化工应用数学 4第四章 量纲分析

第四章

量纲分析任课老师：程道建副教授

§1.单位和量纲

单位：度量同一物理量的大小。如长度有m、cm、mm，时间有

h、min、s。量纲〔因次〕：物理量的种类。如长度用[L]，时间[T],质量［M］，无论量的大小都用同一符号表示。量纲分析根本量纲：相互独立的量纲，相互之间不能导出，而其它量的量纲可由根本量导出。一般取长度［L］、时间［T］、质量［M］、温度［Θ］导出量纲：其它物理量的量纲可由根本量纲导出，例如速度量纲［］，面积［］，压强［］单位、量纲、根本量纲、导出量纲举例任何物理量都有量纲，根本量纲用大写字母表示，如下表表1根本量纲每个根本量纲都有一个根本单位，该根本单位与单位制有关。下表为两种主要单位制表2国际单位制和英制单位基本量纲符号基本量纲符号

长度物质的量

质量电荷

时间光照度

温度基本量纲国际单位制(SI)英制基本量纲国际单位制(SI)英制长度，米，英尺，温度，摄氏度，或开尔文，华氏度，或兰金温度，质量，千克，磅质量，时间，秒，秒，物质的量，摩尔，摩尔，不同单位制之间有严格的转换方法去年考题：写出任意5个根本单位及量纲为了便于描述物理量，复合单位应运而生，例如和。下表列出了常用前缀表3复合单位的前缀最后一种单位是导出单位。它是根本单位的衍生物并具有特定的名称。如下表表4导出单位与量纲前缀符号乘数(数值)前缀符号乘数(数值)兆微千纳厘皮毫物理量量纲SI单位物理量量纲SI单位体积压力(=力/面积)速度加速度能量动量()力()

(牛顿)瓦特单位、量纲、根本量纲、导出量纲举例去年考题：推导五个导出单位及量纲例子.钟摆的量纲分析下面用量纲分析的方法得到钟摆运动的数学描述(钟摆模型如右图)表5钟摆参数希望利用小钟摆模并由物理参数预测摆动周期。我们假设有下方程的形式的函数(4)或(5)由之前讲到的两条根本规那么可知，上面函数的每一项必须为时间量纲。这就意味着式(5)应该和质量无关，因为没有能消除质量量纲的互补项！这样，函数简化为(6)物理量符号量纲物理量符号量纲摆动周期重力加速度钟摆长度摆幅无()钟摆质量如果长度出现在式(6)中，那么必须用除以消除长度量纲，即(7)也就是说，如果长度出现在式(6)中，那么必然以的形式出现。这样式(6)变为(8)又(9)

且，是无量纲的，因此(10)上式中量纲不能为函数提供任何信息。接下来，我们只需要测定不同和时钟摆的行为了，而不需要去花费时间考虑质量的影响。这说明量纲分析缩短了实验的进程。而且，对实验数据的分析时，我们有理由相信可在固定摆幅的情况下将对作图，这说明量纲分析简化了数据分析过程。通过实验测定发现，当摆幅较小时(),周期与摆幅无关，也就是说和之间为线性关系，斜率为。因此，任何摆钟运动由以下简单的函数形式(11)

§2.量纲分析法量纲分析法是将物理现象所涉及的物理量组成无量纲综合量。利用定理使无量纲综合量构成函数关系，该关系式反映了物理量之间的内在规律，并使自变量的个数减到最少。无量纲综合量：由n个物理量组合成的无量纲数称之。用表示。例如：表示无量纲综合量，解出有理数m可得项。白金汉定理：设某个物理现象与n个物理量有关q1,q2,,qn，这n个物理量的函数关系为F(q1,q2,,qn)=0。假设这n个物理量的根本量纲为m个，那么这n个物理量可组成〔n-m〕个无量纲数1,2,,n-m，这些无量纲数也存在函数关系F(1,2,,n-m)=0。去年考题：无因次数群推导〔2题，25分〕例子.步行的量纲分析

由于人的构造是相似的，因此应当可以根据一些物理参数用量纲分析的方法预测人的速度。通过分析，下标列出一些可能与人的步行速度相关的物理量

表6步行参数

现在用量纲分析来指导步行数据的测量和分析。先回想一下钟摆的分析思路：

以上的分析过程简单直观，但是只是针对此类简单问题。下面介绍一种通用方法——无量纲分析法。把式(11)写成

(12)

