具有机电耦合性能的压电材料的力学分析

具有机电耦合性能的压电材料的力学分析

1压电材料的力学分析近年来，压迫材料在智能结构中的应用越来越受到重视。压电材料具有压电效应,即当它受到外力时不仅产生机械变形,还能产生电势;对它施加电压时,又能改变材料尺寸。因此,压电元件既能当智能结构的传感元件,又能作为驱动元件。目前,对具有机电耦合性能的压电材料的力学分析是压电材料研究的一个重要内容,其研究途径主要有三种:(1)寻求三维精确解;(2)简化后求理论解析解;(3)用有限元、边界元等方法计算数值解。本文按第二种方法从压电弹性介质三维本构方程及平面应力条件下的简化物理方程出发,求出了悬臂压电梁在没有外加电场情况下自由端承受集中力时位移、电势的解析表达式,并且与有限元的计算结果进行了比较。2弹性压电介质结构材料特性当不计体力和不存在自由电荷时,三维压电理论的控制方程为σij,j=0Di,i=0σij=cijklεkl-ekijEkDi=eiklεkl+gikEkεij=(uj,i+ui,j)Ei=-ϕ,i其中,i,j,k,l=1,2,3,而σij,Di,εij,uj,Ei和Φ分别是应力、电位移、应变、位移、电场强度分量和电势,Cijkl,gik和ekij分别为弹性、介电和压电常数。在极端各向异性下压电介质独立的性能常数为21+16+18=45个。本文仅考虑应用较为广泛的PVDF薄膜或PZT陶瓷这一类常用材料,若沿z轴正向极化,则x-y平面成为各向同性平面,压电介质呈现横观各向同性性质,其性能常数变为5+2+3=10个。在工程应用中,弹性压电介质一般并不用作结构的承载部件,而只是作为附着在结构上的感测与驱动元件,通常制成薄膜层粘贴在结构上。因此往往可以简化为x-z或y-z平面内的平面问题。以x-z平面内的平面应力问题为例,基本方程变为1无体力影响静力平衡方程无体力影响∂σx∂x+∂τxz∂z=0‚∂σz∂z+∂τzx∂x=0(1)22变换协调方程∂2εx∂z2+∂2εz∂x2-∂2γzx∂x∂z=0(2)3物理方程(εxεzγzx)=(s11s130s13s33000s44)(σxσzτzx)+(0d310d33d150)(ExEz)(3)(DxDz)=00d15d31d330)(σxσzτzx)+(g1100g33)(ExEz)(4)(ExEz)=(-∂Φ∂x-∂Φ∂z)(5)4方程1(εxεzγzx)=(∂∂x00∂∂z∂∂z∂∂x)(uw)(6)5压电材料参数∂Dx∂x+∂Dz∂z=0(7)其中s11=c33c11-c213c13c211-c33c212-2c213c11+2c213c12‚s13=-c13c33c12-2c213+c33c11‚s33=c11+c12c33c12-2c213+c33c11‚s44=1c44,d31=-e33c13+e31c33c33c12-2c213+c33c11,d33=e33c12-2e31c13+e33c11c33c12-2c213+c33c11,d15=e15c44,g11=gp11+e215c44,g33=c12c33gp33+c12e233-2c213gp33+2c33e231-4c13e31e33+c11c33gp33+c11e233c33c12-2c213+c33c11上面式中σ、ε、D、E分别表示应力、应变、电位移、电场强度,u、w、φ表示位移和电势,Sij、dij、eij分别表示压电材料的短路柔度系数、压电应变常数和压电应力常数,cij、gij、gpij分别表示短路刚度系数、自由介电常数与夹持介电常数。3相关定理图1为沿z轴极化的压电梁。如前所述,在x-y平面内呈各向同性,在x-z平面内呈正交异性。假定厚度t远小于长度L及高度H,那么可以作为x-z平面内的平面应力问题进行讨论。由于没有外加电场,物理方程中的场强E仅是束缚电荷产生的电场强度,该电场对应力的影响是很小的,故可以考虑用非压电材料的弹性应力解作为此压电梁的应力来作试探:Jy=112tΗ3‚σx=FJy⋅xz‚σz=0‚τxz=F2Jy(z2-Η24)(8)将(8)代入(3)得εx=s11⋅FJyxz-d31∂Φ∂z‚εz=s13⋅FJyxz-d33∂Φ∂z‚γzx=s44⋅F2Jy(z2-Η24)-d15∂Φ∂x(9)将(9)代入(2)得d31∂3Φ∂z3+(d33-d15)∂3Φ∂x2∂z=0(10)再将(8)代入(4)有Dx=d15⋅F2Jy(z2-Η24)-g11∂Φ∂x‚Dz=d31⋅FJyxz-g33∂Φ∂z(11)将(11)代入(7)得g11∂2Φ∂x2+g33∂2Φ∂z2-d31⋅FJyx=0(12)由(12)解得:∂3Φ∂x2∂z=-g33g31⋅∂3Φ∂z3,代入(10)得:∂3Φ∂z3=0,再积分可得>=12f1(x)z2+f2(x)z+f3(x)(13)联系(13)与(12)有∂2>∂x2=12⋅f1″(x)z2+f2″(x)z+f3″(x)=d31g11⋅FJyx-g33g11f1(x)要使上式恒成立,不难解得f1(x)=a1x+a2‚f2(x)=a3x+a4‚f3(x)=1ΜΜx3-g332g11a2x2+a5x+a6式中:Μ=d31g11⋅FJy-g33g11‚a1,a2,a3,a4,a5,a6是待定常系数。将上式代入(13)有:>=12(a1x+a2)z2+(a3x+a4)z+16Μx3-g332g11a2x2+a5x+a6根据电学边界条件:>|z=-Η2=0‚Dz|z=±Η2=0,代入上式及(11)可确定>表达式中六个待定常数:a1=d31g33⋅FJy‚a2=a3=a4=a6=0‚a5=-Η2d318g33⋅FJy从而Φ=d312g33⋅FJy⋅xz2-Η2d318g33⋅FJy⋅x(14)将(14)与几何方程(6)代入物理方程展开式(9)并积分得:u=-Ν2x2z+13Ν1z3-p1z+p2‚w=F2Jy(s13-d31d33g33)xz2+13Ν2x3-(s44FΗ28Jy+d15a5-p1)x+p3式中,Ν1=(s44-s13+d31d33g33-d15d31g33)F2Jy‚Ν2=(d312g33-s11)F2Jy,待定系数p1、p2、p3可由位移边界条件来确定。本问题的位移边界条件为:u|x=Lz=0=w|x=Lz=0=0‚∂w∂x|x=Lz=0=0将u、w表达式代入上述边界条件可求得p1、p2、p3,从而u=(s11-d312g33)F2Jy⋅x2z+(s44-s13+d33d31g33-d15d31g33)F6Jy⋅z3-[(s44-d31d15g33)FΗ28Jy+(s11-d312g33)FL23Jy]⋅z(15)w=(s13-d31d33g33)F2Jy⋅xz2+(d312g33-s11)F6Jy⋅x3+(s11-d312g33)FL23Jy⋅x+(d312g33-S11)FL36Jy(16)这样,位移和电势的表达式就全部得到了,分别是式(14)、(15)、(16)。4悬臂梁有限元模型为检验以上表达式,作者用ANSYS软件对材料为PZT-4压电陶瓷的悬臂梁作有限元计算,图2～4分别给出x=L/2处位移u、w和电势>随z坐标的变化规律(图中——表示解析解,·点表示有限元解),由图可见,本文所导出位移和电势的表达式具有足够的精确度。5压电材料解析解的研究