2023-2024学年苏教版必修第二册 14-4-1　用样本估计总体的集中趋势参数 学案

14.4用样本估计总体14.4.1用样本估计总体的集中趋势参数新课程标准解读核心素养1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义数据分析2.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值数学运算现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：（单位：年）甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.问题三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？

知识点一均值与平均数1.均值：一般地，我们把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值.2.平均数：（1）n个样本数据a1，a2，…，an的平均数：a＝a1＋（2）若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.提醒关于平均数的理解和计算方法：①平均数是统计中的一个重要的特征数，它与每一个数据都有关系，能表示数据的平均水平；②平均数的符号表示为x＝1n∑i=1nxi，x＝∑i=1nxipi，其中pi是xi的频率；③若取值为x1，x2，…，xn的频数分别为m1，m2，…，mn，则样本容量为m1＋m2＋…＋mn＝∑i=1如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjn，第j层的样本量为nj，样本平均数为xj，j＝1，2，…，k，记∑j=1knj＝提示：x＝1n∑j=1k∑t=1nJ为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.5m，由此可推断我国13岁的男孩平均身高为（）A.1.54mB.1.55mC.1.56mD.1.57m解析：Cx＝300×1.6+200×1知识点二众数与中位数1.众数：一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数.2.中位数：一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数.提醒（1）一组数据的平均数、中位数都是唯一的.众数不唯一，可以有一个，也可以有多个（如1，2，2，3，3，4，5，6这组数的众数是2和3），还可以没有（如1，2，3，4，5，6这组数就没有众数）；（2）一组数据的众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）中位数是一组数据中间的数.（）（2）众数是一组数据中出现次数最多的数.（）（3）如果在n个数据中，x1，x2，…，xn出现的频率分别为f1，f2，…，fn，则x＝x1f1＋（4）平均数反映了总体的平均水平.（）答案：（1）×（2）√（3）×（4）√2.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是（）A.平均数＞中位数＞众数B.平均数＜中位数＜众数C.中位数＜众数＜平均数D.众数＝中位数＝平均数解析：D众数为50，平均数x＝18×（20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80）＝50，中位数为12×（50＋50）题型一平均数、众数与中位数的计算【例1】某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行锻练，两群市民的年龄如下（单位：岁）：甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.（1）甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？（2）乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？解（1）甲群市民年龄的平均数为13+13+14+15+15+15+15+16+17+1710＝15（岁中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.（2）乙群市民年龄的平均数为54+3+4+4+5+6+6+6+6+5610＝15（岁中位数为6岁，众数为6岁，由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.通性通法中位数、众数、平均数的应用要点中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”、“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用.（1）求中位数的关键是将数据排序，一般按照从小到大的顺序排列.中位数仅与数据的排列位置有关，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势；（2）确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数.当一组数据中有数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势；（3）平均数与每一个数据都有关，受个别极端数据（比其他数据大很多或小很多的数据）的影响较大，因此若存在少量极端数据，则平均数不能反映数据的集中趋势，这时往往用众数或中位数反映该组数据的集中趋势.有时也采用剔除最大值与最小值后计算所得的平均数反映该组数据的集中趋势.某学习小组在某次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是（）A.85、85、85B.87、85、86C.87、85、85D.87、90、85解析：C从小到大排列为75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察可知，众数、中位数分别为85、85，计算得平均数为87.题型二总体集中趋势的估计【例2】某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率直方图如图.（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数、中位数和平均数的估计值；（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？解（1）由（0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025）×20＝1，得x＝0.0075，∴直方图中x的值为0.0075.（2）月平均用电量的众数是220+2402＝230（度）∵（0.002＋0.0095＋0.011）×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则（0.002＋0.0095＋0.011）×20＋0.0125×（a－220）＝0.5，解得a＝224，即中位数为224度.月平均用电量的平均数为x＝170×（0.002×20）＋190×（0.0095×20）＋210×（0.011×20）＋230×（0.0125×20）＋250×（0.0075×20）＋270×（0.005×20）＋290×（0.0025×20）＝170×0.04＋190×0.19＋210×0.22＋230×0.25＋250×0.15＋270×0.1＋290×0.05＝6.8＋36.1＋46.2＋57.5＋37.5＋27＋14.5＝225.6.（3）月平均用电量在[220，240）的用户有0.0125×20×100＝25（户），同理可求月平均用电量为[240，260），[260，280），[280，300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为1125+15+10+5＝15，∴从月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×15＝5（通性通法借助频率直方图求平均数、众数、中位数的方法技巧（1）平均数：在频率直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替；（2）中位数：在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；（3）众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.提醒因为样本数据的频率直方图只是直观地表明样本数据分布的形状，并且从直方图本身得不出原始的数据内容，所以由频率直方图得到的众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据不一样，但是它们能粗略地估计众数、中位数和平均数.对一批底部周长（单位：cm）在[80，130]内的树木进行研究，从中随机抽出200棵树木并测出其底部周长，得到频率直方图如图所示，由此估计，这批树木的底部周长的众数是cm，中位数是cm，平均数是cm.

解析：由题图知，底部周长的众数是100+1102＝105（cm）；中位数是0.05－0.015－0.0250.03×10＋100＝103＋100＝3103（cm）；平均数是0.15×85＋0.25×95＋0.3答案：10531031.运动员参加体操比赛，当评委亮分后，往往是先去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是为了（）A.减少计算量B.避免故障C.剔除异常值D.活跃赛场气氛解析：C在体操比赛的评分中使用的是平均分.记分过程中采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数，对选手的得分造成较大的影响，从而可以降低误差，使得比赛尽量公平.2.10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a解析：Da＝15+17+14+10+15+17+17+16+14+1210＝14.7，因为这组数据中，17出现的次数最多，所以c＝17.这些数据由小到大排列依次是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，因此b＝15，所以c＞b＞a3.如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是（）A.5B.6C.7D.8解析：D这5个数的平均数为：x＝（＝x1＋x2＋x3＋4.某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量/度120140160180200户数23672则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（）A.180，170B.160，180