粘-弹层合悬臂板的非线性弯曲

粘-弹层合悬臂板的非线性弯曲

0粘-弹层合悬臂板的横向位移响应由于该技术简单，抗弯伪造层的振动效果好，应用于土木工程结构的振动控制。目前，许多文献已经分析了其动态特性。在此基础上，通过金元模型计算了衰减结构的模态参数，并对实验模型的结果进行了验证。在文献中，模型采用了基于keeli模型的自由衰减矩形板的动态方程，并给出了四个简单分支的分析解。在文献中，模型重叠方法用于研究四边简支自由填充层的稳定、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、，由于抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、抗弯、，由于该方法中梁函数组合的类比方法，可以得到闭合弹簧层和甲桥板的横向位移函数。利用拉格朗日方程获得了集中力作用下的弯曲变形，并根据拉格朗日方程获得了自适应波幅的频率和结构破坏因子。在此基础上，在粘接弹层横截面上的固定速度变化后，获得了接近设计嵌入层的动态闭合面的相似分析解。此外，分析了衰减层的损失模量和厚致对响应的影响。研究表明，提出的方法简单实用。1弹性层和粘结层板应力能粘-弹层合悬臂板的模型如图1所示.建立如下坐标,坐标轴通过复合结构的中性轴.根据文献可知,粘-弹层合板中性轴到基层形心轴的距离:d=E2h2(h2+h1)2(E2h2+E1h1)(1)其中E1,E2分别为基层和阻尼层的弹性模量,h1,h2分别为基层和阻尼层的厚度.阻尼层本构关系采用复常数模型.采用经典板理论,结构位移函数可表示为:u=-z∂w∂x,v=-z∂w∂y,w=w(x,y,t)(2)采用双向梁函数组合级数逼近的方法来近似粘-弹层合悬臂板的横向位移,将板的挠度函数展开为模态叠加的形式.即:w0(x,y)=∑i∑jaijXi(x)Yj(y)(3)其中Xi(x)为弹性悬臂梁横向位移的各阶模态函数:Xi(x)=cosh(mix)-cos(mix)-αi[sinh(mix)-sin(mix)]αi=cos(mia)+cosh(mia)sin(mia)+sinh(mia)m1a=1.875,m2a=4.694m3a=7.854,mia=(i-0.5)π,(i≥4)Yj(y)为弹性自由梁横向位移的各阶模态函数:Y1=1,Y2=1-2ybYj(y)=cosh(njy)+cos(njy)-βj[sinh(njy)+sin(njy)],(j＞2)βj=cos(njb)+cosh(njb)sin(njb)+sinh(njb)n1=0,n2=0n3b=4.730,n4b=(j-1.5)π,(j≥4)结构应变能:U=12∭v(σxεx+σyεy+τxyγxy)dv=12∬DD1(∂2w∂x2)2+2D2∂2w∂x2∂2w∂y2+D1(∂2w∂y2)2+D3(∂2w∂x∂y)2dA(4)其中:D1=E1Μ111-μ21+E2Μ111-μ22,D2=E1Μ11μ11-μ21+E2Μ11μ21-μ22D3=4G1Μ11+4G2Μ12,Μ11=h31/12+h1d2Μ12=13h32+(12h1-d)[h22+(12h1-d)h2]E1、E2分别为弹性层和粘性层板的弹性模量;G1、G2分别为弹性层和粘性层板的剪切模量;μ1、μ2分别为弹性层和粘性层板的泊松比.如图(1),在粘-弹层合悬臂板上表面与固定边平行的自由边中点上作用一集中力P0,由里兹法有:∂U∂aij=Ρ0Xi(a)Yj(b2)(5)将式(3)代入式(4),利用模态函数的正交性进行解耦,结合式(5)得:aij=Ρ0Xi(a)Yj(b/2)D1m13m22+2D2m11m21+D1m12m23+D3m14m24(6)其中:m11=∫a0X″iXidx,m12=∫a0XiXidxm13=∫a0X″iX″idx,m14=∫a0X′iX′idx把对应的m11-m14中积分限换为0-b,把Xi换为Yj即得m21-m24的表达式.m11-m14及m21-m24的具体值可参考文献.