爱提分七年级秋季 第12讲-直线、射线、线段(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱直线、射线、线段知识精讲一．直线、射线、线段图形表示方式端点个数延伸性度量性相同点直线直线0可向两个方向无限延伸不可度量都是直的线直线射线射线（为端点）1可向一个方向无限延伸不可度量射线线段线段(或线段)2不可延伸，可以延长可度量线段二．点、线、面的数量关系直线交点条直线最多有几个交点？……平面内1条直线有0个交点；平面内2条直线有1个交点；平面内3条直线最多有3个交点，第3条直线和前2条直线都相交，增加了2个交点，得1+2平面内4条直线最多有6个交点，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3；平面内5条直线最多有10个交点，第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4；……平面内条直线最多有个交点点连成线个点最多（任意三点不共线）能连成几条线段（直线）？平面内2个点可以最多连1条；平面内3个点可以最多连3条：第3个点和前2个点都相连，增加了2条线段，得1+2；平面内4个点可以最多连6条：第4个点和前3个点都相连，增加了3条线段，得1+2+3；平面内5个点可以最多连10条：第5个点和前4个点都相连，增加了4条线段，得1+2+3+4；……平面内个点最多能连条线段直线分割平面条直线能把平面最多分成几部分？……平面内1条直线将平面分成2部分，记作；平面内2条直线将平面最多分成4部分，记作；平面内3条直线将平面最多分成7部分，记作；平面内4条直线将平面最多分成11部分，记作；……平面内条直线将平面最多分成：个部分三．两点之间线段最短两点确定一条直线（1）在正常条件下，射击时要保证目标在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标；（2）植树时只要确定同一行的树坑所在的直线；（3）建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳，沿着这根绳就能砌出直的墙。（4）上体育课时，老师检查学生队伍是不是一直线，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一直线上……两点之间线段最短（1）过马路时尽管有天桥地下过街通道,可是很多行人还是宁愿冒着生命危险横过马路（2）把弯路改直可以缩短路程；……四．线段的计算1.中点、线段长的表示两点的距离连接两点间的线段的长度中点如果点把线段分成相等的两条线段和，点叫做线段的中点．表示为：其他等分点若M、N是线段AB的三等分点，则若M、N、P是线段AB的四等分点，则线段的加减如图，点B、C、在线段AD上则AC=AB+BC=AD-CD=BD-CD+AB；BC=AC-AB=BD-CD=AD-AB-CD…………2.线段的计算中点相关计算例：DB=3cm，BC=7cm，C是AD的中点，求AB的长.∵DB=3cm，BC=7cm∴CD=BC－DB=7－3=4cm，∵点C是AD的中点，∴AC=CD=4cm，∴AB=AC+CD+DB=4+4+3=11cm线段长的比例：如图，已知线段，点E、F分别是AB、CD的中点，且，则线段BC的长为多少？*类似已知线段之比或线段长的倍数关系时，可以通过设份数的方法解决设，，，点、分别是、的中点，，，动点问题例：已知线段AB=10cm，点C在直线AB上，BC=6cm，①求线段AC的长②若M是AB的中点,点N是BC的中点,求MN的长*动点问题一定要认真审题，如这道题中“点C在直线AB上”中的“直线”要尤其注意，即C可以在线段AB上，也可以在线段AB的延长线和反向延长线上，再根据题意画图分析①有两种情况：当点C在线段AB上时，AC=AB–BC=10–6=4当点C在线段AB的延长线时，AC=AB+BC=10+6=16②有两种情况：点M、N分别是AB、BC的中点，甲：乙：线段动点问题常与数轴、方程相结合，题目比较灵活，可以类比行程问题进行分析三点剖析一．考点：1．直线、射线、线段；2．线段的计算；3．两点之间线段最短．二．重难点：线段的计算三．易错点：直线、射线、线段的概念理解和区别．直线、射线、线段例题例题1、根据“反向延长线段”这句话，下列图中表示正确的是（）A.B.C.D.例题2、如图，点、、在直线上，则图中共有________条线段．例题3、如图，已知、、、四点，根据下列语句画图（1）画直线（2）连接、，相交于点（3）画射线、，交于点．例题4、按要求作图，并保留作图痕迹．如图，已知线段、、，用圆规和直尺作线段，使．例题5、如图，下列说法，正确说法的个数是（）①直线和直线是同一条直线；②射线与射线是同一条射线；③线段和线段是同一条线段；④图中有两条射线．A.0B.1C.2D.3例题6、建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线．这个实例体现的数学知识是（）A.两点之间，线段最短B.过已知三点可以画一条直线C.一条直线通过无数个点D.两点确定一条直线例题7、如图，在平面内有A、B、C三点，根据下列语句画图：（1）画直线AC，线段BC，射线AB；（2）在线段BC上任取一点D（不同于点B、C），连接线段AD；（3）数数看，此时图中线段共有______条。随练随练1、下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是（）A.用两个钉子就可以把木条固定在墙上B.植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线C.从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB来架设D.打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上随练2、下列说法中正确的个数为（）（1）过两点有且只有一条直线；（2）连接两点的线段叫两点间的距离；（3）两点之间所有连线中，线段最短；（4）射线比直线小一半．A.1个B.2个C.3个D.4个随练3、平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若在平面内的不同的n个点最多可确定36条直线，则n的值为（）A.6B.7C.8D.9线段的计算例题例题1、已知点C是线段AB的中点，点D在直线AB上，BD＝AB，若AD＝16，则CD＝________．例题2、如图，线段，是的中点，点在直线上，，则线段的长等于________．例题3、如图，，延长到，使，是线段的中点，求：（1）线段的长度：（2）线段的长度．