积分的定义与相关性质〔1〕第一型曲面积分的定义定义1[9]设是空间中可求面积的曲面，为定义在上的函数.对曲面作分割，它把分成个小曲面块，以记小曲面块的面积，分割的细度{的直径}.在上任取一点，假设极限存在，且与分割及的取法无关，那么称此极限为在上的第一型曲面积分，记作.〔2〕第二型曲面积分的定义定义2[9]设为定义在双侧曲面上的函数.在所指定的一侧作分割，它把分为个小曲面，分割的细度{的直径}，以分别表示在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定.假设的法线正向与轴正向成锐角时，在平面的投影区域的面积为正.反之，假设法线正向与轴正向成钝角时，它在平面的投影区域的面积为负.在各个小曲面上任取一点.假设存在，且与曲面的分割和在上的取法无关，那么称此极限为函数在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作.〔3〕曲面积分的相关性质(ⅰ)假设积分曲面关于具有轮换对称性，那么.(ⅱ)[9]设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成.假设函数，,在上连续，且有一阶连续偏导数，那么=，其中取外侧.1.2曲面积分的关系定理1[9]：设曲面为光滑曲面，正侧的法向量为，，，在上连续，那么有=.推论设光滑曲面的方程为，而，，在上连续，那么=.定理2[9]：设是定义在光滑曲面：，上的连续函数，以的上侧为正侧，那么=.2．两类曲面积分关系的应用2.1将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分例1把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分，其中：〔1〕是平面在第一卦限的局部的上侧；〔2〕是抛物面在面上方的局部的上侧.解〔1〕平面上侧的法向量为，其方向余弦为，，，于是=〔2〕因是抛物面在面上方的局部的上侧，所以其法线向量应取为，其方向余弦为，，于是==例2计算，为平面在第Ⅳ象限局部的上侧,其中为上的连续函数.解由于是抽象函数，所以原曲面积分无法通过投影化为二重积分来计算；又因为函数是连续函数，不一定有一阶连续偏导数，所以也不能应用高斯公式，因此可考虑转化为第一类曲面积分来计算.平面的法向量，那么，.====.例3计算曲面积分，其中，取上侧.解如果直接计算，需要把分别投影到和平面上，且积分需要分前侧与后侧，现在利用两类曲面积分的关系，先转化为第一型曲面积分，再统一计算二重积分.，，=======.例4计算出积分，其中为圆锥面介于，取外侧.解的方程为，选取外侧，那么，.令,,.原式======.例5计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及之间的局部的下侧.解，,,令，，.原式======.例6计算，其中1〕是顶点为，，的三角形的下侧.2〕是的外侧.解1〕因曲面的方程为或，关于为轮换对称，有.由对称性，只需计算，由于取的是的下侧，所以法向量为.在平面上的投影为，于是有==，.2)外侧的单位法向量为，得，，.这是因为的方程中换为形式不变，而被积函数将换为要变号，于是有.同理其余两个积分为零，最后得.2.2将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分利用第一型曲面积分与第二型曲面积分之间的关系，可以把第一类曲面积分转化为第二类曲面积分计算，即=,其中，，和是有向曲面处于点处的法向量的方向余弦.例7求，其中为上半球面取下侧.解将第一型曲面积分化为第二型曲面积分，表示上半球面的下侧，这时法线与轴成钝角，,故====.例8计算，其中曲面为.解将所围成的空间闭区域记为.令，那么选取在任一点处的外法向量为，将其单位化为而此时====，====,故有.3.小结在计算两类曲面积分的过程中，假设常用方法比拟困难或者无法计算时，可以考虑用两类曲面积分的关系计算两类曲面积分.参考文献[1]赵艳辉.第二型曲面积分的计算[J].湖南科技学院学报,2023,34(8):5-8.[2]柴春红.第二类曲面积分的计算方法[J].数学学习,2023,7(2):32-33.[3]景慧丽.第二类曲面积分的计算方法[J].高等数学研究,2023,14(4):87-91.[4]甘泉.第二型曲面积分的参数形式计算[J].高等数学研究,2023,13(1):85-87.[5]吴燕.第二类曲面积分的五种求法[J].考试周刊,2023,33(1):72-73.[6]张云艳.第二型曲面积分计算的几种方法及应用[J].泰山学院学报,2023,26(6):36-39.[7]杨孝先.计算第二型曲面积分的实例分析[J].高等数学研究,2001,4(1):34-36.[8]孟庆贤.第二型曲面积分与曲面无关性[J].河北民族师范学院学报,1994,S2:114-115.[9]华东师范大学数学系.数学分析〔下册〕