基于模糊系统的多输入多输出非线性预测控制

基于模糊系统的多输入多输出非线性预测控制

作为下一代的航空航天飞机，空天飞机（asv）引起了各国的高度关注。在其高超声速无动力再入返回过程中,飞行环境变化大,难以建立精确的再入飞行运动方程,另外ASV还受到外界扰动和测量误差等不确定因素的影响。因此ASV对飞行控制系统的稳定性和控制精度有着更高的要求。预测控制是一种基于模型的优化控制算法,已经广泛应用于化工、冶金等工业工程。近年来,非线性预测控制理论得到了进一步的研究和发展,文献利用CLF(ControlLyapunovFunction)设计终端项来保证系统的稳定性。文献基于线性矩阵不等式求解预测控制律。文献提出了一种具有闭合解析形式的非线性最优预测控制算法,设计过程简单,避免了预测控制的在线优化计算。然而预测控制通常要求被控对象精确已知,干扰、建模误差等不确定因素对预测控制的影响较大,甚至可能使其失效。因此如何结合预测控制与鲁棒控制,设计出非线性鲁棒预测控制律有着重要的研究意义。已经证明,模糊系统具有逼近非线性系统中的未知函数和不确定因素的能力,将模糊系统应用于非线性不确定系统的控制,已经成为理论界和工程界研究的热点,并取得了大量的研究成果。为此,针对一类多输入多输出不确定非线性系统,本文提出了一种基于自适应模糊系统的预测控制方法。根据系统的跟踪误差在线调整模糊系统的权值,使得模糊系统逼近被控对象中的未知函数,通过泰勒展开设计基于模糊自适应系统的非线性预测控制律,减轻了预测控制的计算负担。引入鲁棒自适应控制器消除了不确定和模糊建模误差对系统的影响,提高了系统的动态性能。基于Lyapunov稳定理论,证明了闭环系统最终一致有界稳定。最后对ASV再入飞行的姿态控制进行了仿真,验证结果表明了该方法的有效性。1在线状态可微考虑如下形式的一类非线性系统:˙x=f(x)+g(x)uy=h(x)}(1)式中:状态变量x∈Rn;控制变量u∈Rm;输出变量y∈Rm;函数f∈Rn;g∈Rn×m。对系统式(1)做出如下假设:假设1系统的输出信号和参考信号对时间t连续可微。假设2系统所有状态可测。假设3系统相对阶为ρ,且零动态稳定。定义如下优化性能指标:J=12∫Τ0eΤ(t+τ)e(t+τ)dτ(2)式中:T为滚动预测时间段,跟踪误差为e(t+τ)=y(t+τ)-w(t+τ)(3)式中:y(t+τ)为预测时间段的预测输出;w(t+τ)为预测时间段的期望输出。非线性预测控制采取的是滚动优化的控制算法,通过对性能指标式(2)求最优来确定未来的控制量,以达到系统式(1)的输出y(t)最优跟踪期望参考轨迹w(t)的目的。2非线性预测控制器的设计2.1u[r-1]非线性函数控制矢量u的控制阶取为r,将系统输出求导至ρ+r次,则有˙y=Lfh(x)⋮y[ρ-1]=Lρ-1fh(x)y[ρ]=Lρfh(x)+LgLρ-1fh(x)u⋮y[ρ+r]=Lρ+rfh(x)+p1(u,x)+⋯+p2(˙u,u,x)+pr(u[r-1],⋯,u,x)+LgLρ-1fh(x)u[r]}(4)式中:p1,p2,…,pr为关于u,˙u,…,u[r-1]的复杂非线性函数,Lifh(x)为y对f(x)的第i阶Lie导数:{Lfh(x)=(∂h/∂x)Τf(x)L2fh(x)=[∂((∂h/∂x)Τf(x))/∂x]Τf(x)⋮LgLρ-1fh(x)的定义与Lifh(x)类似:LgLρ-1fh(x)=[∂…((∂h/∂x)Tf(x))/∂x]Tg(x)在滚动预测时域内,任一时刻τ的输出y(t+τ)可以近似用Taylor级数表示为y(t+τ)≅Γ(τ)Y(t)(5)Γ(τ)=[1τ⋯τρ+r(ρ+r)!](6)式中:{τ=diag(τ,⋯,τ)‚τ∈Rm×mY(t)=[y˙y⋯y[ρ+r]]Τ同理,参考轨迹w(t+τ)也可以表示为w(t+τ)≅Γ(τ)W(t)(7)式中:W(t)=[w˙w⋯w[ρ+r]]Τ。