例题4、如图，已知点，在线段上，、分别是、的中点，若，，（1）求的长．（2）若，，请用含有、的代数式表示出的长．例题5、如图，C、D是线段AB上两点，已知AC︰CD︰DB＝1︰2︰3，M、N分别为AC、DB的中点，且AB＝12cm，（1）求线段CD的长；（2）求线段MN的长．例题6、如图，B、C两点把线段AD分成2︰5︰3三部分（即：AB︰BC︰CD＝2︰5︰3），M为AD的中点．（1）判断线段AB与CM的大小关系，说明理由．（2）若CM＝6cm，求AD的长．例题7、如图，已知线段AB＝a，延长BA至点C，使．点D为线段BC的中点．（1）画出线段AC；（2）求CD的长；（3）若AD＝6cm，求a的值．例题8、如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为－5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）BP＝________，点P表示的数________（分别用含t的代数式表示）；（2）点P运动多少秒时，PB＝2PA？（3）若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．例题9、【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝________cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由随练随练1、如图已知点C为AB上一点，AC＝12cm，，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．随练2、如图所示，B，C两点把线段AD分成4︰5︰7的三部分，E是线段AD的中点，CD＝14厘米．（1）求EC的长；（2）求AB︰BE的值．随练3、如图，点是线段上的一点，是的中点，是的中点．（1）若，，求的长度；（2）若，求的长度．随练4、如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（1）若AP＝8cm，①运动1s后，求CD的长；②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．两点之间线段最短例题例题1、如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的道理是_____________________。例题2、下列四个日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小；④沿桌子的一边看，可将桌子排整齐．其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A.①③B.②③C.①④D.②④随练随练1、如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（）A.A→C→D→BB.A→C→F→BC.A→C→E→F→BD.A→C→M→B随练2、下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（）A.用两个钉子就可以把木条固定在墙上B.植树时只要确定两个坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线C.如果把A，B两地间弯曲的河道改直，那么就能缩短原来河道的长度D.测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直拓展拓展1、木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为（）A.两点之间，线段最短B.两点确定一条直线C.过一点，有无数条直线D.连接两点之间的线段叫做两点间的距离拓展2、一条直线上有4个点，那么（）A.它有3条线段，2条射线B.它有6条线段，8条射线C.它有3条线段，8条射线D.它有4条线段，2条射线拓展3、下列说法正确的个数是（）（1）射线AB和射线BA是一条射线（2）两点之间的连线中直线最短（3）若AP=BP，则P是线段AB的中点（4）经过任意三点可画出1条或3条直线．A.1个B.2个C.3个D.4个拓展4、两条直线相交有1个交点，三条直线两两相交有3个交点，四条直线两两相交有6个交点，n条直线两两相交有______个交点．拓展5、对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（）A.B.C.D.拓展6、已知线段，延长到，使，反向延长到，使，若，则的长是________．拓展7、如图，点B、D在线段AC上，BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是5cm，求AB的长．拓展8、如图，，，三点在线段上，，点是线段的中点，，求线段的长．拓展9、已知点在线段上，且，，，分别是，的中点．（1）求线段的长度；（2）如果，，其他条件不变，你能猜出的长度吗？（3）如果我们这样叙述它：“已知点与线段在同一直线上，线段，，，分别是，的中点，求的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．拓展10、如图所示，线段AB=6cm，C点从P点出发以1cm/s的速度沿AB向左运动，D点从B出发以2cm/s的速度沿AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C，D运动到任意时刻都有PD=2AC，求出P在AB上的位置；（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，若AQ﹣BQ=PQ，求PQ的值；（3）在（1）的条件下，若C，D运动了一段时间后恰有AB=2CD，这时点C停止运动，点继续在线段PB上运动，M，N分别是CD，PD的中点，求出MN的值．拓展11、已知数轴上有A、B两个点．（1）如图1，若，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且，则________，________，________（用含a的代数式表示）；（2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为－40，－10，20．①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：．②现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值．拓展1