北师大版七年级数学上册 （应用一元一次方程-水箱变高了）一元一次方程 课件(第2课时)

第五章

一元一次方程5.3

应用一元一次方程——水箱变高了第2课时

1课堂讲解长度关系等积变形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？复习回顾

1知识点长度关系预习准备1、长方形的周长=_____________；面积=________.

2、长方体的体积=___________；正方体的体积=

________.

3、圆的周长=_________；面积=_________.

4、圆柱的体积=____________.

知1－导（长＋宽）×2长×宽长×宽×高棱长32π×半径π×半径2底面积×高知1－讲1.等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但变

化前后的物体的周长不变．2.一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，关

键是根据周长这一固定值列方程求解．

例1

用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形．使长方形的宽是长的，求这个长方形的长、宽．(按长、宽的顺序填写)解：设长方形的长为x厘米，则宽为厘米．根据题意，得．解得x=18，．答：长和宽分别为18厘米，12厘米．知1－讲总

结知1－讲本题中总量是周长，各部分量是长方形的四条边长；按照“总量＝各部分量的和”的思路列出方程.

知1－练（来自《典中点》）1一个长方形的周长是16cm，长比宽多2cm，

那么这个长方形的长与宽分别是(

)A．9cm，7cm

B．5cm，3cmC．7cm，5cmD．10cm，6cmB知1－练（来自《典中点》）2一个长方形的周长是40cm，若将长减少8cm，

宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为(

)A．6cm

B．7cm

C．8cm

D．9cm3一个三角形的三条边的长度之比为2:4:5，最

长的边比最短的边长6cm，求该三角形的周长．B设该三角形的边长分别为2x，4x，5x5x－2x＝6，即x＝2.该三角形的周长为2x＋4x＋5x＝22cm.2知识点等积变形知2－讲“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有：（1）形状变了，体积没变；（2）原材料体积=成品体积.知2－讲

某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m变为多少米？知2－讲在这个问题中有如下的等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积.设水箱的高变为xm，填写下表：旧水箱新水箱底面半径/m高/m容积/m3根据等量关系，列出方程：_____________.解得x=________.因此，水箱的高变成了_______m.列方程时，关键是找出问题中的等量关系.知2－讲

等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的体积或面积不变．等积变形问题中的等量关系是：变化前图形或物体的体积(面积)＝变化后图形或物体的体积(面积)．知2－讲例2用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.(1)使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的

长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的

长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中

所围长方形相比，面积有什么变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方

形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的

面积与(2)中相比又有什么变化？（来自教材）知2－讲分析：由题意可知，长方形的周长始终是不变的，

即长与宽的和为：10×个问题的过程中，要抓住这个等量关系.解：(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x＋1.4)m.根据题意，得x

＋

x

＋1.4=10×解这个方程，得

x=1.8.1.8＋1.4=3.2.此时长方形的长为3.2m,宽为1.8m.（来自教材）知2－讲(2)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x

＋0.8)m.根据题意，得x

＋

x

＋0.8=10×解这个方程，得 x=2.1.2.1＋0.8=2.9.此时长方形的长为2.9m,宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2×1.8=5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中长方形的面积

增大6.09－5.76=0.33(m2).（来自教材）知2－讲(3)设正方形的边长为xm.根据题意，得x＋x=10×

解这个方程，得

x=2.5.正方形的边长为2.5m,正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2),比(2)中面积增大6.25－6.09=0.16(m2).

