中考数学综合题专题【以动点问题为基础的综合题二】专题解析

中考数学综合题专题【以动点问题为基础的综合题二】专题解析31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．点P从点A出发沿AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动；点Q从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动．运动过程中DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PB－BC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒．（1）当t＝______________秒，直线DE经过点B；当t＝______________秒，直线DE经过点A；（2）四边形DPBE能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（3）当t为何值时，点E是BC的中点？BQADCEP（4）以E为圆心，EC长为半径的圆能否与AB、AC、PQ同时相切？若能，BQADCEPBQADCP(E)解：（1）EQ\F(20－2eq\r(,73),3)BQADCP(E)提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6∴BC＝eq\r(,AB2－AC2)＝eq\r(,102－62)＝8当直线DE经过点B时，连接QB，则PB＝QB∴(10－2t)2＝t2＋82，解得t＝EQ\F(20＋2eq\r(,73),3)（舍去）或t＝EQ\F(20－2eq\r(,73),3)BQADCPE当直线DEBQADCPE∴2t＝6－t，即t＝2（2）①当DE∥PB时，四边形DPBE是直角梯形此时∠APQ＝90°，由△AQP∽△ABC，得EQ\F(AP,AC)＝EQ\F(AQ,AB)BQADCPE即EQ\F(2t,6)＝EQ\F(6－t,10)，解得t＝EQ\F(18,13)BQADCPE②当PQ∥BC时，四边形DPBE是直角梯形此时∠AQP＝90°，由△APQ∽△ABC，得EQ\F(AQ,AC)＝EQ\F(AP,AB)即EQ\F(6－t,6)＝EQ\F(2t,10)，解得t＝EQ\F(30,11)BQADCPE（3）连接QE、PE，作EG⊥PB于BQADCPE∵QE2＝t2＋42PE2＝PG2＋EG2＝(10－2t－EQ\F(4,5)×4)2＋(EQ\F(3,5)×4)2∴t2＋42＝(10－2t－EQ\F(4,5)×4)2＋(EQ\F(3,5)×4)2BQADCEPG解得t＝EQ\F(68＋2eq\r(,481),15)（舍去）或t＝EQ\F(68－2eq\r(,481),15)BQADCEPG（4）不能设⊙E与AB相切于F点，连接EF、EP、EQ则EC＝EF，EQ＝EP，∠ECQ＝∠EFP＝90°∴△ECQ≌△EFP，∴QC＝PF∵∠C＝90°，∴⊙E与AC相切于C点∴AC＝AF，∴AQ＝AP又AD＝AD，DQ＝DP∴△ADQ≌△ADP，∴∠ADQ＝∠ADP＝90°BQADCPEF又∠QDE＝90°，BQADCPEF由（1）知，此时t＝2，AQ＝6－t＝4∵AB＝10，AC＝6，∴sinB＝EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(6,10)＝EQ\F(3,5)设EC＝EF＝x，则EB＝EQ\F(EF,sinB)＝EQ\F(5,3)x∵EC＋EB＝BC，∴x＋EQ\F(5,3)x＝8∴x＝3，∴EC＝EF＝3∴AE＝eq\r(,AC2＋EC2)＝eq\r(,62＋32)＝3eq\r(,5)易知△ADQ∽△ACE，∴EQ\F(AD,AC)＝EQ\F(AQ,AE)∴EQ\F(AD,6)＝EQ\F(4,3eq\r(,5))，∴AD＝EQ\F(8,5)eq\r(,5)∴ED＝AE－AD＝3eq\r(,5)－EQ\F(8,5)eq\r(,5)＝EQ\F(7,5)eq\r(,5)＝eq\r(,EQ\F(49,5))而EC＝3＝eq\r(,EQ\F(45,5))，∴ED＞EC∴此时⊙E与PQ相离∴⊙E不能与AB、AC、PQ同时相切32．（山东青岛）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE:S五边形PQBCD＝1:29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．APAPQBCEDABC备用图ED解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝6，BC＝8APQBCED①∴AB＝eq\r(,62＋82APQBCED①∵D、E分别是AC、AB的中点AD＝DC＝3，AE＝EB＝5，DE∥BC且DE＝EQ\F(1,2)BC＝4∵PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠C＝90°又∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B∴△PQE∽△ACB，∴EQ\F(PE,AB)＝EQ\F(QE,BC)由题意得：PE＝4－t，QE＝2t－5∴EQ\F(4－t,10)＝EQ\F(2t－5,8)，解得t＝EQ\F(41,14)APQBCED②M（2APQBCED②M由△PME∽△ACB，得EQ\F(PM,AC)＝EQ\F(PE,AB)∴EQ\F(PM,6)＝EQ\F(4－t,10)，得PM＝EQ\F(3,5)(4－t)∴S△PQE＝EQ\F(1,2)EQ·PM＝EQ\F(1,2)(2t－5)·EQ\F(3,5)(4－t)＝EQ\F(3,5)t2－EQ\F(39,10)t＋6S梯形DCBE＝EQ\F(1,2)×(4＋8)×3＝18∴y＝18－(EQ\F(3,5)t2－EQ\F(39,10)t＋6)＝－EQ\F(3,5)t2＋EQ\F(39,10)t＋12（3）假设存在时刻t，使S△PQE:S五边形PQBCD＝1:29此时S△PQE＝EQ\F(1,30)S梯形DCBE∴EQ\F(3,5)t2－EQ\F(39,10)t＋6＝EQ\F(1,30)×18，解得t1＝2，t2＝EQ\F(9,2)（舍去）当t＝2时，PM＝EQ\F(3,5)(4－2)＝EQ\F(6,5)，ME＝EQ\F(4,5)(4－2)＝EQ\F(8,5)EQ＝5－2×2＝1，MQ＝ME＋EQ＝EQ\F(8,5)＋1＝EQ\F(13,5)PQ＝eq\r(,PM2＋MQ2)＝EQ\F(eq\r(,205),5)∵EQ\F(1,2)PQ·h＝EQ\F(3,5)，∴h＝EQ\F(6,5)×EQ\F(5,eq\r(,205))＝EQ\F(6eq\r(,205),205)33．