将式(6)代入式(3)得到在集中力作用下粘-弹层合悬臂板弯曲的近似解.2初始振动条件设板自由振动解为如下形式:w(x,y,t)=∞∑i=1∞∑j=1Xi(x)Yj(y)qij(t)(7)结构的动能:Τ=12∭v(∂w∂t)2+(∂u∂t)2+(∂v∂t)2dv=12(ρ1h1+ρ2h2)∬D(∂w∂t)2dA+12(ρ1Μ11+ρ2Μ12)∬D[(∂2w∂x∂t)2+(∂2w∂y∂t)2]dA(8)其中ρ1、ρ2分别为弹性层和粘性层的密度.拉格朗日方程为:ddt(∂L∂˙qij)-∂L∂qij=0(9)其中L=T-U为拉格朗日函数.将式(7)代入式(4)、(8),利用模态函数的正交性进行解耦,然后代入式(9)得:¨qij(t)+ω*2ijqij(t)=0(10)其中结构的复频率为:ω*2ij=D1m13m22+2D2m11m21+D1m12m23+D3m14m24(ρ1h1+ρ2h2)m12m22+(ρ1Μ11+ρ2Μ12)(m14m22+m12m24)考虑集中力突然撤去以后结构的瞬态响应,则结构的初始振动条件为:{w(x,y,0)=w0(x,y)∂w∂t(x,y,0)=0(11)解式(10)和(11)组成的方程组,得:qij=aije-ηij2ωijt(cosωijt+ηij2sinωijt)(12)其中:ωij=√real(ω*2ij),ηij=Ιm(ω*2ij)/Re(ω*2ij)故结构的响应函数为:w(x,y,t)=∞∑i=1∞∑j=1Xi(x)Yj(y)aije-ηij2ωijt(cosωijt+ηij2sinωijt)(13)3计算和结果分析3.1单元结构参数为了验证本文解法及算式的正确、可靠性,用大型有限元程序Patran/Nastran计算了如下算例中自由阻尼板在集中力作用下自由边x=a处相应点的弯曲挠度及该板的固有频率,并与本文方法计算所得结果作对比.有限元计算中采用Quad4单元,网格划分为36×16.本文解法中分别取Xi(x)、Yj(y)的前四阶模态来进行近似计算.算例P0=50N,结构各参数如下:板长a=0.36m,宽b=0.14m.弹性层的材料为铝板,其材料参数为:h1=0.004m,E1=68.5GPa,ρ1=2700kg/m3,μ1=0.34;阻尼层的材料参数为:h2=0.01m,E2=4.768MPa,ρ2=1100kg/m3,μ2=0.49,阻尼层损耗因子ηv=0.5.在集中力P0作用下自由边x=a处的挠度值见表1.结构频率和损耗因子的计算结果见表2,其中括号内的结果为有限元解.从表1和表2看出用本文解法所得挠度和频率值与用有限元解得的结果吻合较好.3.2增加阻尼层损耗因子图2为集中力突然撤去以后结构的瞬态响应.从图2看出,由于阻尼的存在,在大约20s后与固定端平行的自由边中点的响应衰减为零.令阻尼层的损耗因子ηv分别为0和1,其它参数和算例中相同,板在同一点处的响应如图3.从图3看出,当不考虑阻尼时(ηv=0),结构响应没有衰减,呈明显的周期性;考虑阻尼效应ηv=1时约经过10s后点(a,b/2)处的响应衰减为零;而ηv=0.5时同一点响应衰减到零约需要20s(图2).这是因为增加阻尼层损耗因子,结构阻尼增大.故增加阻尼层损耗因子可以有效提高结构的减振效果.考虑阻尼层弹性模量分别为弹性板弹性模量的1/50000、1/5000和1/500倍,其它参数和算例中相同时,板在点(a,b/2)处的响应情况,如图4.从图4看出,当E2=E1/50000时板在点(a,b/2)处的响应衰减到零大约需要60s;当E2=E1/5000时板在点(a,b/2)处的响应衰减到零大约需要7s;当E2=E1/500时板在点(a,b/2)处的响应衰减到零大约需要0.7s.这是因为自由阻尼结构是通过交变的拉压应力来耗散能量的,增加阻尼层弹性模量,阻尼层的拉压应力随之增大.故增加阻尼层弹性模量,可以很好的提高结构减振效果.考虑阻尼层厚度分别为弹性板高度的1倍、2倍,4倍,其它参数和算例中相同时板在点(a,b/2)处的响应情况,如图5.从图5看出,当h2=h1时板在点(a,b/2)处的响应衰减到零大约需要100s;当h2=2h1时板在点(a,b/2)处的响应衰减到零大约需要25s;当h2=4h1时板在点(a,b/2)处的响应衰减到零大约需要5s.可见增加阻尼层厚度,可以大大提高结构的减振效果.4粘-弹层合悬臂板振动响应的近似解析解本文采用双向梁函数组合级数逼近的方法构