爱提分七年级寒假 第03讲-实数(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱实数知识精讲一．无理数无理数的概念：无理数是无限不循环小数；常见的无理数有：无限不循环小数（例如），开方开不尽的数（例如，）．二．实数的概念概念有理数和无理数统称为实数．性质1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；2．任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；例：-1.5+3=1.53．两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．如：两个相同的无理数作减法则为04．无理数与有理数的和、差一定是无理数；例：5-经计算依旧是无理数5．无理数乘或除以一个不为0的有理数结果一定是无理数例：，其结果仍然是无理数.6．任何实数与0的乘积都是有理数即0.三．实数的分类四．易错点：1．只有非负数才有平方根，无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且；2．实数与数轴上的点一一对应；三点剖析一．考点：实数的概念和分类，实数的性质．二．重难点：实数的性质三．易错点：1．无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且．

2．实数与数轴上的点一一对应．无理数例题例题1、这7个实数中，无理数的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】是无理数．例题2、在给出的一组－3，π，，3.14，，中，无理数有（）A.1个B.2个C.3个D.5个【答案】C【解析】－3，π，，3.14，，中无理数有π，，这3个，例题3、有下列说法中正确的说法的个数是（）（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数，零，负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】（1）开方开不尽的数是无理数，但是无理数不仅仅是开方开不尽的数，故（1）说法错误；（2）无理数是无限不循环小数，故（2）说法正确；（3）0是有理数，故（3）说法错误；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示，故（4）说法正确．随练随练1、在给出的一组数π，，3.14，，，，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）中，无理数有（）A.5个B.4个C.3个D.2个【答案】B【解析】在π，，3.14，，，，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）中，3.14，，，是有理数，π，，，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无理数．随练2、在下列实数中：－0.6，，，，，，3.14，无理数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解析】－0.6，，，3.14是有理数，，，是无理数．随练3、下列说法：①带根号的数是无理数；②不含根号的数一定是有理数；③无理数是开方开不尽的数；④无限小数是无理数；⑤π是无理数，其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】D【解析】①带根号的数不一定是无理数，如；②不含根号的数不一定是有理数，如无限不循环小数；③开方开不尽的数是无理数；④无限不循环小数是无理数；⑤π是无理数，该说法正确．随练4、下列说法中，正确的是（）A.无理数包括正无理数、0和负无理数B.无理数是用根号形式表示的数C.无理数是开方开不尽的数D.无理数是无限不循环小数【答案】D【解析】、0不是无理数，故无理数不包括0，故本选项错误；、无理数不是用根号表示的数，例如，是有理数，故本选项错误；、开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数，故本选项错误；、无理数是无限不循环小数，故本选项错误．随练5、如图所示，实数，则在数轴上，表示的点应落在（）A.线段上B.线段上C.线段上D.线段上【答案】A【解析】，，实数的概念和性质例题例题1、和数轴上的点一一对应的是（）A.有理数B.无理数C.实数D.整数和分数【答案】C【解析】和数轴上的点一一对应的是实数．例题2、下列说法中错误的是（）A.任何实数的绝对值都是非负数B.不带根号的数是有理数C.实数包括有理数和无理数D.实数与数轴上的点之间是一一对应的【答案】B【解析】、任何实数的绝对值都是非负数，正确；、不带根号的数不一定是有理数，如，错误；、实数包括有理数和无理数，正确；、实数与数轴上的点之间是一一对应的，正确．例题3、下列说法中，正确的是（）A.无理数包括正无理数、0和负无理数 B.无理数是用根号形式表示的数 C.无理数是开方开不尽的数 D.无理数是无限不循环小数【答案】D【解析】A、0不是无理数，故无理数不包括0，故本选项错误；B、无理数不是用根号表示的数，例如，是有理数，故本选项错误；C、开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数，故本选项错误；D、无理数是无限不循环小数，故本选项错误．