（山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G．当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？xOyADCBFG图1E图1P图1Q（3）在动点P，Q运动的过程中，当xOyADCBFG图1E图1P图1QxOyAxOyADCBFG图1E图1P图1Q由题意，可设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋4∵抛物线过点C（3，0）∴0＝a(3－1)2＋4，∴a＝－1∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4即y＝－x2＋2x＋3（2）∵A（1，4），C（3，0）∴可求直线AC的解析式为y＝－2x＋6P（1，4－t）将y＝4－t代入y＝－2x＋6中，解得点E的横坐标为x＝1＋EQ\F(t,2)∴点G的横坐标为1＋EQ\F(t,2)，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4－EQ\F(t2,4)∴GE＝(4－EQ\F(t2,4))－(4－t)＝t－EQ\F(t2,4)又点A到GE的距离为EQ\F(t,2)，C到GE的距离为2－EQ\F(t,2)即S△ACG＝S△AEG＋S△CEG＝EQ\F(1,2)EG·EQ\F(t,2)＋EQ\F(1,2)EG(2－EQ\F(t,2))＝EQ\F(1,2)·2(t－EQ\F(t2,4))＝－EQ\F(1,4)(t－2)2＋1xOyADCBE图xOyADCBE图1P图1QHN（3）t＝EQ\F(20,13)或t＝20－8eq\r(,5)提示：∵A（1，4），C（3，0），∴AB＝4，BC＝2∴AC＝eq\r(,22＋42)＝2eq\r(,5)，∴cos∠BAC＝EQ\F(AB,AC)＝EQ\F(4,2eq\r(,5))＝EQ\F(2eq\r(,5),5)∵PE⊥AB，AP＝t，∴AE＝EQ\F(AP,cos∠BAC)＝EQ\F(eq\r(,5),2)t∴CE＝2eq\r(,5)－EQ\F(eq\r(,5),2)txOyADCBE图1P图1QHxOyADCBE图1P图1QH过点Q作QN⊥EC于N，则CE＝2CN在Rt△QNC中，CN＝CQ·cos∠ACD＝CQ·cos∠BAC＝EQ\F(2eq\r(,5),5)t∴2eq\r(,5)－EQ\F(eq\r(,5),2)t＝EQ\F(4eq\r(,5),5)t，解得t＝EQ\F(20,13)若CE＝CQ，则在矩形ABCD的AD边上存在点H，使四边形CQHE为菱形∴2eq\r(,5)－EQ\F(eq\r(,5),2)t＝t，解得t＝20－8eq\r(,5)34．（山东模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC＝∠DEF＝90°，∠ABC＝45°，BC＝9，DE＝6，EF＝8．如图2，△DEF从图1的位置出发，以1个单位/秒的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3个单位/秒的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．（1）设△BQE的面积为y，求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？ABDEF图2PQC(E)ABABDEF图2PQC(E)ABDCF图1解：（1）∵∠ACB＝45°，∠DEF＝90°，∴∠EQC＝45°∴EC＝EQ＝t，∴BE＝9－tABDEFPQC∴y＝EQ\F(1,2)BE·EQ＝EQ\F(1,2)(9－t)ABDEFPQC即y＝－EQ\F(1,2)t2＋EQ\F(9,2)t（0＜t≤EQ\F(10,3)）（2）在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝6，EF＝8∴DF＝eq\r(,DE2＋EF2)＝eq\r(,62＋82)＝10①当DQ＝DP时，则6－t＝10－3t，解得t＝2ABDEFPQCG②当PQ＝PD时，ABDEFPQCG则DH＝HQ＝EQ\F(1,2)(6－t)∵HP∥EF，∴△DHP∽△DEF∴EQ\F(DH,DE)＝EQ\F(DP,DF)，即EQ\F(EQ\F(1,2)(6－t),6)＝EQ\F(10－3t,10)，解得t＝EQ\F(30,13)③当QP＝QD时，过Q作QH⊥DP于HABDEFHQCP则DH＝HP＝EQ\F(1,2)(10ABDEFHQCP可得△DHQ∽△DEF，∴EQ\F(DH,DE)＝EQ\F(DQ,DF)即EQ\F(EQ\F(1,2)(10－3t),6)＝EQ\F(6－t,10)，解得t＝EQ\F(14,9)（3）假设存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上ABDEFPQCK过P作PK⊥BF于ABDEFPQCK∴EQ\F(PK,DE)＝EQ\F(KF,EF)＝EQ\F(PF,DF)，即EQ\F(PK,6)＝EQ\F(KF,8)＝EQ\F(3t,10)∴PK＝EQ\F(9,5)t，KF＝EQ\F(12,5)t∵P、Q、B三点共线，∴△BQE∽△BPK∴EQ\F(BE,QE)＝EQ\F(BK,PK)，即EQ\F(9－t,t)＝EQ\F(9－t＋8－EQ\F(12,5)t,EQ\F(9,5)t)，解得t＝EQ\F(1,2)即当t＝EQ\F(1,2)秒时，P、Q、B三点在同一条直线上35．（山东模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t（s）．（1）当四边形PQCM是等腰梯形时，求t的值；（2）当点M在线段PC的垂直平分线上时，求t的值；（3）当t为何值时，①△PQM是等腰三角形；②△PQM是直角三角形；（4）是否存在时刻t，使以PM为直径的圆与BC相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．