考虑剪切变形的梁体挠度计算

考虑剪切变形的梁体挠度计算

1钢腹板组合箱梁挠度结果分析波形钢腹部组合箱梁是一种新型的钢-混凝土组合结构。其结构特征是，剖面中的弯曲角由由混凝土底板的轴力组成的内力臂组成，切割力主要由波形钢腹部板支撑。钢腹板的剪切模量虽比混凝土大,但其提供的抗剪面积却很少,同时由于波形钢腹板中的斜板段剪切刚度不直接,因此褶皱形钢腹板组合箱梁中剪切变形产生的挠度比混凝土腹板箱梁显著增大。针对剪切变形对波形钢腹板组合箱梁桥挠度的影响,目前已有学者进行了相关研究。文献按静力法推导了简支梁承受跨中集中荷载时的挠度计算公式;文献运用结构力学中的单位荷载法原理讨论挠度计算方法,但未给出一般的解析表达式;文献通过假定位移场,提出了考虑剪切变形的波形钢腹板箱梁位移计算方法,但计算公式很复杂;文献提出了基于弹性的G3理论;文献在文献的基础上提出了基于弹塑性的G3理论,分别对考虑剪切变形时简支梁的挠度进行分析,但过程复杂且没有给出计算的显式。此外,文献、通过试验也说明剪切变形对挠度有很大的影响。考虑到简支梁是一种基本的结构形式,同时悬臂梁是大跨度桥梁悬臂施工中必须经历的一种受力工况。笔者运用能量法推导了波形钢腹板组合箱梁在简支、悬臂两种情形下,考虑剪切变形的挠度计算公式,据此可以定量研究剪切变形对总挠度的贡献程度。2变能与剪切应变能根据结构能量原理,外力功等于梁的弯曲应变能与剪切应变能之和。考察剪切变形对波形钢腹板组合箱梁挠度计算的影响,首先需确定波形钢腹板组合箱梁的弯曲与剪切应变能。2.1混凝土弹性模量计算方法梁的弯曲应变能在数值上等于作用在梁上的弯矩所做的功,因此梁内弯曲应变能为:UΜ=∫l0Μ2x2EcΙdx(1)UM=∫l0M2x2EcIdx(1)式中:Mx为任意位置处的弯矩;Ec为混凝土的弹性模量;I为抗弯惯性矩,这里仅计入顶板、底板面积至截面形心的二次矩,其精度可满足要求,计算式如下:Ι=Auγ2(h-to)2+Abβ2(h-to)2(2)I=Auγ2(h−to)2+Abβ2(h−to)2(2)式中:h为梁高;Au和Ab分别为顶、底板面积;γ=Ab/(Au+Ab)γ=Ab/(Au+Ab);β=Au/(Au+Ab);to=(tu+tb)/2‚tu和tb分别为顶、底板厚度(图1)。2.2斜板段在表达波形钢腹板的剪切应变能时,引入两点假定:1)截面内剪力完全由波形钢腹板承担;2)由于实桥中波形钢腹板的直板段和斜板段长度一般相等,同时为使解析公式简洁,假定b1=b2,如图2所示。波形钢腹板内的剪切应变能密度为:u=12τ2Gs=12Q2xGsA2(3)式中:Qx为任意位置处的剪力;Gs为波形钢腹板的剪切模量;A为抗剪面积,A=2tw(h-tu-tb)‚tw为波形钢腹板板厚。于是,直板段微元体内(图3)的剪切应变能为:ˉUQez=tw2Q2xGsA2dydz(4)斜板段对竖向挠度的贡献与直板段有所不同。首先将斜板段修正为等效厚度为tw′=tw/cosθ的直板段,如图4所示,θ为波折角(图2),则它的计算剪应力减少到τcosθ。为了与等效前斜板段的能量密度相同,即有u′=u=τ2/(2Gs),对斜板段的剪切模量进行修正,Gs′=Gs(cosθ)2。则斜板段微元体内的剪切应变能为:ˉUQex=12Q2xGs′(A/cosθ)2twcosθdydz=tw2cosθQ2xGsA2dydz(5)则波形钢腹板组合箱梁在竖向剪力作用下,梁内总的剪切应变能UQ为腹板直板段总剪切应变能UQz与腹板斜板段总剪切应变能UQx之和:UQ=UQz+UQx=2∫l0∫hfx0Q2x2GsA22tw1+cosθdxdy=2∫l0∫hfx0twQ2xGsA2(1+cosθ)dxdy(6)3考虑剪切变形作用的波形钢腹板组合箱梁挑战变形归因在确定波形钢腹板组合箱梁的弯曲与剪切应变能的基础上,运用能量法,对波形钢腹板组合箱梁挠度计算公式进行推导分析,集中力作用下为:12Ρδ=UΜ+UQ(7)式中:δ为集中力作用位置的挠度。均布力作用下为:∫l0qx2ydx=UΜ+UQ(8)即为应用瑞利-里兹法求解均布荷载下的挠度。对简支梁选取满足边界条件的形函数:y=a1x(l-x)(9)对悬臂梁选取满足边界条件的形函数:y=a1(x-x33l2)(10)将形函数代入式(8),求出待定常数a1,即可得到所需位移。