微开关悬臂梁受力变形分析

微开关悬臂梁受力变形分析

1两端固支梁模型由于结构简单、驱动电压低、易于实现工艺，悬臂梁微型开关广泛应用于悬臂梁的结构。图1显示了悬臂梁的结构。在梁的底面和不可变形的底板上分别有一层金属层作为上驱动电极和下驱动电极,当上下驱动电极间施加驱动电压时,悬臂梁产生变形,当变形使得开关上下电极相接触时,实现开关的闭合。利用不同的分析模型,国内外一些学者都对微开关悬臂梁的受力变形、材料选择等问题进行了分析,分析模型主要有一维的集中参数模型(1dimensionallumped-parametermodel)、二维的分布模型(2dimensionaldistributedmodel)即梁模型。文献在吸附电压发生时,假设微结构的最大挠度达到初始间隙的2/3(ForMEMS(micro-electro-mechanicalsystem)analysis,itwasassumedthatpull-inoccurswhenthemicrostructuredeflectsto2/3oftheinitialgapg0),并用多项式表达梁挠度的情况下,借助于变分法还发展了一种两端固支梁吸附电压的数值计算方法,在该方法中考虑了轴力、残余应力以及电场力边缘效应的影响。由于悬臂梁变形后,上下驱动电极间的距离要发生变化,所以悬臂梁上下驱动电极间的电场力与悬臂梁的变形有关,另外,当开关上电极的端点和开关下电极的端点相接触后(因悬臂梁有变形后,悬臂梁上的开关上电极将有倾斜角,不可能开关上下电极同时完全相接触,而是悬臂梁的左端点的转角逐渐变化到零,再从图1中开关上下电极的左端点开始逐渐地接触),开关下电极对于开关上电极有支反力,因而梁的受力状态也将发生变化,而且支反力的作用点也随开关上下电极的接触范围而变,因此这是一个载荷(驱动电压或支反力)及其作用点事先未知的问题。对于这样一个比较复杂的问题,不同的学者都进行了一些简化,如认为悬臂梁有相同倾斜角;开关上下电极接触点为一条线(相当于模型中的一个点),悬臂梁在开关上下电极接触后变为一端固支、另一端铰支的单跨超静定梁,并利用增量法逐渐加载等。本文提出一种微开关悬臂梁的计算模型,这种模型将梁分成三个阶段,第一阶段为图1中开关上下电极的左端点接触前,此时就是自由端不受任何外载作用的悬臂梁;第二阶段为开关上下电极的左端点接触后,因悬臂梁左端点有一定的转角,开关上下电极除左端点有接触外,还没有其他的接触,因此,这时的梁可视为一端固支,另一端铰支的单跨梁,直到梁的左端点转角为零时,第二阶段结束;第三阶段为梁的左端点转角为零后,开关上下电极的接触面积随驱动电压的增加而逐渐增加的过程,考虑到弹性材料的最终变形和中间过程无关的特点,在不考虑重力和水平方向摩擦力的情况下,此时可将梁视为在电场力和集中力作用下的悬臂梁,该悬臂梁应满足的约束条件为,在集中力作用处,梁有指定的挠度和零转角,而集中力左侧部分的梁处于不受其他力作用的自然状态,即集中力左侧为开关上下电极的接触区,集中力左侧部分的梁上无弯矩和剪力的作用,此阶段悬臂梁受力变形后的示意图如图2所示。这样一个模型可用于解决若干设计问题,例如,给定驱动电压,确定开关上下电极的接触面范围,或给定开关上下电极的接触面范围,确定驱动电压等。这一类问题通常都至少含有两个未知量,需采用适当的迭代方式解决。2梁的挠度计算方法设悬臂梁全长为L,截面为矩形,其高为H,宽为B,上下两驱动电极间的初始距离为d,上下驱动电极的宽为B1,开关上下电极间的初始距离为δ,集中力作用点横向坐标为Δ(见图2)。则在考虑梁的倾斜角θ后,根据电学知识,梁单位长度上所受的分布力为q(x)={12εrε0B1u2cos?θ(x)(d-v(x))20a≤x≤bx＜a及x＞b(1)q(x)={12εrε0B1u2cos?