第十三章轴对称-小结与复习

复习目标：

1．系统地把握全章的知识要点和基本技能。2．通过例题和练习，使学生能较好地运用本章知识和技能解决有关问题重点、难点

判断图形是否是轴对称图形，线段的垂直平分线、角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定及其应用是教学重点，而灵活运用上述性质解决问题、轴对称图案的设计是教学难点。

第一页第二页，共37页。（一）轴对称观察图形的变换过程，回想什么是轴对称图形？它有什么性质？知识要点要仔细观察哦！┐这是对称轴呀!这是一对对应点!第二页第三页，共37页。

定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．第三页第四页，共37页。观察图形的变换过程，回想什么是两个图形关于一条直线对称？它有什么性质？A′A┐第四页第五页，共37页。定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．第五页第六页，共37页。1.把一圆形纸片两次对折后，得到右图，然后沿虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是()ABCDB跟踪训练第六页第七页，共37页。2.（福州·中考）下面四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是（）3、（日照·中考）已知以下四个汽车标志图案：其中是轴对称图形的图案是

（只需填入图案代号）.C(1),(3)第七页第八页，共37页。二.线段的垂直平分线。看画图过程回想什么是线段的垂直平分线?线段的垂直平分线的性质用数学语言叙述为什么?用符号语言表示为什么？ABC┐DP第八页第九页，共37页。定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

性质：用数学语言叙述为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

用符号语言表示为：∵CA=CB，ＰＣ⊥AB，∴PA=PB．ABCP┐第九页第十页，共37页。看画图过程回想线段的垂直平分线的判定用数学语言叙述为什么?用符号语言表示为什么？ABC┐DP第十页第十一页，共37页。判定：用数学语言叙述为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．用符号语言表示为：∵

PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上ABCP┐第十一页第十二页，共37页。

１.如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.（1）求证：PA=PB=PC.（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？PACB跟踪训练第十二页第十三页，共37页。(1)证明：∵点P是边AB垂直平分线上的点，∴PA=PB,∵点P是边BC垂直平分线上的点，∴PB=PC,∴PA=PB=PC.(2)点P是在边AC的垂直平分线上结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.ACBP第十三页第十四页，共37页。2.如图所示，在△ABC中，∠CAB的平分线AD和BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。求证：ＢＭ＝ＣＮ。ＡＢＣＤＥＭＮ┐┐┐1。要证明ＢＭ＝ＣＮ需构造什么？2.D是BC的垂直平分线上的点应添加什么辅助线？3.点D是∠CAB的平分线上的点能得到什么结论？思路分析请自己分析后写出证明过程第十四页第十五页，共37页。证明：连接ＤＢ，DC，∵点D是∠CAB的平分线上的点，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，（）∵点D是ＢＣ的垂直平分线上的点，∴ＤＢ＝ＤＣ，（）在Ｒｔ△ＤＢＭ和Ｒｔ△ＤＣＮ中ＤＢ＝ＤＣ，DM=DN，∴Ｒｔ△ＤＢＭ≌Ｒｔ△ＤＣＮ（）∴ＢＭ＝ＣＮ()ＡＢＣＤＥＭＮ┐┐┐第十五页第十六页，共37页。请你根据上面两题的证明过程思考线段的垂直平分线的性质和判定在解题中有哪些作用？如果已知线段的垂直平分线一般如何添加辅助线？1.证明线段相等，2.证明垂直，3,。证明点在直线上。添加的辅助线是连接垂直平分线上的点到线段两端点的线段。第十六页第十七页，共37页。看画图过程回想线段的垂直平分线的尺规作法即对称轴和线段的中点的作法，并口述作法。ABCD已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于

AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.（2）作直线CD.CD即为所求.第十七页第十八页，共37页。看画图过程回想过外一点作已知直线的垂线的方法。已知：直线AB和直线AB外一点C。求作：直线CF，使CF⊥AB。CABDKFE作法：（1）任意取一点K，使点K与点C在直线AB的两旁。（2）以C点为圆心，以CK的长为半径画弧，交AB于点D，E.（3）分别以点D,E为圆心，以大于的长为半径画弧两弧交于点F.