故选：D．例题4、已知：和都是无理数，且，下面提供的个数，，，，，可能成为有理数的个数有__________个【答案】【解析】若，，则、ab均为有理数；若，，则、均为有理数；若，，则为有理数；若，，则为有理数随练实数的运算知识精讲一.实数的运算实数的运算法则先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．定义新运算近几年的中考题中出现了一类“定义新运算”型的题目，这类题目以加、减、乘、除、乘方等运算为基础，定义了很多具有实际意义的新运算．这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算规律，其实质是给出了一种变换规则，以此考查同学们的思维应变能力和计算能力．解此类问题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们所熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算．二.易错点1．运算顺序需要注意.2．解答定义新运算题，关键是要正确地理解新定义的算式的含义，在计算时，严格按照规定的法则代入数值，然后转化为常规的四则运算算式进行计算．三点剖析一．考点：实数的运算，定义新运算．二．重难点：定义新运算．三．易错点：解答定义新运算题，关键是要正确地理解新定义的算式的含义，在计算时，严格按照规定的法则代入数值，然后转化为常规的四则运算算式进行计算．实数的运算例题例题1、计算：（1）（2）【答案】（1）16（2）【解析】（1）原式＝；（2）原式＝．例题2、计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】（1）原式；（2）原式．随练随练1、已知的小数部分为a，的小数部分为b，则a＋b＝________．【答案】1【解析】∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴．随练2、已知，则x+y=．【答案】1．【解析】∵，∴，解得，则x+y=﹣1+2=1，故答案为1．随练3、已知a是16的算术平方根，b是9的平方根，c是－27的立方根，求a2＋b2＋c3＋a－c＋2的值．【答案】7【解析】因为a是16的算术平方根，所以a＝4，所以a2＝16，又因为b是9的平方根，所以b2＝9，因为c是－27的立方根，所以c3＝－27，c＝－3，所以a2＋b2＋c3＋a－c＋2＝16＋9－27＋4＋3＋2＝7．随练4、计算：（1）；（2）【答案】（1）（2）0.7【解析】（1）原式；（2）原式．定义新运算例题例题1、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※．那么12※4＝________．【答案】【解析】12※4＝．例题2、、为有理数，如果规定一种新的运算“”，定义：，请根据“”的意义计算下列各题：（1）；（2）．【答案】（1）－7（2）－5【解析】（1）根据题意得：；（2）根据题意得：，则．例题3、对于任意有理数a、b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a－b，例如：5⊗2＝2×5－2＝8，（－3）⊗4＝2×（－3）－4＝－10．若（x－3）⊗x＝2011，则x的值为________．【答案】2017【解析】已知等式利用题中新定义化简得：2（x－3）－x＝2011，解得：x＝2017．随练随练1、对于实数a、b，规定a⊕b＝a－2b，若4⊕（x－3）＝2，则x的值为（）A.－2B.C.D.4【答案】D【解析】4⊕（x－3）＝2，4－2（x－3）＝2，4－2x＋6＝2，解得：x＝4．随练2、若表示，求的值【答案】312．【解析】．拓展拓展1、在下列各数中：，3.1415926，，，，，（相邻两个6之间的7的个数逐次加1），无理数有（）个．A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】无理数有：，，，（相邻两个6之间的7的个数逐次加1），共4个．拓展2、请写出一个比3大比4小的无理数：________．【答案】π【解析】比3大比4小的无理数很多如π．拓展3、把下列各数填入相应的集合内：－7；0.32，，46，0，，，，（1）有理数集合{________}（2）无理数集合：{________}（3）正实数集合：{________}（4）实数集合：{________}【答案】（1）{－7，0.32，，46，0，，...}（2）{，...}（3）{0.32，，46，，，...}（4）{－7，0.32，，46，0，，，，...}【解析】（1）有理数集合：{－7，0.32，，46，0，，...}；（2）无理数集合：{，...}；（3）正实数集合：{0.32，，46，，，...}；（4）实数集合：{－7，0.32，，46，0，，，，...}拓展4、如图，数轴上，两点表示的数分别是1和，点关于点的对称点是点，则点所表示的数是________．【答案】【解析】点所表示的数是．拓展5、下列说法正确的是（）A.有理数、零、无理数统称为实数B.没有绝对值最小的实数C.最小的无理数是D.数轴上的点都表示实数【答案】D【解析】A、有理数、无理数统称为实数，故此选项错误；B、绝对值最小的实数是0，故此选项错误；C、没有最小的无理数，故此选项错误；D、数轴上的点都表示实数，正确．拓展6、已知的小数部分是a，的整数部分是b，则________．【答案】【解析】，，，，．拓展7、计算：（1）；（