上式就是一个无量纲的式子。参数符号量纲参数符号量纲速度重力腿长步长质量量纲分析实验测定/数据分析一个无量纲的项称为数群。现在要寻找一个能够描述步行的数群。如下(13)式中是待定参数。式(13)的量纲表达式为(14)由于必须是无量纲的，所以有(15)从上式可知，质量对步行过程无奉献()。上式剩2个方程4个未知数，有无穷的组合能满足方程。因此必须指定一些情况。引入白金汉定律：(16)因此，在此例中。为了确定这2个无因次数群，还需以下规那么

无因次数群数目()

=参数个数-量纲数目(方程数目)对于每个数群，必须选择一个“核心变量〞

核心变量是指出现在一个数群中的参数。它是一个无因次数群的核心。我们的目的是:寻找一个用无因次数群表示的函数形式。如

(17)现在，和这两个数群。这两个数群分别以速度和步长为核心变量。:该无因次数群包含而不包含。因此的指数项必须为0，即。任选一数作为的指数()。故得(18)

所以(19)

上式的平方就是该数群的传统形式(弗劳数)，且取该数群的平方不会影响分析结果。我们采用传统形式，即

(20)：该无因次数群包含而不包含。同上面的分析有和。故得(21)所以(22)我们决定，将含步长的无因次数群作为含速度无因次数群的函数(反过来也一样):(23)

(24)对上式的解释:比照步长是比照速度的函数。也就是说，平方按进行了比例缩放，步长按腿长进行了比例缩放。通过这些缩放(动态比例缩放)，使得所有步行者都满足式(24)——普适关联式。也就是说，按照同样方法缩放步长，那么一个8in与一个6in的人，他们的步行可能是动态相似的。比照步长与比照速度之间确实定关系不能从量纲分析中得到，这需要实验的测定以及数据分析。例如，做的关于的图。步行者的弗劳常数越大，那么步行速度就越快。例：不可压粘性流体在水平直管中作定常运动，其压力损失与以下因素有关，试用定理确定的规律。1〕由题意假定函数关系式：2〕写出无量纲方程：取根本量纲为长度［L］、时间［T］质量［M］由定理可知，可写出(n-m)=4个无量纲量即无量纲方程为3〕取独立变量选直径d、速度V、密度ρ为独立变量独立变量的量纲分别为：其它几个变量的量纲为：4〕写出量纲方程利用量纲和谐原理，方程两边量纲应相等解得：令：同理：令：解得：同理5〕组成无量纲函数关系式达西公式考试题目举例量纲分析设计工具无因次数群之间的相互关系即设计工具。前面介绍到的比照步长与的关系对于机器人是一种设计工具。根据量纲分析开发设计工具的过程如以下图:无因次数群之间的关联式很多，我们没必要记住所有的关联式，而重要的是，要知道如何应用动态相似原理来建立新的设计工具。量纲分析及实验查图设计工具(例如雷诺数和弗劳德数之间的关联式)过程的屋里描述(如流体在管内流动)动态相似原理过程特征(如流体类型，管径及管长)过程性能预测量纲分析工具的建立和应用过程示意图例子1固体球在流体中运动的量纲分析

现在将量纲分析应用于另一种现象:球的终端速度。例如：a.水中淤泥的沉降。泥水澄清需要多长时间。b.空气中的灰尘。公司烟囱的灰尘会落在自己公司的地界上、附近城镇，还是落入海中？核冬天能持续多久？c.在流体中拖动一个球需要什么力？

在这些例子中，颗粒要么太小，要么终端速度太慢(核冬天预计可持续),这样直接测量实际过程是不现实的。所以，考虑对一个方便可测的系统进行测定，并利用量纲分析将实验结果缩放到我们感兴趣但又无法进行实验的实际过程。

确定球在流体中的物理参数。通过分析得到如下参数表：

表7球在流体中运动的有关参数

备注1：球的密度归结到浮力当中了，流体的质量归结到流体密度当中了。

备注2：黏度量纲的计算：

剪应力/面积参数符号量纲参数符号量纲终端速度流体黏度球直径流体密度浮力重力加速度现在确定这些无因次数群，任何数群都具有一般形式(25)(26)同样有，(27)根据白金汉定律:。需要选定3个核心变量。选择核心变量的原那么：a.我们想知道什么？因变量是速度。b.在实验中，我们打算改变哪些参数?通过分析可以选出3个核心变量，但此例中选择传统的核心变量，即，，和。下面来推导数群。:包含,但不包含另外两个核心变量。同理有，和。故有(28)所以(29)即，浮力按照流体密度进行了缩放，不妨称为比照浮力。:包含,但不包含另外两个核心变量。同理有，和。故有(30)所以(31)所以(32)上式的倒数即是弗劳德数。上式取倒数不会影响分析结果，而且取倒数便于与类似的系统进行分析比较，所以式(32)采用其倒数形式惯性力/重力(33)：数群包含，但不包含另两个核心变量。同理有，和。故有(34)