AACBDPQM解：（1）作PE⊥AC于E，作QF⊥AC于FEACFBDPQMEACFBDPQM易知四边形PQFE是矩形，∴EF＝PQ∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC∵AB＝AC，∴PQ＝PB＝t，∴EF＝t∵AB＝10，BD＝8，∴AD＝eq\r(,102－82)＝6易证△APE∽△ABD，∴EQ\F(AE,AD)＝EQ\F(AP,AB)即EQ\F(AE,6)＝EQ\F(10－t,10)，∴AE＝6－EQ\F(3,5)t∴ME＝AE－AM＝6－EQ\F(3,5)t－2t＝6－EQ\F(13,5)tCF＝AC－(AE＋EF)＝10－(6－EQ\F(3,5)t＋t)＝4－EQ\F(2,5)t由ME＝CF，得6－EQ\F(13,5)t＝4－EQ\F(2,5)t，解得t＝EQ\F(10,11)ACBDPQMG∴当t＝EQ\F(10,11)ACBDPQMG（2）若点M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC作MG⊥AB于G，则△AMG∽△ABD∴EQ\F(AG,AD)＝EQ\F(MG,BD)＝EQ\F(AM,AB)，∴EQ\F(AG,6)＝EQ\F(MG,8)＝EQ\F(2t,10)∴AG＝EQ\F(6,5)t，MG＝EQ\F(8,5)t∴PG＝10－t－EQ\F(6,5)t＝10－EQ\F(11,5)t在Rt△GPM中，MP2＝(EQ\F(8,5)t)2＋(10－EQ\F(11,5)t)2＝EQ\F(37,5)t2－44t＋100又∵MC2＝(10－2t)2＝4t2－40t＋100由MP＝MC，得EQ\F(37,5)t2－44t＋100＝4t2－40t＋100解得t1＝EQ\F(20,17)，t2＝0（舍去）EACBDPQM∴当t＝EQ\F(20,17)s时，点EACBDPQM（3）①若PQ＝PM，则t2＝EQ\F(37,5)t2－44t＋100即8t2－55t＋125＝0△＝(－55)2－4×8×125＝－975＜0，方程无实数解若MP＝MQ，则点M在线段PQ的垂直平分线上作PE⊥AC于E，∴EM＝EQ\F(1,2)PQ＝EQ\F(1,2)tEACBDPQMF由（1）知，AE＝6－EQ\F(3,EACBDPQMF∵AE＋EM＝AM，∴6－EQ\F(3,5)t＋EQ\F(1,2)t＝2t解得t＝EQ\F(20,7)若PQ＝MQ，作PE⊥AC于E，作QF⊥AC于F由（1）知，QF＝PE∵△APE∽△ABD，∴EQ\F(PE,BD)＝EQ\F(AP,AB)即EQ\F(PE,8)＝EQ\F(10－t,10)，∴QF＝PE＝8－EQ\F(4,5)t又FM＝AM－(AE＋EF)＝2t－(6－EQ\F(3,5)t＋t)＝EQ\F(8,5)t－6∴MQ2＝(8－EQ\F(4,5)t)2＋(EQ\F(8,5)t－6)2＝EQ\F(16,5)t2－32t＋100由PQ＝MQ，得t2＝EQ\F(16,5)t2－32t＋100解得t1＝EQ\F(50,11)，t2＝10（舍去）ACBDPQM∴当t＝EQ\F(20,7)s或t＝EQ\F(50,11)s时，△PQM是等腰三角形ACBDPQM②若∠MPQ＝90°，则AM＝6－EQ\F(3,5)t∴2t＝6－EQ\F(3,5)t，∴t＝EQ\F(30,13)若∠PMQ＝90°，则PM2＋QM2＝PQ2∴EQ\F(37,5)t2－44t＋100＋EQ\F(16,5)t2－32t＋100＝t2即12t2－95t＋250＝0EACBDPQM△＝(－55)2－4×EACBDPQM若∠PQM＝90°，作PE⊥AC于E则AE＝6－EQ\F(3,5)t，EM＝PQ＝t∵AE＋EM＝AM，∴6－EQ\F(3,5)t＋t＝2t∴t＝EQ\F(15,4)∴当t＝EQ\F(30,13)s或t＝EQ\F(15,4)s时，△PQM是直角三角形（4）设PM的中点为N，分别过P、N、M作BC的垂线，垂足为G、K、H易证△PBG∽△BCD，△MCH∽△BCDACBDPQMGHKN∴EQ\F(PG,BD)＝EQ\F(PB,BC)，EQ\F(MH,BD)＝EQ\F(MC,BC)ACBDPQMGHKN∵AC＝10，AD＝6，∴DC＝4∴BC＝eq\r(,82＋42)＝4eq\r(,5)∴EQ\F(PG,8)＝EQ\F(t,4eq\r(,5))，EQ\F(MH,8)＝EQ\F(10－2t,4eq\r(,5))∴PG＝EQ\F(2,eq\r(,5))t，MH＝EQ\F(2,eq\r(,5))(10－2t)∴NK＝EQ\F(1,2)(PG＋MH)＝EQ\F(1,eq\r(,5))(10－t)若以PM为直径的圆与BC相切，则PM＝2NK∴PM2＝4NK2∴EQ\F(37,5)t2－44t＋100＝EQ\F(4,5)(10－t)2解得t1＝EQ\F(10,11)，t2＝EQ\F(10,3)∴当t＝EQ\F(10,11)s或t＝EQ\F(10,3)s时，以PM为直径的圆与BC相切36．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm．现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以lcm/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25cm/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？ADQ图1CP图ADQ图1CP图1B图1E图1解：（1）能．∵点P的速度为lcm/秒，点Q的速度为1.25cm/秒，t＝1秒ADQ图1CP图1B图ADQ图1CP图1B图1E图1∴QD＝BC－CD－BQ＝5－3－1.25＝0.75∵PE∥BC，∴△APE∽△ACD∴EQ\F(PE,CD)＝EQ\F(AP,AC)，即EQ\F(PE,3)＝EQ\F(1,4)∴PE＝0.75，∴PE＝QD∴四边形EQDP是平行四边形（2）∵AC＝4，BC＝5，AP＝t，BQ＝1.25t∴CP＝4－t，CQ＝5－1.25tADQ图1CP图1B图1E图1∴EQ\F(CP,CA)＝EQ\F(4－t,4)，EQ\F(CQ,CB)＝EQ\F(5－1.25t,5)＝EQ\F(4－t,4)ADQ图1CP图1B图1E图1∴EQ\F(CP,CA)＝EQ\F(CQ,CB)，∴PQ∥AB（3）①当∠EQD＝90°时易证△EDQ∽△ADC，∴EQ\F(DQ,DC)＝EQ\F(EQ,AC)显然点Q在点D右侧，DQ＝1.25t－2，EQ＝PC＝4－tADQ图1CP图1B图1E图1∴EQ\F(1.25t－2,3)＝EQ\F(4－t,4)ADQ图1CP图1B图1E图1②当∠DEQ＝90°时易证△DEQ∽△DCA，∴EQ\F(DE,DC)＝EQ\F(DQ,DA)∵PE∥BC，∴△APE∽△ACD，∴EQ\F(AE,AD)＝EQ\F(AP,AC)∵AC＝4，CD＝3，∴AD＝5∴EQ\F(AE,5)＝EQ\F(t,4)，∴AE＝1.25t，DE＝5－1.25t显然点Q在点D右侧，DQ＝1.25t－2∴EQ\F(5－1.25t,3)＝EQ\F(1.25t－2,5)，解得t＝3.1∴当t＝2.5秒或t＝3.1秒时，△EDQ为直角三角形37．（内蒙古呼伦贝尔）如图①，在平面直角坐标系内，Rt△ABC≌Rt△FED，点C、D与原点O重合，点A、F在y轴上重合，∠B＝∠E＝30°，AC＝FD＝eq\r(,3)．