裂面有伪集中力时应力函数的复势解

裂面有伪集中力时应力函数的复势解

岩石和其他脆弱材料的微观无序机制与材料的微观缺陷密切相关。这些缺陷通常以各种微裂纹、孔和混合形式出现。实际问题中由于微观缺陷存在的形式并非只是单个缺陷形式,往往是多个缺陷并存,这些缺陷之间相互干涉,相互影响,因此研究它们之间的干涉效应有重要的实际意义。其中多裂纹之间的干涉问题尤其引人注目,实验发现在诸如陶瓷,岩石,混凝土等脆性材料中,宏观裂纹尖端扩展过程中常常伴有许多微裂纹的产生,这些微裂纹对主裂纹的扩展有屏蔽效应,其物理机理被认为是脆性材料增韧的重要因素之一。许多国内外著名学者都进行过这方面的研究,例如Kachanov,Hutchinson,Evans,Faber,Ortiz,Chudnovsky,ChenDaiheng等均在屏蔽机理方面做出过杰出的贡献。研究多裂纹之间的干涉效应有很多种分析方法,其中较为常见的是叠加原理法。Chen利用叠加原理,借助基本解计算了每个裂纹尖端的应力强度因子,Horii和Nemat-Nasser利用伪力函数满足裂面应力自由边界条件和无穷远处应力场,采用幂级数展开的数值方法,化多裂纹干涉问题为线性方程组,并由伪力的大小计算出裂尖的应力强度因子,另外,Chen和Hasebe,Mague和Kachanov分别用不同方法分析了各向异性材料中的多裂纹干涉问题。秦飞等利用边界元法和王水林等利用流形元法对裂纹扩展进行了分析。李世愚等进行了裂纹干涉的试验研究,黄明利等对岩石中的多裂纹的扩展机理进行了分析。本文借助叠加原理,采用“伪力法”将干涉问题化为普通的线性方程组,给出了解决岩石在压应力作用下多裂纹相互干涉的方法。并给出相应的数值算例的变化曲线,通过分析这些变化曲线,讨论裂纹之间的干涉效应。1裂表面抗滑力如图1所示,一长为2a的裂纹,裂面上b处作用有一对自相平衡的法向集中力P和一对自相平衡的切向集中力Q。由Muskhelishvili理论,结合裂面边界条件有[Φ(t)+Ω(t)]++[Φ(t)+Ω(t)]-=2[Pδ(t-b)+i(Q-τ′)δ(t-b)]|t|≤a(1a)[Φ(t)-Ω(t)]+-[Φ(t)-Ω(t)]-=0|t|≤a(1b)式中τ′为裂面上的抗滑力。根据位移单值条件,结合边界条件解之得Φ(z)=[-Ρ+i(Q-τ′)]√a2-b22π(z-b)√z2-a2Φ(z)=[−P+i(Q−τ′)]a2−b2√2π(z−b)z2−a2√(2a)Ω(z)=[-Ρ+i(Q-τ′)]√a2-b22π(z-b)√z2-a2Ω(z)=[−P+i(Q−τ′)]a2−b2√2π(z−b)z2−a2√(2b)则任一点处的应力可表示为σyy(z)+iσxy(z)=¯Φ(z)+Φ(z)+e2iα[(ˉz-z)Φ′(z)](3)2伪力密度分布考虑如图2所示无限大板中有N条分布裂纹,无穷远处的应力场为压应力σ∞yy、σ∞xx,由于压应力的存在引起裂纹的闭合,所以裂面间有剪切摩擦力的存在。以每个裂纹中心为坐标原点,建立局部坐标系。根据叠加原理:本身裂面上作用的“伪力”Pk(xk)和Qk(xk)和其它裂纹表面上作用的“伪力”Pi(xi)、Qi(xi)及相应的抗滑力τ′i(xi)(i≠k)在第k条裂纹面上产生的法向力和切向力相叠加,应当满足每个裂面上的初始应力边界条件,即:无穷远处的应力场在第k条裂纹面上的点(xk,0)处产生的应力p∞k(xk)、q∞k(xk)与裂面上作用力pkk(xk)、qkk(xk)相叠加Pk(xk)+Ν∑i=1i≠kσyy,ik(Pi(xi),Qi(xi),τ′i(xi),xk)dxi=p∞k(xk)+pkk(xk)(4a)Qk(xk)+Ν∑i=1i≠kσxy,ik(Pi(xi),Qi(xi),τ′i(xi),xk)dxi=q∞k(xk)+qkk(xk)(4b)其中-ak<xk<ak;Pk(xk)、Qk(xk)为第k条裂纹面上待定的伪力密度分布;σxy,ik(Pi(xi),Qi(xi),τ′i(xi),xk)表示在第i条裂纹面上(xi,0)点处作用的单位法向集中力在第k条裂纹面上(xk,0)点处产生的切向应力。