2.2预测控制律根据式(4)、式(5)和式(7),改写性能指标式(2)为J=12[Y(t)-W(t)]Τ∫Τ0ΓΤ(τ)Γ(τ)dτ(Y(t)-W(t))(8)由此可以推导出非线性系统式(1)闭合解析形式的预测控制律为u=-(G(x))-1(F(x)+ΚΜρ-w[ρ])(9)式中:F(x)=Lρfh(x);G(x)=LgLρ-1fh(x);其他矩阵和变量的含义参见文献。3自适应控制器的设计从前面的分析可以看出,预测控制律是建立在被控对象模型精确已知的基础上,当被控对象存在不确定或者未知函数时,控制器式(9)不能实现。为此,考虑利用自适应模糊系统模糊建模,从而构造基于模糊自适应系统的预测控制律。模糊系统的逼近误差和系统的不确定则通过鲁棒自适应控制器予以消除。这里的模糊控制器采用IF-THEN规则的模糊逻辑系统,它运用单点模糊化、乘积推理和重心法去模糊。第i条规则为ri∶Ιfx1isAi1,andx2isAi2,and⋯andxnisAin,thenyisθi‚i=1,⋯,l。l为模糊系统的规则数,则模糊系统的输出可以定义为y=θTξ(x)。θ=[θ1…θl]T为可调权值参数;ξ(x)=[ξ1(x)…ξl(x)]为模糊基函数,ξi(x)=∏nj=1μaij(xj)l∑i=1(∏nj=1μaij(xj))(10)式中:μaij(xj)为模糊系统的隶属度函数。首先给出如下假设条件:假设4在紧集x∈Mx上,G(x)非奇异且范数有界,同时有σ¯G≥b>0(11)式中:σ¯G为矩阵G(x)的最小奇异值;b为任意非负常数。假设5未知函数F(x)和G(x)为光滑有界函数。在凸区域ΩθF和ΩθG上分别存在模糊系统的最优权值θ*F和θ*G,使得模糊系统输出ˆF(x/θF)和ˆG(x/θG)能以任意精度逼近F(x)和G(x),即在状态可达的紧集x∈Mx上,存在θ*F=argminθF∈ΜθF[supx∈Μx|F(x)-ˆF(x/θF)|](12)θ*G=argminθG∈ΜθG[supx∈Μx|G(x)-ˆG(x/θG)|](13)式中:∥θ*F∥≤ˉθF;∥θ*G∥≤ˉθG;ˆF(x/θF)=θTFξF(x);ˆG(x/θG)=θΤGξG(x);ξF(x)∈Rl;ξG(x)∈Rl×m。定义模糊系统的逼近误差为ε=F(x)-ˆF(x/θ*F)+[G(x)-ˆG(x/θ*G)]u(14)ˉε为ε的上界,不妨令ε¯≤ψ。则预测控制律式(9)改写成u=up+uad(15)式中:up=-[G^(x/θG)]-1[F^(x/θF)+ΚΜρ-w[ρ]]uad=-[G^(x/θG)]-1vad‚vad=ψ^2sΤψ^∥s∥+δs=e⌢ΤΡB}(16)式中:vad为提高系统性能的鲁棒自适应控制器,用来补偿模糊系统逼近误差ε给系统带来的影响;ψ^为对ψ的估计值;δ为设计参数;矩阵P,B和e⌢的定义在后面的分析中给出。定理1考虑形如式(1)的非线性系统,通过选择合适的预测时域T和控制阶r,取形如式(15)的控制律,则在如下参数自适应律:θ˙F=λF(ξF(x,u)s-ΚFθF)(17)θ˙G=λG(ξG(x,u)us-ΚGθG)(18)ψ^˙=λψ(∥s∥-Κψψ^)(19)的作用下,闭环系统一致最终有界。