△FED不动，△ABC沿直线BE以每秒1个单位的速度向右平移，直到点B与点E重合为止．设平移时间为x（秒），平移过程中AB与EF的交点为M．（1）求出图①中点B的坐标；（2）如图②，当x＝4秒时，求出过F、M、A三点的抛物线的解析式；此抛物线上有一动点P，以点P为圆心，以2为半径的⊙P在运动过程中是否存在与y轴相切的情况，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设移动x秒后两个三角形重叠部分的面积为S，求出整个运动过程中S与x的函数关系式．FBFBDEOxy图②CAMABCE(F)(D)Oxy图①解：（1）如图①，在Rt△ABC中，AC＝eq\r(,3)，∠B＝30°ABCE(F)(D)Oxy图①∴BC＝eq\r(,3)ACABCE(F)(D)Oxy图①（2）如图②，∵x＝4，∴A（4，eq\r(,3)），B（1，0）过M作MH⊥BE于H由题意，OE＝BC＝3，∴BE＝2∵∠B＝∠E，∴MB＝ME∴BH＝EQ\F(1,2)BE＝1，∴OH＝2，MH＝EQ\F(eq\r(,3),3)∴M（2，EQ\F(eq\r(,3),3)）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把F、M、A三点坐标代入FBDEOxy图②CAMHeq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(c＝eq\r(,3),4a＋2b＋c＝EQ\F(eq\r(,3),3),16a＋4b＋c＝eq\r(,3)))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a＝EQ\F(eq\r(,3),6),b＝－EQ\F(2eq\r(,3),3),c＝eq\r(,3)))FBDEOxy图②CAMH∴抛物线的解析式为y＝EQ\F(eq\r(,3),6)x2－EQ\F(2eq\r(,3),3)x＋eq\r(,3)P1（2，EQ\F(eq\r(,3),3)）或P2（－2，3eq\r(,3)）提示：若半径为2的⊙P与y轴相切，那么点P的横坐标为2或－2当x＝2时，y＝EQ\F(eq\r(,3),6)x2－EQ\F(2eq\r(,3),3)x＋eq\r(,3)＝EQ\F(eq\r(,3),3)当x＝－2时，y＝EQ\F(eq\r(,3),6)x2－EQ\F(2eq\r(,3),3)x＋eq\r(,3)＝3eq\r(,3)∴存在符合条件的点P，坐标为P1（2，EQ\F(eq\r(,3),3)）或P2（－2，3eq\r(,3)）（3）当点B、O重合时，x＝3，所以整个运动过程可分为两个阶段：①当0≤x＜3时，如图③FBDEOxy图③CAMHGBO＝3－x，CD＝x，OG＝CH＝EQ\F(eq\r(,3),3)BO＝EQ\F(eq\r(,3),3)(3－xFBDEOxy图③CAMHGFG＝eq\r(,3)－EQ\F(eq\r(,3),3)(3－x)＝EQ\F(eq\r(,3),3)x∴S＝S梯形FDCH－S△FGM＝EQ\F(1,2)[eq\r(,3)＋EQ\F(eq\r(,3),3)(3－x)]·x－EQ\F(1,2)·EQ\F(eq\r(,3),3)x·EQ\F(eq\r(,3),2)·EQ\F(eq\r(,3),3)x＝－EQ\F(eq\r(,3),4)x2＋eq\r(,3)xFBDEOxy图④CAM②当3≤x≤6时，如图④，BE＝3－FBDEOxy图④CAM∴S＝S△BME＝EQ\F(1,2)(6－x)·EQ\F(1,2)(6－x)·EQ\F(eq\r(,3),3)＝EQ\F(eq\r(,3),12)x2－eq\r(,3)x＋3eq\r(,3)综上所述，S与x的函数关系式为：S＝eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(－EQ\F(eq\r(,3),4)x2＋eq\r(,3)x（0≤x＜3）,EQ\F(eq\r(,3),12)x2－eq\r(,3)x＋3eq\r(,3)（3≤x≤6）))38．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OA在x轴正半轴上，且OA＝4，AB＝2，将△OAB沿某条直线翻折，使OA与y轴正半轴的OC重合．点B的对应点为点D，连接AD交OB于点E．（1）求AD所在直线的解析式：（2）连接BD，若动点M从点A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AO运动，线段AM的垂直平分线交直线AD于点N，交直线BD于点Q．设线段QN的长为y（y≠0），点M的运动时间为t秒，求y与t之问的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；AOCxEBDy备用图AOCxEBDy（3）AOCxEBDy备用图AOCxEBDyAOCxNBDyAOCxNBDyEQHM∴OC＝OA＝4，CD＝AB＝2∴D（2，4）设直线AD的解析式为y＝kx＋b，把A（4，0），D（2，4）代入eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(0＝4k＋b,4＝2k＋b))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k＝－2,b＝8))∴y＝－2x＋8（2）由B（4，2），D（2，4），可得直线BD的解析式为y＝－x＋6∵直线NQ垂直平分线段AMAOCxNBDyEQHM∴NH⊥AM，AH＝MH＝EQ\F(1,2)AM＝EQ\F(1,2)AOCxNBDyEQHM∴OH＝4－t，∴H（4－t，0）∴点Q、N的横坐标为为4－t∴QH＝－(4－t)＋6＝t＋2，NH＝－2(4－t)＋8＝2t当0＜t＜2时，点Q在点N上方y＝QN＝t＋2－2t＝－t＋2当t＞2时，点Q在点N下方y＝QN＝2t－(t＋2)＝t－2（3）过点D作DF⊥OA于F，则CD∥OF，CD＝OF＝2AOCxEBDyFKGIAOCxEBDyFKGIMO′MN∵DF⊥OA，∴OD＝AD，∠ODC＝∠DOF＝∠DAF∵△OAB≌△OCD，∴∠COD＝∠AOB∵∠COD＋∠AOD＝90°，∴∠OED＝∠AOB＋∠OAD＝90°∴OD为经过D、E、O三点的圆的直径，OD的中点O′为圆心在Rt△OCD中，OD＝eq\r(,OC2＋CD2)＝2eq\r(,5)tan∠COD＝EQ\F(CD,OC)＝EQ\F(1,2)，tan∠ODC＝EQ\F(OC,CD)＝2∵NH垂直平分线段AM，∴∠NMA＝∠NAM∵∠DOA＝∠NAM，∠NMA＝∠DOA，∴MN∥OD设直线MN与⊙O′相切于G点，连接O′G，作GK⊥OA于K，MI⊥OD于IAOCxEBDyFKGIMOAOCxEBDyFKGIMO′MN∵MI⊥OD，∴四边形O′IMG为矩形∴IM＝O′G＝eq\r(,5)，MG＝O′I∴OI＝EQ\F(eq\r(,5),2)，OM＝EQ\F(5,2)，∴MG＝O′I＝EQ\F(eq\r(,5),2)∴KG＝1，MK＝EQ\F(1,2)，∴OK＝3，∴G（3，1）∵OM＋AM＝OA，∴EQ\F(5,2)＋2t＝4，∴t＝EQ\F(3,4)同理可求当t＝EQ\F(13,4)时，切点G（－1，3）∴当t＝EQ\F(3,4)或t＝EQ\F(13,4)时，直线MN与过D、E、O三点的圆相切，切点分别为G（3，1）或G（－1，3）39．