所以，(35)

取上式的倒数并不会影响分析结果，上式变为

(36)

式(36)也许是最著名的无因次数群——雷诺数。与上面的弗劳德数一样，雷诺数也可以表示为两个力之比惯性力/黏性力(37)到这里之后，量纲分析不能给我们带来更多的东西了。现在需要通过实验测定和数据分析才能得出比照浮力、弗劳德数和雷诺数之间的关系。下面直接给出相关结果:a.当时，球体在流体中处于层流区域，函数形式为:(斯托克斯定律)(38)b.当时，球体在流体中处于过渡流区域，函数形式为:(39)c.当时，球体在流体中处于湍流区域，函数形式为:

(牛顿阻力定律)(40)如何运用式(38)-(40)解决实际问题呢？例：要计算直径1微米的固体颗粒在50千米的高空下落到地面时所用的时间t。且

假设，该系统处在层流区域，即。那么用式(38)来计算，即用斯科托斯定律来计算，这里直接给出速度结果(41)所以(42)现在计算雷诺数，可知，因此可以应用斯科托斯定律。

根据假设的区域选择适当的方程计算出速度，并最终求出雷诺数，看是否与假设吻合假设所计算系统的雷诺数所处的区域例子2动态放大—阿拉斯加管线前面实例，都是先通过量纲分析，然后实验，最终得出函数关系式，用函数关系式外推到量纲相似的一些现象。如果我们不想得到具体的函数关系，还可以采用什么方法来分析呢？我们可以通过模型体系上的一次实验来预测该实际体系在“这些特定条件〞的行为，“这些特定条件〞就是动态相似原理告诉我们的“模型体系与实际体系无因次数群的大小必须相等〞。现在，我们来考察阿拉斯加输油管线的一台泵，如右图所示。假定每1000m安装一个泵，希望其流率为。问每台泵必须提供多大压力?即(43)如果建立一个全尺寸的模型来测定压力降是不现实的。我们来搭建一个模型装置，仅在模型装置上做一次实验。我们令模型系统与阿拉斯加管线系统的无因次数群值相等，这样，两个系统就是动态相似的。以下是步骤：a.导出管内流体流动的无因次数群；b.令实际系统和模型系统的无因次数群相等。

步骤(a1):通过分析，我们得到以下参数表

表8管内流体流动的参数

步骤(a2):写出无因次数群的通式(44)(45)

所以(46)参数符号量纲参数符号量纲压力降速度管长黏度管径密度步骤(a3):根据白金汉定律:。需要选定3个核心变量。步骤(a4):选择与3个数群对应的3个核心变量我们要求的一个参数。这是可以调节的一个参数。这是流体的一种性质。正如前面介绍的一样，选择一套适合的核心变量是有章可循的。规那么1：系统的所有量纲必须表达在核心变量中规那么2：核心变量之间不能形成一个无因次数群步骤(a5):导出数群:包含而不包含其他两核心变量。从而有(47)解得(48)

上式即欧拉数，它是化学工程中的一个常用数群。

摩擦力/惯性力(49):包含而不包含其他的两个核心变量，从而有(50)

解得(51):包含而不含其他的两个核心变量，从而有(52)

解得

(53)

上式的倒数就是雷诺数的变形。

惯性力/黏性力(54)

的大小表征了流体流动的特征。

雷诺数和直接导出的式(53)一样都可以作为第三个无因次数群。为了方便起见，就用雷诺数作为第三个无因次数群。

现在，设计一个模型系统来预测实际系统的特性。为此这两个系统中无因次数群的大小必须相同，即(55)

这就是动态相似性。

去年考题：量纲分析设计〔1题，15分〕

现在设计一个室内操作的模型装置系统。通过适当大小的玻璃管内水的流动过程来模拟阿拉斯加管线的实际情况。先将流率转化为SI制。

(56)

现在计算平均流速。

(57)

所以平均流速为(58)