θ(x)(d−v(x))20a≤x≤bx＜a及x＞b(1)其中ε0——真空介电常数εr——相对介电常数u——驱动电压v(x)——x处梁的挠度θ(x)——x处梁的倾斜角,在小变形时为dv/dxa,b——驱动电极的起始和终止x坐标根据小变形下梁的挠曲线微分方程,有d2vdx2=-Μ(x)EΙ(2)d2vdx2=−M(x)EI(2)其中E——梁材料的弹性模量,对于板用E1-μ2E1−μ2代替E,μ为泊松比I——梁的横截面惯性矩M(x)——x处梁上的弯矩,并规定使梁上边缘纤维受压的弯矩为正因为方程中的弯矩涉及到分布力q(x)的积分,而q(x)又涉及到未知量挠度,因此求解这样的方程比较困难。为此建立一个四阶微分方程,并将该四阶微分方程化为四个一阶微分方程,从而避免了求解弯矩的困难。根据弯矩和剪力的关系,有dM/dx=Q(x)(3)再根据剪力和分布力的关系,有dQ/dx=-q(x)(4)其中Q(x)为x处梁上的剪力,并规定左上右下为正。对式(2)求导两次,并利用式(3)、(4)可得d4v/dx4=q(x)/EI(5)利用常微分方程理论,可将此四阶常微分方程化为一阶常微分方程组,为此,令y1=v(x)y2=dy1dx=dvdx=θ(x)y3=dy2dx=d2vdx2=-Μ(x)EΙy4=dy3dx=d3vdx3=-Q(x)EΙ(6)y1=v(x)y2=dy1dx=dvdx=θ(x)y3=dy2dx=d2vdx2=−M(x)EIy4=dy3dx=d3vdx3=−Q(x)EI(6)从而可得关于y1、y2、y3、y4的常微分方程组为dy1dx=y2dy2dx=y3dy3dx=y4dy4dx=q(x)EΙ(7)这样的方程组不涉及弯矩M(x),当初始条件及q(x)给定后,可用数值方法毫无困难地进行求解。3悬臂梁自由偏转0和驱动电压u本例基本数据如下,悬臂梁全长L=100μm,矩形截面高H=6μm,宽B=30μm,上下两驱动电极间的初始距离d=1μm,上下驱动电极的宽B1=30μm,上下驱动电极的起止点的坐标分别为30μm和90μm,开关上下电极间的初始距离为δ=0.5μm,悬臂梁材料的弹性模量E=7.652×1010Pa,泊松比μ=0.41(因本例中B≥5H,应视为板),相对介电常数εr=1.0。因在不同的阶段,有不同的求解方法,现分别叙述如下。第一阶段,本阶段可以给定悬臂梁自由端的位移,求驱动电压和悬臂梁自由端的转角,求出驱动电压和悬臂梁自由端的转角后,梁上各点的位移、转角、弯矩、剪力等都可以通过数值法求解微分方程组(7)得到;也可以给定驱动电压,求悬臂梁自由端的位移和转角,然后再求梁上各点的位移、转角、弯矩、剪力等。以第一种情况为例,设悬臂梁自由端的位移为δ0,则微分方程组(7)的初始条件为y1(0)=δ0y2(0)=θ0y3(0)=y4(0)=0(8)其中,悬臂梁自由端的转角θ(0)和驱动电压u为未知量,而已知条件为悬臂梁固支端的位移和转角为零,根据这两个已知条件,利用自己设计的两重二分法可求解出悬臂梁自由端的转角θ0和驱动电压u。具体步骤为(1)首先给定一个驱动电压。(2)然后再给定一个悬臂梁自由端的转角。(3)利用给定的驱动电压和悬臂梁自由端转角,通过求解方程组(7)得到悬臂梁固支端的位移和转角。(4)和二分法一样,根据计算出的悬臂梁固支端位移情况修正悬臂梁自由端的转角后,再执行步骤(3);如此反复,直到悬臂梁固支端的位移非常小(例如固支端位移小于10-6),可认为为零时结束(一般不可能恰好为零)。(5)同理,根据计算出的悬臂梁固支端转角修正驱动电压,再执行步骤(2)、(3)、(4),如此反复,直到悬臂梁固支端的转角非常小时结束,此时对应的悬臂梁自由端的转角和驱动电压即为所求未知量的值。