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋b与x轴交于点A，与正比例函数y＝－EQ\F(4,3)x的图象交于点B，过B点作BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8）．（1）求直线AB的解析式；（2）动点M从点A出发沿线段AO以每秒1个单位的速度向终点O匀速移动，过点M作x轴的垂线交折线A－B－O于点P．设M点移动的时间为t秒，线段BP的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点Q同时从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿折线O－C－B向点B移动，当动点M停止移动时，点Q同时停止移动．当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？AOCAOCByxAOCByx备用图AOCByx备用图解：（1）∵BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8）∴点B的纵坐标为8∵y＝－EQ\F(4,3)x，当y＝8时，x＝－6，∴B（－6，8）AOCByxPMD把（－6，8）代入y＝x＋b，得8＝－AOCByxPMD∴直线AB的解析式为y＝x＋14（2）由题意得AM＝t∵直线AB：y＝x＋14交x轴于点A∴A（－14，0），∴OA＝14过点B作BD⊥x轴于点D∵B（－6，8），∴BD＝8，OD＝6∴AD＝14－6＝8，∴AB＝eq\r(,82＋82)＝8eq\r(,2)OB＝eq\r(,82＋62)＝10，∴∠BAD＝45°，cos∠DOB＝EQ\F(3,5)①当点M在AD上时AOCByxPMD∵PM⊥x轴，∴∠PMA＝90°，∴APAOCByxPMD∴d＝BP＝AB－AP＝8eq\r(,2)－eq\r(,2)t（0≤t＜8）②当点M在OD上时，OM＝14－t∵∠PMO＝90°，cos∠DOB＝EQ\F(3,5)，∴OP＝EQ\F(5,3)(14－t)∴d＝BP＝OB－OP＝10－EQ\F(5,3)(14－t)＝EQ\F(5,3)t－EQ\F(40,3)（8＜t≤14）综上，d＝eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(8eq\r(,2)－eq\r(,2)t（0≤t＜8）,EQ\F(5,3)t－EQ\F(40,3)（8＜t≤14）))（3）①当点P在AB上时（0≤t＜8），Q在OC上AOCByxPMDQBQ2＝BC2＋CQ2＝62AOCByxPMDQ∵PM＝OQ＝t，∠PMO＝∠MOQ＝90°∴四边形PMOQ为矩形，∴PQ＝OM＝14－t∵PM＝OQ＝t，∴PQ∥AO∴∠BPQ＝∠BAO＝∠ABD∵∠PBQ＞∠ABD，∴∠PBQ＞∠BPQ，∴PQ≠BQ当BP＝BQ时，(8eq\r(,2)－eq\r(,2)t)2＝62＋(8－t)2AOCByxPMDQHAOCByxPMDQH∵0≤t＜8，∴t2＝2当PB＝PQ时，(8eq\r(,2)－eq\r(,2)t)2＝(14－t)2，解得t＝2±6eq\r(,2)∵0≤t＜8，∴t＝2±6eq\r(,2)不合题意，舍去②当点P在BO上时（8＜t≤14），Q在BC上BQ＝6＋8－t＝14－t当BP＝BQ时，EQ\F(5,3)t－EQ\F(40,3)＝14－t，解得t＝EQ\F(41,4)AOCByxPMDQK当PBAOCByxPMDQK∴BQ＝2BH∵BH＝DM＝t－8，∴14－t＝2(t－8)，解得t＝10当QB＝QP时，过点Q作QK⊥BC于K∴BP＝2BK∵BP＝EQ\F(5,3)(t－8)，BK＝EQ\F(3,5)(14－t)∴EQ\F(5,3)(t－8)＝EQ\F(6,5)(14－t)，解得t＝EQ\F(452,43)综上，当t＝2或t＝10或t＝EQ\F(41,4)或t＝EQ\F(452,43)时，△BPQ是等腰三角形40．（哈尔滨模拟）如图，直线y＝EQ\F(4,3)x＋12分别与x轴、y轴交于点A、B，直线BC交x轴于点C，且AB＝AC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线，分别交直线BC、直线AB于点Q、M，过点Q作QN⊥AB于点N．设点P的运动时间为t（秒），线段MN的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）若经过A、N、Q三点的圆与直线BC交于另一点K，当t为何值时，KQ:AQ＝eq\r(,10):10？AAOCNyxPQBMK解：（1）∵直线y＝EQ\F(4,3)x＋12分别与x轴、y轴交于点A、B∴A（－9，0），B（0，12），∴OA＝9，OB＝12∴AB＝eq\r(,92＋122)＝15，∴sin∠BAO＝EQ\F(OB,AB)＝EQ\F(4,5)∵AB＝AC，∴AC＝15，∴C（6，0）设直线BC的解析式为y＝kx＋b∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(c＝12,6k＋b＝0))解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(k＝－2,b＝12))∴直线BC的解析式为y＝－2x＋12（2）由题意，PC＝t，∴OP＝6－tAOCNyxPQAOCNyxPQBMK∴PM＝EQ\F(4,3)(6－t)＋12，PQ＝－2(6－t)＋12∴MQ＝PM－PQ＝20－EQ\F(10,3)t∵∠AMP＋∠MAP＝∠AMP＋∠MQN＝90°∴∠MQN＝∠MAP＝∠BAO∴sin∠MQN＝sin∠BAO＝EQ\F(4,5)∴MN＝MQ·sin∠MQN＝EQ\F(4,5)(20－EQ\F(10,3)t)＝16－EQ\F(8,3)t∴d＝16－EQ\F(8,3)t（0≤t＜6）（3）连接AK、AQ∵∠ANQ＝90°，∴AQ为经过A、N、Q三点的圆的直径∴∠AKQ＝90°∵OB＝12，OC＝6，∴BC＝eq\r(,62＋122)＝6eq\r(,5)由S△ABC＝EQ\F(1,2)AC·OB＝EQ\F(1,2)BC·AK，得AK＝6eq\r(,5)∵KQ:AQ＝eq\r(,10):10，∴设KQ＝m，则AQ＝eq\r(,10)m在Rt△AKQ中，AK2＋KQ2＝AQ2∴(6eq\r(,5))2＋m2＝(eq\r(,10)m)2，m＝2eq\r(,5)∴AQ＝eq\r(,10)m＝10eq\r(,2)∵tan∠BCO＝EQ\F(OB,OC)＝2，∴PQ＝PC·tan∠BCO＝2t在Rt△AQP中，AP2＋PQ2＝AQ2∴(15－t)2＋(2t)2＝(10eq\r(,2))2解得t1＝1，t2＝5∴当t＝1或t＝5时，KQ:AQ＝eq\r(,10):1041．