σyy,ik(Pi(xi),Qi(xi),τ′i(xi),xk)表示在第i条裂纹面上(xi,0)点处作用的单位法向集中力在第k条裂纹面上(xk,0)点处产生的法向应力。设第k条裂纹的裂纹角为βk,则p∞k(xk)、q∞k(xk)为p∞k(xk)=σ∞yysin2βk+σ∞xxcos2βk(5a)q∞k(xk)=(σ∞yy-σ∞xx)sinβkcosβk(5b)采用Chebyshev数值积分公式将式(4)化为如下线性方程组Pk(xmk)+Ν∑i=1i≠kσyy,ik(Pi(xji),Qi(xji),τ′i(xji),xmk)δj=p∞k(xmk)+pkk(xmk)(6a)Qk(xmk)+Ν∑i=1i≠kσxy,ik(Pi(xji),Qi(xji),τ′i(xji),xmk)δj=q∞k(xmk)+qkk(xmk)(6b)其中xmk=akcos(2m-12Μπ)xji=aicos(2j-12Μπ)δj=aiπΜsin(2j-12Μπ)m=j=1,2,⋯,Μk=1,2,⋯,Ν解方程组(6)便可确定伪力Pk(xmk)、Qk(xmk)的大小。由伪力函数Pk(xk)、Qk(xk)结合式(2a)可得Κk=ΚkΙ-iΚkΙΙ=2√2πlimz→±ak[√z∓ak∫ak-akΦ(xk)dxk]=∫ak-ak-Ρk(xk)+i[Qk(xk)-τ′k(xk)]√πak√ak±xkak∓xkdxkτ′k(xmk)=Pk(xmk)·tgφ0k=Pk(xmk)·fk这里z=±a是裂纹的右端点和左端点;φ0k为第k条裂纹面的内摩擦角,fk为第k条裂纹面的摩擦系数。3结果和讨论由于受压缩载荷作用时,裂纹仅发生Ⅱ型断裂,KⅠ没有意义,故本文仅讨论KⅡ的干涉作用。3.1裂面损伤的应力强度因子如图3所示两条平行斜裂纹,裂纹角β=45°,μ=0.3,考虑两裂纹面摩擦系数相同,分别计算两种情况fk=f=0.3和0。以KⅡ0表示单个裂纹在如上给定荷载作用下的Ⅱ型应力强度因子,计算中每个裂纹的积分点数M=16。图4表明,裂面摩擦系数对应力强度因子有一定影响,裂纹间的距离对裂纹两端应力强度因子有不同的影响。当两平行裂纹距离较近时,应力强度因子KⅡ均较小,即呈相互抑制的作用;随裂纹间距的增大,应力强度因子KⅡ均随之增加,既相互影响作用减弱;当两裂纹距离较远时,相互间的影响较小。此结果与文献的结论有较好的一致性。3.2裂纹间距离对应力强度因子的影响如图5所示一排倾角为45°的斜裂纹,裂纹长均为2a,相邻两裂纹中心间的距离均为2c。图6为裂纹间距离对A、B两端应力强度因子的影响情况。当(c-a)/a<1时,裂纹间距离对应力强度因子KⅡ的影响较大,对裂纹B端尤为显著,对A、B两端的KⅡ均呈屏蔽作用。当(c-a)/a>1时,裂纹间距离对应力强度因子KⅡ的影响趋于平缓,随(c-a)/a的变化,A、B两端的应力强度因子变化不大。当(c-a)/a>2时,干涉效应已非常小,A、B两端的KⅡ基本不受影响。图7表明裂纹间距离对C、D两端应力强度因子的影响,当(c-a)/a<1时,裂纹间距离对应力强度因子KⅡ有较大影响,对裂纹C端的KⅡ有增强作用;对裂纹D端KⅡ则有屏蔽作用,对D端KⅠ有增强作用。当(c-a)/a>1时,裂纹间距离对应力强度因子KⅡ的影响趋于平缓,随(c-a)/a的增大,应力强度因子变化不大。当(c-a)/a>2时,KⅡ基本不受影响。3.3裂纹间距的影响如图8所示,裂纹AB裂纹角为75°,裂纹CD裂纹角为40°,裂纹长均为2a,两裂纹中心间的距离均为2c,两裂纹中心间的连线与裂纹AB间的夹角为γ。当两裂纹中心间的连线与裂纹AB间的夹角γ=60°不变,而两裂纹中心间的距离2c发生改变时裂纹裂尖的应力强度因子随c/a的变化曲线如图9所示。由图9可见,当c/a<4时,对C、D两端的KⅡ均呈现屏蔽作用,当c/a>2时,裂纹间距对KⅡ的影响不大;但当c/a<1时,裂纹间距对C端KⅡ的屏蔽作用较明显。图10表明裂纹间的干涉效应随裂纹间的夹角的变化呈周期性变化,即随γ角的变化,在有些角度时呈屏蔽作用,在另一些角度时则使应力强度因子KⅡ增大。4强度因子的影响本文在叠加原理的基础上结合“伪力法”,建立了多裂纹干涉的计算模型,给出了多裂纹互相干涉的解法。结论为:两平行裂纹间的距离对应力强度因子