基于可控提前期的供应链库存策略研究

基于可控提前期的供应链库存策略研究

在过去的20年里，关于可控提前库存的研究一直是国内外科学家的中心主题。Liao等建立了提前期需求服从正态分布且提前期为决策变量的可控提前期的连续盘点库存模型;Ben-Daya考虑订货量和提前期同时作为决策变量推广了文献的模型;Ouyang在的基础上考虑允许缺货且缺货部分存在延期交货和销售损失的可控提前期混合库存模型;Moon认为的模型没有将再订货点作为决策变量而导致库存系统无法达到最优,因此将再订货点、订货量和提前期同时作为决策变量研究了正态分布提前期内需求的可控提前期连续盘点混合模型。上述部分文献虽考虑到允许缺货且缺货部分存在延期交货和销售损失的情况,但其延期交货率是一个常数,然而在现实中供应商常通过给予顾客一定的价格折扣或缩短提前期,来改变延期交货率。1)在缩短提前期来改变延期交货率的研究有:Ouyang等考虑到提前期越长延期交货率越小的现实情况,将延期交货率设为提前期的函数,在文献的基础上研究了提前期内需求为正态分布变量和提前期内需求分布不定两种情况下的可压缩提前期库存模型。Lee亦考虑到将延期交货率设为提前期的函数,研究了提前期需求为混合正态分布和混合分布不定情况下的可压缩提前期库存模型。2)在给予顾客一定的价格折扣来改变延期交货率的研究有:Pan在的模型基础上,进一步考虑了供应商给顾客一定的延期交货价格折扣来降低销售损失率的情形,研究了提前期需求服从正态分布可控提前期库存模型。Lin考虑到延期交货价格折扣和订货成本可控的情况,研究了提前期内需求分布不定的可控提前期混合库存问题;Lo考虑延期交货价格折扣情况,研究了提前期内需求分布不定情况下的可控提前期库存问题。以上文献考虑了延期交货率分别受价格折扣和提前期影响的情况,但是延期交货率往往是同时受多种因素的影响。为此本文提出了既能反应价格折扣又能反应提前期影响的延期交货率形式来分析可压缩提前期的连续盘点库存模型。1模型的符号和假设1.1为提前期决策变量A为每次订货成本;r为再订货点;β为延期交货率;β0为延期交货率上界;D为年平均需求;X为提前期需求;π0为单位货物的边际收益;h为单位货物单位时间的持有成本;L为提前期(决策变量);Q为每次的订购数量(决策变量);πx为供应商提供的每单位商品的价格折扣(决策变量);k为安全因子。1.2提前期压缩费用1)再订货点r=提前期的期望需求+安全库存,也就是说,即r=μL+kδ√Lr=μL+kδL√;2)提前期L有n个相互独立的部分组成,其中第i部分的最短时间为ti,正常时间为Ti,每单位时间压缩成本为ci,不失一般性设c1≤c2≤…≤cn。若记Li=∑nj=1nj=1Ti-∑ij=1ij=1(Tj-tj),L0=∑nj=1nj=1Tj,Ln=∑nj=1nj=1tj,则提前期压缩费用为R(L)=ci(Li-1-L)+∑i-1j=1i−1j=1cj(Tj-tj);L∈[Li,Li-1];3)延期交货率β是可变的,因为提前期越长,愿意等待延期交货的顾客越少,β越小;同时供应商对于延期交货产品提供的的价格折扣越大,愿意等待延期交货的顾客越多,β越大,所以本文假设β=β0LnL×πxπ0,其中Ln≤L≤L0,0≤πx≤π0,0≤β≤β0,0≤β0≤1;4)提前期的需求X服从均值为μL,方差为δ√L的正态分布。其密度函数为ϕ(k),分布函数为Φ(k)。2模型的构建和求解2.1单位时间缺货费用c由于提前期需求为X,当其大于再订货点r时将发生缺货,缺货量为max(X-r,0),简记为(X-r)+,从而周期的平均缺货量为E((X-r)+)=δ√LΨ(k),其中Ψ(k)=ϕ(k)-k[1-Φ(k)]。其中有βE((X-r)+)的货物需要延期交货,有(1-β)E((X-r)+)的货物将发生销售损失,因此货物到达前(即周期末)的净库存量为ss+(1-β)E((X-r)+),货物到达后(即周期初)的净存货量为Q+ss+(1-β)E((X-r)+),因此周期平均库存量为12Q+ss+(1-β)E((X-r)+),单位时间平均存储费用为h[12Q+ss+(1-β)E((X-r)+)]。