（哈尔滨模拟）如图，直线y＝－kx＋6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA－AB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；BOyxEAFPlBOyxA备用图（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB＝BOyxEAFPlBOyxA备用图解：（1）∵y＝－kx＋6k，当x＝0时，y＝6k；当y＝0时，x＝6∴OA＝6，OB＝6k∵S△AOB＝24，∴EQ\F(1,2)×6×6k＝24，∴k＝EQ\F(4,3)BOyxEAFPlH∴直线AB的解析式为y＝－EQ\F(4,3BOyxEAFPlH（2）根据题意，OE＝t，EF∥OA，∴△BEF∽△BOA∴EQ\F(EF,OA)＝EQ\F(BE,BO)，即EQ\F(EF,6)＝EQ\F(8－t,8)，∴EF＝EQ\F(3,4)(8－t)①当0＜t≤3时，点P在OA上运动过点P作PH⊥EF于H，则PH＝OE＝t∴S＝EQ\F(1,2)EF·PH＝EQ\F(1,2)·EQ\F(3,4)(8－t)·t＝－EQ\F(3,8)t2＋3t②当点P在AB上运动时过点P作PG⊥OA于G，设直线PG与EF相交于点M，则MG＝OE＝tBOyxEAFPlGM易知△APG∽△ABO，∴EQ\F(PG,BO)＝EQ\F(AP,BOyxEAFPlGM∵OA＝6，OB＝8，∴AB＝eq\r(,62＋82)＝10∴EQ\F(PG,8)＝EQ\F(2t－6,10)，∴PG＝EQ\F(4,5)(2t－6)当点P与点F重合时，有PG＝OE∴EQ\F(4,5)(2t－6)＝t，解得t＝8，即PG＝8点P与点F重合前，MP＝MG－PG＝t－EQ\F(4,5)(2t－6)＝－EQ\F(3,5)t＋EQ\F(24,5)∴S＝EQ\F(1,2)EF·MP＝EQ\F(1,2)·EQ\F(3,4)(8－t)(－EQ\F(3,5)t＋EQ\F(24,5))＝EQ\F(9,40)t2－EQ\F(18,5)t＋EQ\F(72,5)综上，S＝eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(－EQ\F(3,8)t2＋3t（0＜t≤3）,EQ\F(9,40)t2－EQ\F(18,5)t＋EQ\F(72,5)（3＜t＜8）))（3）①当点P在OA上，点M在点F左侧时BOyxEAFPlCMD作BOyxEAFPlCMD则FD＝OE＝t，EM＝OP＝2t，MF＝EF－EM＝EQ\F(3,4)(8－t)－2t在Rt△CMF中，EQ\F(CM,CF)＝tan∠MFC＝tan∠BAO＝EQ\F(OB,OA)＝EQ\F(4,3)设CM＝4k，则CF＝3k，MF＝eq\r(,(4k)2＋(3k)2)＝5k在Rt△MAC中，EQ\F(CM,AC)＝tan∠MAC＝tan∠MAB＝EQ\F(1,2)∴AC＝2CM＝8k，∴AF＝5k，∴MF＝AF在Rt△AFD中，EQ\F(FD,AF)＝EQ\F(t,AF)＝sin∠FAD＝sin∠BAO＝EQ\F(4,5)∴AF＝EQ\F(5,4)t，∴EQ\F(3,4)(8－t)－2t＝EQ\F(5,4)t，解得t＝EQ\F(3,2)当点P在OA上，点M在点F右侧时，可求得t＝EQ\F(11,4)BOyxEAFPlGMK②当点BOyxEAFPlGMK在Rt△PMK中，EQ\F(MK,PK)＝tan∠MPK＝tan∠ABO＝EQ\F(3,4)设MK＝3m，则PK＝4m，MP＝5m，AK＝6m∴AP＝AK－PK＝2m，∴2t－6＝2m∵MP＝t－EQ\F(4,5)(2t－6)，∴t－EQ\F(4,5)(2t－6)＝5m∴t－EQ\F(4,5)(2t－6)＝EQ\F(5,2)(2t－6)，解得t＝EQ\F(99,28)综上所述，满足条件的t值是EQ\F(3,2)或EQ\F(11,4)或EQ\F(99,28)42．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA＝OB＝10，过点B作y轴的垂线，垂足为D，直线AB的解析式为y＝－3x＋30，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．（1）求点B坐标；（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿折线BC－CO运动；同时点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度沿对角线OB向终点B运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α＝90°－∠AOB时，求t的值．COCOyxDABCOyxDAB备用图COyxDABFD′解：（1）过点B作BF⊥OA于F，设COyxDABFD′在Rt△OBF中，a2＋(－3a＋30)2＝102解得a1＝10（舍去），a2＝8当a＝8时，－3a＋30＝6∴B（8，6）