该系统的参数见下表

表9管内流体流动的参数流率=流速x管横截面积参数符号阿拉斯加系统室内装置系统参数符号阿拉斯加系统室内装置系统压力降？待测速度待计算管长1000m待计算流体黏度

(油)

(水)管径1m0.003m(内径)流体密度(油)

(水)

如何来计算玻璃管长和水的流速呢？令无因次数群相等。由来计算。

(59)

利用来计算

(60)

和都是合理的。如果其中一个结果不合理，可以选用其它的流体或不同的管径。

现在，通过模型装置系统来测定。在该系统中，应有多大体积流？

(61)靠调节模型装置的阀门来到达指定流率(此例中式到达式(61)指定的流率)。再在距离3m的玻璃管上钻两个孔，并按上垂直管，通过测量两垂直管中水柱的高度差来测定模型系统的压力降。本例中高度差为2.9cm，转换为SI单位有(62)现在使用欧拉数来求得实际系统中的压力降(63)

由上可知，实际体系的压力降可以从模型上的一次实验结果得到。然而，并没有得到函数关系。因此，如果实际系统任一参数发生了变化，就必须做一次新的实验才行。例子3流体在管内流动上节导出了流体在管内流动的三个数群：摩擦力/惯性力(64)

比照长度(65)惯性力/黏性力(66)对于实际管道，还需要另外一个参数，即管粗糙度。粗糙度是管道材料的一种固有性质。玻璃管比水泥排水管更光滑。管内污垢的积累也会形成粗糙度。由于粗糙度变化很大，因此没有一种精确的表征方法。描述粗糙度的一个灵敏参数是管壁凸出物的平均高度。为了更合理的表征粗糙度，应该用管径来归一化，即。因为，1mm的粗糙度对直径1m的管道无足轻重()，但对直径1cm的管子()将是重要的。在研究球体终端速度时，将两个数群组合可以形成一个复合的无因次数群——摩擦因子(67)对流体在管内流动的类似分析发现，欧拉数与比照长度也可以组合出一个称作摩擦因子的无因次数群。范宁摩擦因子由下式给出(68)在高雷诺数区域，粗糙度使摩擦因子增加，该区域是湍流。热流体B凉流体B冷流体A温流体A热换器例子4流体在管内流动传热在前面的很多过程设计中已经包含换热气装置了，换热器的一般形式如以下图热换器一般都是“管壳〞式的。经过分析，考察流体在管内流动传热过程需要的参数包括前面介绍到的表(8)描述管内流体流动的参数，同时应包括有关传热有关的参数

表10管内流体流动的传热参数参数符号单位(SI)量纲参数符号单位(SI)量纲传热速率热容温差导热系数下面来简单解释上表各参数。正如密度差是球体在流体中升降的推动力一样，温差是传热的推动力一样，温差是传热的推动力。热容是流体吸收热量的能力；温度升高是由于吸收能量造成的。导热系数是能量的传递系数，或传热阻力的倒数；导热系数高意味着传热阻力小。类似地，球体在流体中运动的阻力是流体的黏度。通常将传热速率与温差和管的外表积结合起来得到传热系数:(69)根据这些参数，我们可以得到4个无因次数群，其中3个为雷诺数=惯性力/黏性力(70)

斯坦顿数=传热的热量/热容量(71)

普朗特数=动量/热通量(72)第4个无因次数群包含压力降。然而实验说明，第4个无因次数群是多余的。

雷诺数表示流体流动的动力学，斯坦顿数表示热量流动的动力学，普朗特数表征了流动过程中被加热物质的性质。

给定3个无因次数群后，就可以作图。例如，我们可取(流体类型)为参量，将(传热动力学)对(流体流动动力学)作图。通过作图进行数据分析，这样就能分析出这3个无因次数群的函数关系。这里就不再赘述了。例子5气体压缩因子前面已经将量纲分析应用于换热器设备。量纲分析还能应用于一些根本系统，例如纯气体物质。理想气体模型(如高温低压气体模型)已经被熟知，它服从理想气体定律。如果要扩展到理想气体范围之外，就需要测量特定气体的性质，然后作图分析，建立相关模型。但如果没有实验数据，该怎么做才能建立非理想气体模型？是否所有气体的行为都能用一条通用曲线表示呢？量纲分析提供了建立气体通用曲线的根底。通过分析理想气体和非理想气体的差异，我们得到以下气体参数表11气体参数如何知道参数已经足够了呢？在测定这