（来自教材）同样长的铁丝可以围更大的地方.知2－讲例3将装满水的底面直径为40cm，高为60cm

的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面

直径为50cm的圆柱形水桶里，这时水面的

高度是多少厘米？导引：本题中的等量关系为：底面直径为40cm，

高为60cm的圆柱形水桶中水的体积＝底面

直径为50cm的圆柱形水桶中水的体积，故

可设这时水面的高度为xcm，用含x的式子

表示出水的体积即可．（来自《点拨》）知2－讲解：设这时水面的高度为xcm，

根据题意可得：解得x＝38.4.答：这时水面的高度为38.4cm.（来自《点拨》）总

结知2－讲此类题目要熟记体积公式，如V圆柱＝πR2h，V长方体＝abh，V正方体＝a3.（来自《点拨》）知2－讲

例4在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿

平行于长方形各边的方向分割出三个完全

相同的小长方形花圃，其示意图如图所示．

求小长方形花圃的长和宽．（来自《典中点》）知2－讲解：设小长方形的长为xm，则宽为(10－2x)m.由题意得x＋2(10－2x)＝8，

x＋20－4x＝8，－3x＝－12，

x＝4.所以10－2x＝2.答：小长方形花圃的长为4m，宽为2m.（来自《典中点》）总

结知2－讲本题运用了数形结合思想，将图形中存在的等量关系，通过列一元一次方程反映出来，进而解决所求问题．注意挖掘图形中隐含的等量关系是解题的关键．（来自《典中点》）知2－讲例5如图，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙

容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙

容器，问：乙容器中的水会不会溢出？如果不

会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；

如果水会溢出，请你说明理由．(容器壁厚度忽

略不计，图中数据的单位：cm)（来自《典中点》）知2－讲解：乙容器中的水不会溢出．设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的

水深xcm.由题意，得π×102×20＝π×202×x.

解得x＝5.

因为5cm＜10cm，所以水不会溢出，倒入水后

乙容器中的水深5cm.（来自《典中点》）1欲将一个长、宽、高分别为150mm、150mm、20mm的长方体钢毛坯，锻造成一个直径为100mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是(

)A．1200mmB.mmC．120πmmD．120mm知2－练（来自《典中点》）B1.“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用

的关系有：(1)形状变了，体积没变；(2)原材料的体积＝成品的体积．2.解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方

程．

1.必做:完成教材P144习题T1-T32.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第五章

一元一次方程5.6

应用一元一次方程——追赶小明

1课堂讲解一般行程问题顺流（风）、逆流（风）问题上坡、下坡问题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1.列方程解应用题的一般步骤有哪些？2.路程、速度、时间的关系有哪些？复习回顾1知识点一般行程问题知1－导小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学.一天，小明以80m/min的速度出发，知1－导5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是,爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他.(1)爸爸追上小明用了多长时间？(2)追上小明时，距离学校还有多远？知1－讲分析：当爸爸追上小明时，两人所行路程相等.在解决

这个问题时，要抓住这个等量关系.画出线段图，关系就很清楚了.知1－讲解：(1)设爸爸追上小明用了

xmin.根据题意，得180x=80x+80×5.化简，得100x=400.x=4.因此，爸爸追上小明用了4min.(2)180×4=720(m),1000-720=280(m).所以，追上小明时，距离学校还有280m.知1－讲1.行程问题的基本关系式：路程＝速度×时间；时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间．2.行程问题中的等量关系：(1)相遇问题中的等量关系：①甲走的路程＋乙走的路程＝甲、乙出发点之间

的路程；②若甲、乙同时出发，甲用的时间＝乙用的时间．知1－讲(2)追及问题中的等量关系：①快者走的路程－慢者走的路程＝追及路程；②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的

时间＝慢者用的时间．知1－讲

例1甲站和乙站相距1500km，一列慢车从甲站开出，

速度为60km/h，一列快车从乙站开出，速度为90km/h.(1)若两车相向而行，慢车先开30min，快车开出

几小时后两车相遇？(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1800km？(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km(此时快车在慢车

的后面)?知1－讲导引：(1)列表：速度/(km/h)时间/h路程/km慢车60x＋60(x＋

)快车90x90x等量关系：慢车行驶的路程＋快车行驶的路程＝1500km.知1－讲(2)列表：

等量关系：两车行驶的路程和＋1500km＝1800km.(3)列表：

等量关系：慢车行驶的路程＋1500km－快车行驶的路程＝1200km.速度/(km/h)时间/h路程/km慢车60y60y快车90y90y速度/(km/h)时间/h路程/km慢车60z60z快车90z90z知1－讲解：(1)设快车开出xh后两车相遇．由题意，得60×＋90x＝1500，