式中:λF,λG,λψ分别为模糊系统和鲁棒控制器的自适应学习律;KF,KG,Kψ为控制器设计参数;‖s‖为Frobenius范数。证明将控制律式(15)和式(16)代入式(4)的y[ρ]中y[ρ]=F(x)-F^(x/θF)+[G(x)-G^(x/θG)]u+F^(x/θF)+G^(x/θG)u(20)可得误差方程,其中第i个方程为ei[ρ]+ki,ρ-1ei[ρ-1]+⋯+ki,0ei=Fi(x)-F^i(x/θF)+[Gi(x)-G^i(x/θG)]u-vadi(21)式中:ki,j为矩阵K的第i行元素(i=1,…,m),取值由预测时域T,相对阶ρ以及控制阶r所决定。根据文献中的推导过程,可以选择合适的参数使得h(e)=e[ρ](t)+ki,ρ-1e[ρ-1](t)+⋯+ki,0(22)为Hurwitz多项式。式(21)可以写成如下形式:e⌢˙=Ae⌢+B(θ˜FΤξF(x)+θ˜GΤξG(x)u+ε-vad)(23)式中:e⌢=[e⌢1⋯e⌢m]Τ∈Rmρe⌢i=[ei⋯eiρ-1]ΤA=diag(A1,⋯,Am)∈Rmρ×mρB=diag(B1,⋯,Bm)∈Rmρ×mAi=[010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮-ki,0-ki,1-ki,2⋯-ki,ρ-1]Bi=[00⋯1]Τ(i=1,⋯,m)θ˜F=θF*-θFθ˜G=θG*-θG}构造如下Lyapunov函数:V=12e⌢ΤΡe⌢+12tr(θ˜FΤλf-1θ˜F)+12tr(θ˜GΤλG-1θ˜G)+12λψψ˜2(25)式中:ψ˜=ψ-ψ^‚ψ^为ψ的估计值;tr表示矩阵的迹;P=diag(P1,…,Pm)∈Rmρ×mρ,Pi为满足下列等式的正定对称阵:ΡiAi+AiΤΡi=-Qi(Qi=QiΤ＞0)(26)式中:Qi为设计参数。将V沿着系统的轨迹进行求导得V˙=e⌢ΤΡe⌢˙+tr(θ˜FΤλF-1θ˜˙F)+tr(θ˜GΤλG-1θ˜˙G)+λψ-1ψ˜ψ˜˙代入式(23)和式(26)化简可得V˙≤-12λmin(Q)∥e⌢∥2+s(ε-ψ^2sΤψ^∥s∥+δ)+ΚFtr[θ˜FΤ(θF*-θ˜F)]+ΚGtr[θ˜GΤ(θG*-θ˜G)]-ψ˜(∥s∥-Κψψ^)(27)式中:Q=diag(Q1,…,Qm)∈Rmρ×mρ。考虑到tr[θ˜FΤ(θF*-θ˜F)]≤∥θ˜F∥θ¯F-∥θ˜F∥2≤12(θ¯F2-∥θ˜F∥2)tr[θ˜GΤ(θG*-θ˜G)]≤∥θ˜G∥θ¯G-∥θ˜G∥2≤12(θ¯G2-∥θ˜G∥2)ψ˜ψ^≤12ψ2-12ψ˜2}(28)以及s(ε-ψ^2sΤψ^∥s∥+δ)-ψ˜∥s∥≤δ(29)综合式(27)～式(29),得V˙≤-12λmin(Q)∥e⌢∥2-ΚF2∥θ˜F∥2-ΚG2∥θ˜G∥2-Κψ2ψ˜2+ΚF2θ¯F2+ΚG2θ¯G2+Κψ2ψ2+δ≤-12a∥Ξ∥2+ϒ(30)式中:a=min(λmin(Q),KF,KG,Kψ);Ξ=[e⌢Τ∥θ˜F∥∥θ˜G∥ψ˜]Τ;ϒ=ΚF2θ¯F2+ΚG2θ¯G2+Κψ2ψ2+δ。因此在紧集BΞ以外,有V˙<0BΞ={Ξ|∥Ξ∥≤2ϒ/a}(31)闭环系统一致最终有界,证毕。备注值得注意的是,根据自适应律式(18)在线调整θG有可能导致式(16)中的G^(x/θG)出现奇异情况,即G^(x/θG)不可逆。