（2）设点D关于直线OC的对称点为D′，连接CD′∵D′在腰OB上，∴OD＝OD′，∠DOC＝∠D′OC又OC＝OC，∴△DOC≌△D′OC∴CD′＝CD，∠CDO′＝∠CDO＝90°COyxDABEPQ∴S△POQ＝EQ\F(1,2)OD·BD＝EQ\F(1,2)OD·CD＋EQ\F(1,2)OB·CD′COyxDABEPQ∴CD＝EQ\F(OD·BD,OD＋OB)＝EQ\F(6×8,6＋10)＝3，∴BC＝5①当0≤t＜5时，点P在线段BC上过点Q作QE⊥BD于E，则△BQE∽△BOD∴EQ\F(QE,OD)＝EQ\F(BQ,BO)，即EQ\F(QE,6)＝EQ\F(10－t,10)，∴QE＝6－EQ\F(3,5)t∴S＝EQ\F(1,2)PC·QE＝EQ\F(1,2)(5－t)(6－EQ\F(3,5)t)COyxDABQPF即S＝EQ\F(3,10)t2－EQ\F(9,2)COyxDABQPF②当5＜t≤10时，点P在线段CO上过点Q作QF⊥OC于F∵COQ＝∠COD，∠QFO＝∠CDO＝90°∴△QFO∽△CDO，∴EQ\F(QF,CD)＝EQ\F(OQ,OC)即EQ\F(QF,3)＝EQ\F(t,3eq\r(,5))，∴QF＝EQ\F(eq\r(,5),5)tCOyxDABPQ∴S＝EQ\F(1,2)PC·QF＝EQ\F(1,2)(t－5)·EQ\F(eq\r(,5),5)tCOyxDABPQ即S＝EQ\F(eq\r(,5),10)t2－EQ\F(eq\r(,5),2)t（3）①当0≤t＜5时∵α＝90°－∠AOB＝∠BOD，即∠PQB＝∠DOB∴PQ∥DO，∴△BPQ∽△BDO∴EQ\F(BP,BD)＝EQ\F(BQ,BO)，即EQ\F(t,8)＝EQ\F(10－t,10)，∴t＝EQ\F(40,9)②当5＜t≤10时，过点P作PH⊥OB于HCOyxDABPQH∵∠PQO＝∠BOD，∴tan∠PQO＝∠BOD＝COyxDABPQH设PH＝4k，则QH＝3k，OH＝8k，OP＝4eq\r(,5)k∴OQ＝11k，∴11k＝t，∴k＝EQ\F(t,11)∴OP＝4eq\r(,5)k＝EQ\F(4eq\r(,5),11)t又∵OP＝3eq\r(,5)－(t－5)＝3eq\r(,5)＋5－t∴EQ\F(4eq\r(,5),11)t＝3eq\r(,5)＋5－t，∴t＝EQ\F(143eq\r(,5)－55,41)∴当α＝90°－∠AOB时，t的值为EQ\F(40,9)或EQ\F(143eq\r(,5)－55,41)43．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（EQ\F(25,6)，0），点B（3，4），将△OAB沿直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处．（1）求点C的坐标；（2）动点P从点O出发，以每秒5个单位的速度沿OB向终点B运动，连接AP，将射线AP绕着点A逆时针旋转与y轴交于一点Q，且旋转角α＝EQ\F(1,2)∠OAB．设线段OQ的长为d，点P运动的时间为t秒，求d与t的函数关系式（直接写出时间t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接CP．点P在运动的过程中，是否存在CP∥AQ，若存在，求此时t的值，并辨断点B与以点P为圆心，OQ长为半径的⊙P的位置关系；若不存在，请说明理由．BOBOCxAy备用图BOCxAy解：（1）过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥x轴于HBOCxAyGH∵A（EQ\F(25,6)，0），B（3，4），∴OA＝EQ\F(25,6)，OG＝3，BG＝BOCxAyGH∴AG＝EQ\F(7,6)，∴AB＝eq\r(,AG2＋BG2)＝EQ\F(25,6)，∴AB＝OA∵△OAB沿直线OB翻折得到△OCB∴△OAB≌△OCB，∴AB＝OA＝BC＝CO∴四边形ABCO是菱形∴CO∥AB，∴∠COH＝∠BAG∴Rt△CHO≌Rt△BGA，∴CH＝BG＝4，OH＝AG＝EQ\F(7,6)BOCxAyEPQ∴C（－EQ\F(7,6)，4）

（2）连接BOCxAyEPQ∵菱形ABCO，∴AC⊥BO，∠OAE＝EQ\F(1,2)∠OAB∵α＝EQ\F(1,2)∠OAB，∴∠OAP＝∠OAE，∴∠OAQ＝∠EAP∵∠AOQ＝∠AEP＝90°，∴△AOQ≌△AEP∴EQ\F(PE,OQ)＝EQ\F(AE,AO)由（1）知，CH＝4，AH＝EQ\F(16,3)∴AC＝eq\r(,AH2＋CH2)＝EQ\F(20,3)，∴AE＝EQ\F(10,3)，同理OE＝EQ\F(5,2)①当0≤t＜EQ\F(1,2)时∵OP＝5t，∴PE＝EQ\F(5,2)－5t，∴EQ\F(EQ\F(5,2)－5t,d)＝EQ\F(EQ\F(10,3),EQ\F(25,6))∴d＝－EQ\F(25,4)t＋EQ\F(25,8)②当EQ\F(1,2)＜t≤1时，同理可求d＝EQ\F(25,4)t－EQ\F(25,8)BOCxAyEPQBOCxAyEPQFK∵AQ∥CP，∴∠PCE＝∠QAE∵AE＝CE，AC⊥BO，∴PC＝PA∴∠PAE＝∠PCE＝∠QAE＝EQ\F(1,2)∠PAQ∴∠PAB＝∠QAE，∴∠PAE＝∠PAB，∴PE＝PK∵菱形ABCO，∴∠PBK＝∠OBF∴sin∠PBK＝sin∠OBF＝EQ\F(OF,OB)＝EQ\F(PK,PB)＝EQ\F(4,5)∵OP＝5t，OB＝5，∴PE＝5t－EQ\F(5,2)，PB＝5－5t∴EQ\F(5t－EQ\F(5,2),5－5t)＝EQ\F(4,5)，解得t＝EQ\F(13,18)∴存在CP∥AQ，此时t＝EQ\F(13,18)∵EQ\F(1,2)＜EQ\F(13,18)＜1，∴当t＝EQ\F(13,18)时，OQ＝d＝EQ\F(25,4)t－EQ\F(25,8)＝EQ\F(25,18)BP＝OB－OP＝5－5t＝EQ\F(25,18)∴BP＝OQ，即点B与圆心P的距离等于⊙P的半径，点B在⊙P上∴存在CP∥AQ，此时t＝EQ\F(13,18)，且点B在⊙P上44．（黑龙江大庆）已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，第一次回到点A处停止运动，设AP＝S，用t表示运动时间．ACB（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示ACB（2）当t取何值时，S等于eq\r(,7)（求出所有的t值）；（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP＜eq\r(,7)？解：（1）当点P在BC上时，有3≤t≤6作PM⊥AB，垂足为M由PB＝t－3，∠B＝60°，得PM＝EQ\F(eq\r(,3),2)(t－3)，BM＝EQ\F(1,2)(t－3)∴AM＝3－EQ\F(1,2)(t－3)于是S＝AP＝eq\r(,AM2＋BM2)＝eq\r(,(t－3)2－3(t－3)＋9)（3≤t≤6）（2）当S＝eq\r(,7)时（i）当点P在AB上时，有t＝eq\r(,7)（ii）当点P在CA上时，有t＝9－eq\r(,7)（iii）当点P在BC上时，S＝eq\r(,(t－3)2－3(t－3)＋9)＝eq\r(,7)解得t＝4或t＝5综上t＝eq\r(,7)或t＝9－eq\r(,7)或t＝4或t＝5（3）根据（2）可知0＜t＜eq\r(,7)，4＜t＜5，9－eq\r(,7)＜t≤9这三个时间段内AP＜eq\r(,7)45．