以下建立在简支和悬臂两种情况下考虑剪切变形的波形钢腹板组合箱梁挠度计算公式。主要考虑两种荷载情况:集中荷载作用,剪力沿梁纵向不变;线荷载作用,剪力沿梁纵向变化。具体如图5～8所示。上述4种情况下,利用式(7)、(8),推导得到简支梁的跨中位移以及悬臂梁的端部位移的计算公式:(1)跨中集中力作用下的简支梁跨中位移δ=Ρl348EcΙ+Ρl2GsA(1+cosθ)=Ρl348EcΙ(1+ηp,s)(11)(2)均布力作用下的简支梁跨中位移δ=5ql4384EcΙ+ql24GsA(1+cosθ)=5ql4384EcΙ(1+ηq,s)(12)(3)端部集中力作用下的悬臂梁端部位移δ=Ρl33EcΙ+2ΡlGsA(1+cosθ)=Ρl33EcΙ(1+ηp,c)(13)(4)均布力下的悬臂梁端部位移δ=ql48EcΙ+16ql215GsA(1+cosθ)=ql48EcΙ(1+ηq,c)(14)上述各公式中:η为剪切变形与弯曲变形的比值,下标i和j分别表示荷载形式和结构形式,其中:ηp,s=24EcΙ/[GsAl2(1+cosθ)];ηq,s=96EcΙ/[5GsAl2(1+cosθ)];ηp,c=6EcΙ/[GsAl2(1+cosθ)];ηq,c=128EcΙ/[15GsAl2(1+cosθ)]。4质量分数和长度为了验证上述公式的准确性及进行相关参数分析,分别运用上述公式和有限元建模计算在承受集中力和均布力时的挠度。模型顶板宽16m,底板宽7.4m,梁高6m,顶板、底板厚度分别为0.4、0.5m,波形钢腹板板厚0.01m,直板段与斜板段均为41cm,波高24cm,波折角为36°。为比较不同的跨度和悬臂长度,考虑以下跨度和悬臂长度:10.5、18、25.5、33、40.5、48m。简支状态时,跨中集中力P为100000kN,均布力q为4000kN/m。悬臂状态时,端部集中力P为10000kN,均布力q为400kN/m。4.1模型1:波形钢腹板单元模型顶、底板以及墩顶横隔板采用实体单元Solid45模拟,波形钢腹板采用弹性板壳单元Shell63模拟。在建模时注意波形钢腹板的波折线与顶、底板的波折线完全重合,保证腹板与上、下翼板的节点吻合。波形钢腹板与混凝土顶底板之间通过共用节点来连接,由于实体单元没有转动自由度,如果仅用一排节点来耦合两者,则弯矩无法有效在两者间传递,因此需将波形钢腹板单元嵌入实体单元,通过几排节点共同耦合。整个模型均采用映射网格划分。为提高效率,简支梁和悬臂梁均只建立整个结构模型的1/2,边界采用对称约束,以符合实际情况,如图9所示。4.2杆系有限元模型的建立运用上文所推导的公式以及有限元进行计算分析,主要结果如图10～15所示。由图10～13可见,公式(11)～公式(14)的计算结果和实体有限元的计算结果总体上很接近,误差基本上在10%之内,说明推导的计算公式具有足够的计算精度。由图14、15可见,η随着跨高比的增大而减小,在正常的跨高比范围内,其数值大于10%,说明了剪切变形不能忽略,且相对悬臂结构,剪切变形在简支结构中所占比例更大。此外,随着波折角的增加,剪切变形的影响也有所增加。由于目前桥梁设计一般采用杆系有限元建模,对波形钢腹板组合箱梁进行分析时,经常按照重量等效和弹性模量等效的原则,将波形钢腹板转化成混凝土腹板来考虑。这里针对简支梁和悬臂梁建立杆系有限元模型(MIDAS)进行计算,并与公式计算结果进行比较,如图16、17所示。从图16、17可见,杆系有限元的计算结果和公式的计算结果很接近。实际上,波折角是反映褶皱效应的一个有效参数,在不改变直板段和斜板段长度的前提下,选取一系列波折角,分别运用公式(14)和杆系有限元进行计算,结果如表1所示。由表1可见,在波折角较小时,公式计算结果和杆系有限元的计算结果很接近,但当波折角大于60°时,公式与杆系有限元的计算结果出现较大偏差,随着波折角的增大,挠度不断增加,且波折角越大,挠度增加的幅度越大。5钢腹板组合箱梁弯管变形响应分析结果(1)运用能量法探讨了考虑剪切变形的波形钢腹板箱梁的挠度计算方法。针对简支梁和悬臂梁两种基本结构,具体建立了在跨中集中力和均布荷载作用下的挠度计算公式,即公式(11)至公式(14),公式简洁且精度较高,能为工程设计所使用。(2)参数分析表明:随着简支梁跨度或悬臂梁长度减小,剪切变形挠度所占比例增大,在