因缺货而失去销售机会而产生的费用为π0(1-β)E((X-r)+);因延期交货需要支付给顾客的罚金为πxβE((X-r)+)。故周期缺货费用为[πxβ+π0(1-β)]E((E-r)+),单位时间缺货费用为[πxβ+π0(1-β)]E((X-r)+)D/Q。因此基于以上假设建立包含订货、存储、缺货及压缩四部分费用的单位时间总费用为:C(Q,πx,L)=ADQ+h[Q2+r-μL+(1-β)E((X-r)+)]+DQ[πxβ+π0(1-β)]E((X-r)+)+DQR(L)(1)其中,r=μL+kδ√L‚β=β0LnL×πxπ0‚R(L)=ci(Li-1-L)+∑i-1j=1cj(Τj-tj)。即:C(Q,πx,L)=ADQ+h[Q2+kδ√L+(1-β0LnπxLπ0)δ√LΨ(k)]+DQ[πxβ0LnπxLπ0+π0(1-β0LnπxLπ0)]δ×√LΨ(k)+DQ[ci(Li-1-L)+∑i-1j=1cj(Τj-tj)](2)因此,最优库存模型为minQ>0,π0>πx>0,L0>L>LnC(Q,πx,L)(3)2.2最优交易策略为了求得模型的最优解,下面的命题给出了函数C(Q,πx,L)的性质。命题1对于给定的Q和πx,函数C(Q,πx,L)为L的严格凹函数,其最小值在L的区间[Li,Li-1]的端点取得。证明因为∂C∂L=h(12√L+β0Lnπx2π0L√L)δΨ(k)+hkδ2√L-DQci+DQ(-β0Lnπ2x2π0L√L+π02√L+β0Lnπx2L√L)δΨ(k)∂2C∂L2=-hkδL-324-{h(1+3β0Lnπxπ0L)+DQ[π0+3β0Lnπxπ0L(π0-πx)]}δL-324Ψ(k)‚显然∂2C∂L2<0,所以对于给定的Q和πx,函数C(Q,πx,L)为L的严格凹函数,其最小值在L的区间端点取得。命题21)对于给定的L∈[Li,Li-1],C(Q,πx,L)为Q和πx的严格凸函数;2)对于给定的L∈[Li,Li-1],最优的Q和πx为Q*=√2D[(-π0β0Ln4L+π0)δ√LΨ(k)+A+ci(Li-1-L)+∑i-1j=1cj(Τj-tj)]h+h2β0LnδΨ(k)/L122π0D,(4)π*x=π02+hQ*2D。(5)证明因为函数C(Q,πx,L)关于Q和πx的一、二偏导数分别为:∂C∂Q=-ADQ2+h2-DQ2[β0Lnπ2xLπ0+π0(1-β0LnπxLπ0)]δ√LΨ(k)-DQ2[ci(Li-1-L)+∑i-1j=1cj(Τj-tj)]‚∂2C∂Q2=2D{A+[β0Lnπ2xLπ0+π0(1-β0LnπxLπ0)]δ√LΨ(k)+[ci(Li-1-L)+∑i-1j=1cj(Τj-tj)]}/Q3‚显然∂2C∂Q2>0‚∂2C∂π2x>0,并且函数C(Q,πx,L)关于Q和πx的海塞矩阵的二阶主子式为:Η22=D21π0Q4{4δΨ(k)β0LnL-12{A+[ci(Li-1-L)+∑i-1j=1cj(Τj-tj)]}+π0δ2Ψ2(k)β0Ln[4-β0LnL]},有H22>0,所以对于固定的L∈[Li,Li-1],C(Q,πx,L)为Q和πx的严格凸函数。2)令Q,πx的一阶导数等于零,易得最优策略解。根据命题1和2,设计了一求解最优订购策略的算法。1)对于每一个Li,i={1,2,…,n},利用式(4)计算Qi,再利用式(5)计算πxi。2)对于每一组(Q,πxi,Li),计算对应的费用值C(Qi,πxi,Li),i={1,2,…,n}。3)C(Q*,π*x,L*)=mini={1,2,⋯,n}C(Qi,πxi,Li)。3最优提前期l为了说明算法的有效性,给出一个具体的算例,市场需求为D=600件/年,A=200元/次,h=20元/件/年,π0=150元/件,δ=7件/周;缺货概率q=0.2,对应的安全因子k=0.8416;提前期L由三部分组成,每一部分都可压缩且有一定的压缩成本,如表1所示。对应于不同的β0的值,最优提前期均为L*=42(d),最优价格折扣大约为77