（黑龙江大兴安岭、鸡西、齐齐哈尔、黑河、七台河）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2－7x＋12＝0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t＝2时，在坐标平面内找一点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，求M点的坐标；BQxPOyA（4）在P、Q运动过程中，在坐标平面内是否存在点N，使以A、P、Q、NBQxPOyABQxPOyA图1解：（1）解方程x2－7x＋12＝0，得xBQxPOyA图1∵OA＜OB，∴OA＝3，OB＝4∴A（0，3），B（4，0）（2）由题意得，AP＝t，AQ＝5－2t可分两种情况讨论：①当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB如图1，EQ\F(t,3)＝EQ\F(5－2t,5)，解得t＝EQ\F(15,11)BQxPOyA图2∴Q（EQ\F(20,11)，EQ\F(18,11BQxPOyA图2②当∠AQP＝∠AOB时，△APQ∽△ABO如图2，EQ\F(t,5)＝EQ\F(5－2t,3)，解得t＝EQ\F(25,13)∴Q（EQ\F(12,13)，EQ\F(30,13)）（3）当t＝2时，AP＝2，AQ＝5－2t＝1∴PO＝1，∴P（0，1），BQxPOyA图3M点Q的横坐标为：1×cos∠ABO＝EQ\F(4,5)，纵坐标为：3－1×sin∠ABO＝EQ\F(12,BQxPOyA图3M∴Q（EQ\F(4,5)，EQ\F(12,5)）若AP是平行四边形的边，则MQ∥AP，MQ＝AP＝2，如图3、图4∴点M的横坐标为EQ\F(4,5)，纵坐标为：EQ\F(12,5)＋2＝EQ\F(22,5)或EQ\F(12,5)－2＝EQ\F(2,5)∴M1（EQ\F(4,5)，EQ\F(22,5)），M2（EQ\F(4,5)，EQ\F(2,5)）BQxPOyA图4MBQxPOyA图4M∵点Q的横坐标为EQ\F(4,5)，∴点M的横坐标为－EQ\F(4,5)∵点A的纵坐标比点Q的纵坐标大EQ\F(3,5)∴点M的纵坐标比点P的纵坐标大EQ\F(3,5)即点M的纵坐标为：1＋EQ\F(3,5)＝EQ\F(8,5)BQxPOyA图5M∴M3（－EQ\F(4,5)，EQ\F(8,5BQxPOyA图5M（4）存在．N1（EQ\F(4,3)，EQ\F(1,3)），N2（EQ\F(3,2)，EQ\F(55,16)），N3（－EQ\F(20,17)，EQ\F(36,17)）提示：有三种情况若AP＝AQ，则在坐标平面内存在点N，使四边形APNQ是菱形，如图6∴t＝5－2t，解得t＝EQ\F(5,3)，∴AQ＝EQ\F(5,3)BQxPOyA图6N∴Q（EQ\F(4,3)，2），∴N1（EQ\F(4,3)，EQ\F(1,3)）BQxPOyA图6N若AP＝PQ，则在坐标平面内存在点N，使四边形APQN是菱形，如图7由题意，P（0，3－t），Q（4－EQ\F(8,5)t，EQ\F(6,5)t）∴PQ2＝(4－EQ\F(8,5)t)2＋(3－t－EQ\F(6,5)t)2∴t2＝(4－EQ\F(8,5)t)2＋(3－t－EQ\F(6,5)t)2，解得t＝EQ\F(25,16)或t＝EQ\F(5,2)BQxPOyA图7N当t＝EQ\F(5,2)BQxPOyA图7N∴t＝EQ\F(25,16)，∴Q（EQ\F(3,2)，EQ\F(15,8)）∴N2（EQ\F(3,2)，EQ\F(55,16)）若AQ＝PQ，则在坐标平面内存在点N，使四边形ANPQ是菱形，如图8BQxPOyA图8NO′连接NQ交AP于O′，则BQxPOyA图8NO′∴AP＝2AO′，∴t＝EQ\F(6,5)(5－2t)解得t＝EQ\F(30,17)，∴Q（EQ\F(20,17)，EQ\F(36,17)）∴N3（－EQ\F(20,17)，EQ\F(36,17)）46．（吉林）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2cm，AC＝4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm2．（1）当t＝_________s时，点P与点Q重合；（2）当t＝_________s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．BQBQDPCAEFBCA（备用图）解：（1）1（2）EQ\F(4,5)提示：点D在QF上时∵QF∥BC，∠DPQ＝CAB＝90°∴△PQD∽△ABC，∴EQ\F(PD,PQ)＝EQ\F(AC,AB)即EQ\F(t,2－2t)＝EQ\F(4,2)，解得t＝EQ\F(4,5)（3）如图①，当点D在BC上时BQDPCAE图BQDPCAE图①(F)∴△BDP∽△BCA，∴EQ\F(PB,DP)＝EQ\F(AB,CA)＝EQ\F(2,4)＝EQ\F(1,2)∴PB＝EQ\F(1,2)DP＝EQ\F(1,2)t由AP＋PB＝AB，得t＋EQ\F(1,2)t＝2，解得t＝EQ\F(4,3)此时点E与点F重合当1＜t≤EQ\F(4,3)时解法1：如图②，设DE交FQ于点H，则重合部分为梯形DHQPPQ＝AP＋QB－AB＝t＋t－2＝2t－2BQDPCAEF图②GH过点Q作QG⊥DEBQDPCAEF图②GH由△HGQ∽△BAC，得HG＝EQ\F(1,2)∴HD＝HG＋GD＝EQ\F(1,2)t＋2t－2＝EQ\F(5,2)t－2∴S＝EQ\F(1,2)(PQ＋HD)·DP＝EQ\F(1,2)(2t－2＋EQ\F(5,2)t－2)·t＝EQ\F(9,4)t2－2t解法2：如图②，设DE交FQ于点H由△FAQ∽△CAB，得AF＝2AQ＝2(2－t)＝4－2t∴EF＝AF－AE＝4－2t－t＝4－3t由△FEH∽△CAB，得EH＝EQ\F(1,2)EF＝2－EQ\F(3,2)t∴S梯形AQHE＝EQ\F(1,2)(AQ＋EH)·AE＝EQ\F(1,2)(2－t＋2－EQ\F(3,2)t)·t＝－EQ\F(5,4)t2＋2t∴S＝S正方形APDE－S梯形AQHE＝t2－(－EQ\F(5,4)t2＋2t)＝EQ\F(9,4)t2－2t由题意，当t＝2时，点P到达点BBQDPCAE图③FMN当EQ\F(4,3BQDPCAE图③FMN如图③，设DE交BC于点M，DP交BC于点N则重合部分为六边形EFQPNM由△FAQ∽△CAB，得AF＝4－2t∴S△FAQ＝EQ\F(1,2)AQ·AF＝EQ\F(1,2)(2－t)(4－2t)＝(2－t)2由△NPB∽△CAB，得PN＝4－2t∴DN＝DP－NP＝t－(4－2t)＝3t－4由△DMN∽△ABC，得DM＝EQ\F(1,2)(3t－4)∴S△DMN＝EQ\F(1,2)DM·DN＝EQ\F(1,2)·EQ\F(