【数学】2023-2024学年高一上人教A版（2019）必修第一册 两角和与差的正切公式

第五章三角函数第三课时两角和与差的正切公式课标要求1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.素养要求从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，感悟数学抽象的作用，提升逻辑推理、数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究12.问题回顾同角的商数关系，以及两角和的正弦、余弦公式，回答下面问题. (1)怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？分子分母同除以cosαcosβ，弦化切可得.(2)由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？提示

用“－β”替换tan(α＋β)中的角β.(3)在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？3.填空

(1)两角和与差的正切公式简记符号公式使用条件T(α＋β)tan(α＋β)＝________________α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)T(α－β)tan(α－β)＝_______________

α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)(2)S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)都叫做____角公式；S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)都叫做____角公式.(3)公式变形：tanα＋tanβ＝_________________________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β).tanα－tanβ＝_________________________________.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β).和差tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)－3√5.思考辨析正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”. (1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立.(

)××HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2A题型一公式的正用、逆用、变形用－1解析∵tan23°＋tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)，思维升华(2)原式＝1＋(tan18°＋tan27°)＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝1＋tan45°＝2.2C题型二条件求值(角)C1.关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，建立与待求式间的联系，进而求值.2.关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.思维升华(2)若α，β均为钝角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β.解∵(1－tanα)(1－tanβ)＝2，∴1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2，∴tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，题型三两角和与差的正切公式的综合应用因为tanα＋tanβ<0，tanαtanβ>0，所以tanα<0，tanβ<0，1.当化简的式子中出现“tanα±tanβ”与“tanα·tanβ”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似.2.在应用公式求值时，要注意隐含的条件，能缩小角的范围.思维升华训练3

已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tanA，tanB是方程3x2－6x＋2＝0的两个根，试判断△ABC的形状.所以tanA>0，tanB>0，又A，B，C∈(0，π)，` 又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)所以△ABC为钝角三角形.课堂小结1.要熟练掌握两角和与差的正切公式及其变形公式，在题目中只要见到tanα ±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成3DC3.已知A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值为(

)A.1 B.2C.－2 D.不确定解析

(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋(tanA＋tanB)＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2.BAA.tan42° B.tan3°C.1 D.tan24°CD7.设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为________.

解析

由题意知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，－38.化简：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值为_______.

解析

原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan20°＋tan10°)1＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.解∵tanα，tanβ是方程6x2－5x＋