第10章第2节无界函数的反常积分课件

本节讨论把定积分概念在另一个方面进行拓广,即假定积分区间仍为有限,但被积函数在区间上是无界的.这种情况下的积分称为无界函数的反常积分(瑕积分).引言10/17/20231本节讨论把定积分概念在另一个方面进行拓广,一、无界函数的广义积分概念二、无界函数的广义积分性质三、无界函数的广义积分收敛判别法四、无界函数的广义积分主值主要内容10/17/20232一、无界函数的广义积分概念二、无界函数的广义积分性质三、无界1.定义:

设函数

f(x)在区间(a,b]上连续,存在,则称此极限为函数

f(x)在(a,b]上的广义积分.

这时也称广义积分

收敛.

一.无界函数反常积分(瑕积分)的概念注意区间左端点而在点a的右邻域内无界,

取

>0.如果极限如果上述极限不存在,就称广义积分发散.10/17/202331.定义:设函数f(x)在区间(a,b]上连续,存2.定义:

设函数

f(x)在区间

上连续,存在,则称此极限为函数

f(x)在

上的广义积分.

以上定义中的a，b称为函数的奇点或瑕点.注意区间右端点而在点

b的左邻域内无界,取

>0.如果极限（即函数在区间上的不连续点）10/17/202342.定义:设函数f(x)在区间

若在内部有一个奇点c，a<c<b,3.定义:奇点在区间内部则收敛,且有且都收敛,10/17/20235若在例1:解:10/17/20236例1:解:10/8/20236所以10/17/20237所以10/8/20237例2：解：10/17/20238例2：解：10/8/20238二.无界函数反常积分(瑕积分)的性质和无穷积分相仿，瑕积分也有定积分具有的性质,包括分部积分法和换元法对于瑕积分也成立.瑕积分同样可以引进绝对收敛和条件收敛的概念，并且也有：绝对收敛必收敛，但反之未必.10/17/20239二.无界函数反常积分(瑕积分)的性质和无性质１10/17/202310性质１10/8/202310性质2（瑕积分）（定积分）10/17/202311性质2（瑕积分）（定积分）10/8/202311性质３10/17/202312性质３10/8/202312注:性质３说明绝对收敛的积分自身一定收敛．我们称收敛而不绝对收敛的积分为条件收敛．（这里的结论与级数中有关结论相似注意比较）但自身收敛的积分不一定绝对收敛．10/17/202313注:性质３说明绝对收敛的积分自身一定收敛．性质4(柯西收敛原理)等价叙述为：10/17/202314性质4(柯西收敛原理)等价叙述为：10/8/202314柯西判别法极限形式这里关键是记清楚条件中的p、k关系问题.10/17/202315柯西判别法极限形式这里关键是记清楚条件中的p、k关系问题.1无穷积分与瑕积分的联系：瑕积分无穷积分两种积分的关系通过上述等式就联系起来了.10/17/202316无穷积分与瑕积分的联系：瑕积分无穷积分两种积分的关系通过上述例3：解：10/17/202317例3：解：10/8/202317所以,x=a为被积函数的无穷间断点.

于是:oyx

a-

加10/17/202318所以,x=a为被积函数的无穷间断点.于是:oyxa-由于解：加作业:P701、2（1、3、5、7）10/17/202319由于解：加作业:P701、2（1、3、5、7）1三.瑕积分收敛的判别法*1.阿贝尔判别法（记清条件和结论会用）10/17/202320三.瑕积分收敛的判别法*1.阿贝尔判别法（记清条件和结论*2.狄利克雷判别法（记清条件和结论会用）10/17/202321*2.狄利克雷判别法（记清条件和结论会用）10/8/2023解根据比较判别法,加10/17/202322解根据比较判别法,加10/8/202322解由洛必达法则知根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散.

a=1这里k=1，p=1加10/17/202323解由洛必达法则知根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散.四.广义积分（无穷积分.瑕积分)的主值1.瑕积分的柯西主值:10/17/202324四.广义积分（无穷积分.瑕积分)的主值1.瑕积分的柯西主2.无穷积分的柯西主值:例6：解：作业:P714（2、4、5）6（1、2）10/17/2023252.无穷积分的柯西主值:例6：解：作业:P71特点:1.积分区间为无穷;10/17/202326特点:1.积分区间为无穷;10/8/20232610/17/20232710/8/202327－函数的几个重要性质：10/17/202328－函数的几个重要性质：10