通过以上方法求出悬臂梁自由端的转角θ0和驱动电压u后,可进一步求解梁上各点处的挠度、转角、弯矩和剪力,从而可对梁进行变形分析和强度分析。对于不同的悬臂梁自由端位移δ0,驱动电压u的变化如图3所示,本阶段结束时的驱动电压为155.6V,悬臂梁自由端转角的绝对值为0.35°,另外,一维模型计算出的吸合电压为210.3V。从悬臂梁自由端挠度和驱动电压关系曲线可见,该曲线斜率逐渐减小,当悬臂梁自由端挠度仅为0.1μm时,驱动电压已达85.4V,超过本阶段结束时驱动电压的一半,当悬臂梁自由端挠度为0.4μm,驱动电压为147.3V,和本阶段结束时的驱动电压相差不到10V。第二阶段,本阶段相当于一端固支、另一端位移已知的铰支单跨梁(位移量为开关上下电极间的初始距离),对于给定的梁铰支端的转角,可求驱动电压和梁铰支端的剪力,即支反力,或对于给定的驱动电压,可求出梁铰支端的转角和梁铰支端的剪力,以第一种情况为例,设铰支端梁的位移为δ0、转角为θ0,则初始条件为y1(0)=δ0y2(0)=θ0y3(0)=0y4(0)=-Q(0)EΙ(9)其中,梁铰支端的剪力Q(0)和驱动电压u为未知量,求解它们的步骤类似第一阶段,只是将未知量由梁端的转角换为梁铰支端的剪力,不再详述。对于不同的梁铰支端的转角,驱动电压u的变化如图4所示,本阶段结束时的驱动电压为290.6V,该值为第一阶段结束时驱动电压的1.868倍。从这一数据可见,为使梁端部的转角由仅仅的0.35°变到0°,电压要增加86.8%。第三阶段,本阶段为一端固支、另一端为位移、转角均已知的梁,对于给定的开关上下电极接触范围,可求驱动电压和开关上下电极接触右边缘的支反力P(见图2),或对于给定的驱动电压,可求开关上下电极接触范围和开关上下电极接触右边缘的支反力P。对于第一种情况,初始条件为y1(Δ)=δ0y2(Δ)=0y3(Δ)=0y4(Δ)=-Q(Δ)EΙ(10)当x<Δ时,梁上只有同样的位移δ0,而转角、弯矩和剪力均为零。在这种情况下,未知量仍为剪力Q(Δ)(也就是支反力P)和驱动电压u,其求解方式同第二阶段一样,只是将转角的初值换为零。对于不同的开关上下电极接触长度Δ,驱动电压u的变化如图5所示,由图可见,开关上下电极接触长度和驱动电压间的关系基本是线性的,驱动电压的变化也比较缓慢;当开关上下电极接触长度Δ=10μm时,驱动电压为318.2V,仅比第二阶段结束时增加27.6V。图6从上到下依次为第一阶段结束时、第二阶段结束时以及开关上下电极接触长度Δ=10μm时梁轴线的变形图。从图可见,第一阶段结束时梁轴线的变形曲线和后两条变形曲线差别较大,而后两条变形曲线差别较小;图7为三种状态下的弯矩图,同样,在第一阶段结束和第二阶段结束时的固支端弯矩差别较大,而后两种情况下固支端弯矩差别不大,三种情况下固支端横截面上的最大正应力分别约为67MPa、172MPa和194MPa。从本例数据可见,在微开关悬臂梁变形的过程中,前两阶段需要施加较高的驱动电压,而第三阶段电压增加比较少;因此,除通过减小驱动电极间的初始距离、加大驱动电极的长度、降低矩形截面的高度等措施外,设法降低第二阶段驱动电压的增量也可达到降低驱动电压的目的,为此理论上可采用具有倾斜角的开关下电极,使悬臂梁端点在接触到开关下电极后,尽快进入到开关上下电极相接触的第三阶段,甚至可能由第一阶段直接进入到第三阶段,这样既可以降低驱动电压,又可以使开关上下电极具有一定的接触范围。本例中前两阶段结束以及第三阶段时的驱动电压值均比较大,两个主要原因是矩形截面较高以及梁的长度较短,因此,针对第一阶段结束时、第二阶段结束时以及开关上下电极接触长度Δ=10μm时的情况,本文分析驱动电压与矩形截面高度间的关系,以及驱动电压与梁长度间的关系,同时还分析悬臂梁固支端处梁横截面上的弯矩和最大正应力的变化情况,如图