目前已经提出了一些理论研究用于解决此类问题,本文主要考虑如下两种方法:(1)对G^-1做如下修改:G^-1=G^Τ(ε1Ι+G^G^Τ)-1(32)设计参数ε1为较小的正实数。式(32)没有改变控制器的结构,因此定理1的理论推导依然适用。(2)采用如下的投影算子:当θG中的某一分量θGi=τi时,采用θ˙Gi={λG(ξGi(x,u)us-ΚGθGi)(ξGi(x,u)us-ΚGθGi>0)0(ξGi(x,u)us-ΚGθGi≤0)(33)否则θ˙G={λG(ξG(x,u)us-ΚGθG)(∥θG∥<ΜθG或∥θG∥=ΜθG‚ξG(x,u)us≤0)proj(λGξG(x,u)us)(∥θG∥=ΜθG‚ξG(x,u)us>0)(34)式中:proj(λGξG(x,u)us)=λG(ξG(x,u)us-ΚGθG)-λGθGθGΤξG(x,u)∥θG∥2us(35)4模拟研究4.1asv的运动方程仿真模型来自文献。考虑ASV做高超声速再入飞行,因此主发动机推力设为0。根据时标分离的原则将ASV的姿态运动方程分成内外回路,内回路的状态变量xf为[pqr]T,气动力矩[lmn]T为控制变量。外回路的状态变量xs为[αβμ]T,控制变量为内回路的输入指令[pcqcrc]T,ASV的运动方程和其他参数参见文献,这里不再赘述。这假设由于不确定因素和气动参数的变化,ASV姿态运动方程的F(x)和G(x)未知。控制器的设计目标为根据跟踪优化性能指标式(2),利用本文提出的自适应模糊预测控制算法,设计出姿态角跟踪所需的气动力矩,并通过分配算法将其映射成ASV的舵面指令信号[δaδeδr]T,使得ASV的姿态角[αβμ]T快速跟踪期望的姿态角指令信号[αcβcμc]T。4.2控制设计(1)隶属函数德型外回路的相对阶ρ=1,选择控制阶r=0,预测时间段T=0.7s。根据2节内容,xs每个变量采用7个模糊语言变量:Aj1(负大),Aj2(负中),Aj3(负小),Aj4(零),Aj5(正小),Aj6(正中),Aj7(正大),对应的隶属函数为μAji(xj)=exp[-(xj-μi)2](36)式中:i=1,…,7;j=1,2,3;μi=-0.5,-0.3,-0.1,0,0.1,0.3,0.5。这里分别使用7条模糊规则来逼近Fs和Gs中的每个变量:rl∶Ιfx1isA1i,andx2isA2i,andx3isA3i,thenyisFl‚l=1,⋯,7模糊系统的权值初始值选择为θF0=0,θG0的选择要保证G^s非奇异,选择如下:θG0=[1.01.00-0.5-1.0-0.5-1.0-1.0001.01.00-0.50.50-0.5-0.30.50-0.5]其他设计参数为Q=5I3×3,λF=10,λG=2,λψ=2,KF=1,KG=0.1,Kψ=1,δ=0.1。(2)模糊控制器的控制器设计内回路控制器设计和外回路的设计方法相似,这里不再复述,由于Gf为常值矩阵,所以只需建立模糊系统逼近Ff,预测控制器的控制阶r=0,预测时间段T=0.3s。模糊系统的权值初始值选择为θF=0,其他设计参数选择为Q=10I3×3,λF=100,λψ=2,KF=0.1,Kψ=1,δ=0.1。(3)asv在系统不确定情况下表现为表现在随机应变的姿态角随机控制器设计再入飞行仿真初始条件:飞行速度为2500m/s,飞行高度为28km;初始姿态α=0°,β=1°,μ=4°,p=q=r=0;姿