人教版八年级数学上册 第十二章 章末复习与小结

章末复习与小结第十二章全等三角形专题选讲知识网络重难突破课后习题知识网络全等形全等三角形应用对应边相等，对应角相等边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）斜边、直角边（HL）判定性质角平分线的性质尺规作图——作角平分线角的平分线的性质定理角的平分线的性质定理的逆定理方法专题4

证明三角形全等的常见思路与方法P30方法专题5构造全等三角形的常用方法P38本章专题索引专题选讲专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法证明三角形全等的常见思路与方法找边找角类型四已知直角三角形的直角边（或斜边）相等，找斜边（或直角边）相等类型一已知两边对应相等，找第三边相等类型二已知两角对应相等，找夹边相等类型三已知两角对应相等，找其中一角的对边相等类型六已知一边与一角对应相等，找

另一角相等类型五已知两边对应相等，找夹角相等专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法类型一已知两边对应相等，找第三边相等例如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB.求证：∠F=∠C.证明：∵DA=BE，∴DE=AB.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.∴∠F=∠C.

AB=DE，

AC=DF，

BC=EF，类型二已知两角对应相等，找夹边相等例如图，∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠DBC，求证：△ABD≌△CDB.∴△ABD≌△CDB（ASA）.证明：在△ABD和△CDB中，∠ABD=∠CDB,BD=DB,∠ADB=∠CBD,专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法类型三已知两角对应相等，找其中一角的对边相等专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法例两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？类型三已知两角对应相等，找其中一角的对边相等专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法解：全等.理由如下：∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF,AB=BD,∠A=∠D，∴AB-BF=BD-BC,即AF=DC.在△AOF和△DOC中，∴△AOF≌△DOC.∠A=∠D,∠FOA=∠COD,AF=DC,类型四已知直角三角形的直角边（或斜边）相等，找斜边（或直角边）相等例如图，∠A=90°，AB=BD，ED⊥BC于点D，判断AE和DE之间的数量关系，并说明理由.专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法∴AE=DE.解：AE=DE.理由如下：连接BE.∵ED⊥BC，∴∠BDE=90°=∠A.在Rt△BEA和Rt△BED中，∴Rt△BEA≌Rt△BED（HL）.BE=BE，BA=BD，类型五已知两边对应相等，找夹角相等例如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC.求证：∠C=∠E.专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法∴∠C=∠E.证明：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE，即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）.AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，类型五已知两边对应相等，找夹角相等专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法

利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看是否能证明这两个三角形全等；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质。方法指导练一练：如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD.类型五已知两边对应相等，找夹角相等专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法∴△ACD≌△EBD（SAS）.证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ACD和△EBD中，CD=BD,∠ADC=∠EDB,DA=DE,类型六已知一边与一角对应相等，找另一角相等例如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE，求证：△ABC≌△DAE.专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法∴△ABC≌△DAE（ASA）.证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠EDA.在△ABC和△DAE中，∠CAB=∠EDA,AB=DA,∠B=∠DAE,练一练：如图，已知∠BDC=∠CEB=90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：（1）△ADO≌△AEO;（2）△BDO≌△CEO.类型六已知一边与一角对应相等，找另一角相等专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法类型六已知一边与一角对应相等，找另一角相等专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法∴△BDO≌△CEO（ASA）.证明：（1）∵AO平分∠BAC，∴∠DAO=∠EAO.∵∠BDC=∠CEB=90°,∴∠ADO=∠AEO.在△ADO和△AEO中，∴△ADO≌△AEO（AAS）.（2）∵△ADO≌△AEO,∴DO=EO.在△BDO和△CEO中，∠ADO=∠AEO,∠DAO=∠EAO,AO=AO,∠BDO=∠CEO,DO=EO,∠DOB=∠EOC,专题选讲——

证明三角形全等的常见思路与方法

边相等呈现的方式：

①公共边（包括全部公共和部分公共）；②中点.

角相等呈现的方式：

①公共角；②对顶角；③角平分线；④垂直；⑤平行.专题选讲——

构造全等三角形的常用方法类型一利用“角平分线”构造全等三角形

因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个（角相等和公共边相等），故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：（1）在角的两边截取两条相等的线段；（2）过角平分线上一点作角两边的垂线.方法指导例如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC=PD.专题选讲——

构造全等三角形的常用方法方法一利用“角平分线”构造全等三角形专题选讲——

构造全等三角形的常用方法方法一利用“角平分线”构造全等三角形∴PC=PD.证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEC=∠PFD=90°.∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF.∵∠AOB=90°,∠CPD=90°,∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°.∵∠PDO+∠PDF=180°，∴∠PCE=∠PDF.在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS）.∠PCE=∠PDF,∠PEC=∠PFD,PE=PF,FE方法二利用“截长补短法”构造全等三角形

在△ABC中，AD平分∠BAC.如图1，延长AC到点E，使AE=AB，则△AED≌△ABD；如图2，在AB上截取AE=AC，则△AED≌△ACD.方法指导专题选讲——

构造全等三角形的常用方法方法二利用“截长补短法”构造全等三角形例如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由.专题选讲——

构造全等三角形的常用方法方法二利用“截长补短法”构造全等三角形∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.解：AB=AC+CD.理由如下：在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD.在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD.∵∠C=2∠B，且∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE.过点E作EF⊥BD，∴∠EFB=∠EFD.在△BEF和△DEF中，∴△BEF≌△DEF（AAS）.∴BE=DE，EFAE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∠B=∠EDF，∠EFB=∠EFD，EF=EF，专题选讲——

构造全等三角形的常用方法方法二利用“截长补短法”构造全等三角形专题选讲——

构造全等三角形的常用方法

遇到角平分线问题时，截长补短，构造全等三角形是一种常用的添加辅助线的方法.方法总结方法三利用“倍长中线法”构造全等三角形专题选讲——

构造全等三角形的常用方法例如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点.求证：DE=2AM.

将中线延长一倍，然后利用“SAS”证三角形全等.方法指导方法三利用“倍长中线法”构造全等三角形专题选讲——

构造全等三角形的常用方法∴DE=NA∴DE=2AM.证明：延长AM至点N，使MN=AM，连接BN.∵点M为BC的中点，∴BM=CM.在△AMC和△NMB中，∴△AMC≌△NMB（SAS）∴AC=BN,∠C=∠NBM,∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.∵AD=AC,∴BN=AD.在△ABN和△EAD中，∴△ABN≌△EAD（SAS）.AM=NM，∠AMC=∠NMB，MC=MB，AB=EA,∠ABM=∠EAD,BN=AD,N方法四巧用“三垂直”构造全等三角形专题选讲——

构造全等三角形的常用方法

如图，若AB=AC，AB⊥AC，则可过斜边的两端点B，C向过A点的直线作垂线构造△ABD≌△CAE.在坐标系中，过顶点A的直线常为x轴或y轴.方法指导方法四巧用“三垂直”构造全等三角形专题选讲——

构造全等三角形的常用方法例如图，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，B（0，2），C（2，-2），求点A的坐标.方法四巧用“三垂直”构造全等三角形专题选讲——

构造全等三角形的常用方法∴A（-4，0）.解：过点C作CM⊥y轴于点M.∵点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（2，-2），∴BO=CM=OM=2.在Rt△AOB和Rt△BMC中，∴Rt△AOB≌Rt△BMC（HL）.BO=CM，AB=BC，∴AO=BM=BO+OM=4，M重难突破角平分线的性质1B例1

如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB于点M，CN⊥AD于点N，且BM=DN，则∠ADC与∠ABC的大小关系是（）A.相等B.互补C.和为150°D.和为165