(4)作直线CF，直线CF就是所求作的垂线。第十八页第十九页，共37页。1.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）CDP【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站.∴点P就是要建的公共汽车站的位置.跟踪训练第十九页第二十页，共37页。2.如图电信部门要在s区修建一座电视信号发射塔，按设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置。(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）mnOABP【提示】∠O的平分线和AB的垂直平分线在S区的交点就是要建的电视塔的位置.∴点P就是电视塔的位置。DEFMN第二十页第二十一页，共37页。三：作轴对称图形。看画图过程回想作轴对称图形的一般步骤是什么？BACOlA′B′C′作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:1.确定图形中的一些特殊点.2.画出特殊点关于已知直线的对称点.3.连接对称点.第二十一页第二十二页，共37页。看画图过程回想作一个点关于一条直线对称的点的画法，并口述作法。lAAˊ┐过点A作直线l的垂线，垂足为点O,在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的对称点；作法：第二十二页第二十三页，共37页。看平面直角坐标系中点A,B,C的位置关系回想平面直角坐标系中关于x轴，y轴对称的点的坐标有什么关系？31425-2-4-1-312345-4-3-2-1yxABC(-3,2)(3,2)(-2,3)关于x轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数即点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为(-x，y).-关于y轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）。第二十三页第二十四页，共37页。【跟踪训练】1.点P(-5,6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.2.点M(a,-5)与点N(-2,b)关于x轴对称，则a=_____,b=_____.(-5,-6)-25第二十四页第二十五页，共37页。看图回想等腰三角形的性质（1）用数学语言叙述为什么?用符号语言表示为什么？AＢCD⌒⌒（1）等腰三角形的两个底角相等；用数学语言叙述为：用符号语言表示为：∵在△ABC中，AB=AC．∴∠B=∠C。第二十五页第二十六页，共37页。看图回想等腰三角形的性质（2）用数学语言叙述为什么?用符号语言表示为什么？AＢCD⌒⌒┐（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．用数学语言叙述为:用符号语言表示为：∵△ABC中，AB=AC，BD=CD.∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．或∵△ABC中，AB=AC,AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.或∵△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD.第二十六页第二十七页，共37页。等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．第二十七页第二十八页，共37页。看图回想等腰三角形的判定用数学语言叙述为什么?用符号语言表示为什么？ABC用数学语言叙述为：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．符号语言：∵在△ABC中，∠B=∠C，∴

AB=AC．⌒⌒第二十八页第二十九页，共37页。看图回想等边三角形的性质用数学语言叙述为什么?用符号语言表示为什么？ABC用数学语言叙述为：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.符号语言：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．⌒⌒⌒60°60°60°第二十九页第三十页，共37页。看图回想等边三角形的判定有哪些？用数学语言叙述为什么?用符号语言表示为什么？ABC用数学语言叙述为：

三个角都相等的三角形是等边三角形.符号语言：在△ABC中，

∵∠A=∠B=∠C，

∴△ABC是等边三角形．⌒⌒⌒第三十页第三十一页，共37页。符号语言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形．用数学语言叙述为：

有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．ABC⌒60°第三十一页第三十二页，共37页。在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边与斜边有什么大小关系？这个命题用符号语言如何表示？符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴

BC=AB．

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABC第三十二页第三十三页，共37页。跟踪训练1.已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，过点D作DF⊥BE于F．求证：（1）BD=DE；（2）BF=EF；：（3）请猜想FC与BF间的数量关系，并说明理由．ABCDEF第三十三页第三十四页，共37页。∴∠DBC=

∠CED，∴BD=

DE．证明（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°AB＝BC又∵BD⊥AC，

∴∠DBC=∠ACB=30°

∵

CE=

CD，∴∠CDE=

∠E又∵∠ACB=∠CDE十∠E