解得x＝9.8.答：快车开出9.8h后两车相遇．(2)设yh后两车相距1800km.由题意，得60y＋90y＋1500＝1800，

解得y＝2.答：2h后两车相距1800km.知1－讲(3)设zh后两车相距1200km(此时快车在慢车的后面)．由题意，得60z＋1500－90z＝1200，

解得z＝10.答：10h后两车相距1200km(此时快车在慢车的

后面)．（来自《点拨》）总

结知1－讲(1)行程问题中，分析时，可借助图示、列表来分析数

量关系，图示可直观找出路程等量关系，列表可将

路程、速度、时间的关系清晰地展示出来．(2)本例是求时间，我们可设时间为未知数，从表中求

路程；如果要求的是路程，那么我们可设路程为

未知数，从表中求时间，其依据是路程、速度和

时间三者间的关系式.知1－讲如(1)小题若将“几小时后两车相遇？”改为“相遇时快车走了多少千米？”如设间接未知数，则原解析及解不变，仅只将x求出后，再求出90x的值即可，如设直接未知数，则解析改为：列表：速度/(km/h)时间/h路程/km慢车601500-x快车90x知1－讲等量关系：慢车行驶时间－h=快车行驶时间.方程为：(3)一般规律：在路程、速度、时间这三个量中，甲

量已知，从乙量设元，则从丙量中找相等关系列

方程；在所有行程问题中，一般都已知一个量，

另两个量相互之间都存在相等关系.（来自《点拨》）知1－讲

例2小明和他的哥哥早晨起来沿长为400m的环形

跑道练习跑步．小明跑2圈用的时间和他的

哥哥跑3圈用的时间相等．两人同时同地同

向出发，结果经过2min40s他们第一次相遇，

若他们两人同时同地反向出发，则经过几秒

他们第一次相遇？知1－讲导引：列表：

相等关系：小明跑的路程＝哥哥跑的路程

－400m.速度/(m/s)时间/s路程/m小明x160160x哥哥x160160×知1－讲解：设小明的速度为xm/s，

则他的哥哥的速度为xm/s，由题意得160x＝160×－400.解得x＝5.

则小明的哥哥的速度为5×＝7.5(m/s)．设经过ys他们第一次相遇，

由题意，得(5＋7.5)y＝400.解得y＝32.答：经过32s他们第一次相遇．（来自《点拨》）总

结知1－讲（来自《点拨》）(1)本例在求小明及哥哥的速度时，也可设他们两人的速

度分别为2xm/s和3xm/s.(2)环形运动问题中的等量关系(同时同地出发)：①同向相

遇：第一次相遇快者的路程－第一次相遇慢者的路程

＝跑道一圈的长度；②反向相遇：第一次相遇快者的

路程＋第一次相遇慢者的路程＝跑道一圈的长度．知1－练（来自《典中点》）汽车以72km/h的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员摁一下喇叭，4s后听到回声，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340m/s，设听到回声时，汽车离山谷xm，根据题意，列出方程为(

)A．2x＋4×20＝4×340B．2x－4×72＝4×340C．2x＋4×72＝4×340D．2x－4×20＝4×3401A知1－练（来自《典中点》）张昆早晨去学校共用时15min，他跑了一段，走了一段，他跑步的平均速度是250m/min，步行的平均速度是80m/min，他家与学校的距离是2900m，若他跑步的时间为xmin，则列出的方程是(

)A．250x＋80＝2900B．80x＋250(15－x)＝2900C．80x＋250＝2900D．250x＋80(15－x)＝29002D2知识点顺流(风)、逆流(风)问题知2－讲顺流（风）、逆流（风）问题：船在静水中的速度记为v静，水的速度记为v水，船在顺水中的速度记为v顺，船在逆水中的速度记为v逆，则v顺=v静+v水，v逆=v静-v水.

知2－讲

例3一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24km/h，

顺风飞行需要2h50min，逆风飞行需要3h，求

飞机在无风时的平均速度及两城市之间的距离．方法一：设速度为未知数．导引：设飞机无风时的平均速度为xkm/h，2h50min＝h.知2－讲速度/(km/h)时间/h路程/km顺风飞行x＋24(x＋24)逆风飞行x－2433(x－24)

列表：相等关系：顺风行驶路程＝逆风行驶路程．知2－讲解：2h50min＝h.设飞机在无风时的平均速度为xkm/h，则顺风速度为(x＋24)km/h，逆风速度为(x－24)km/h，根据题意，得(x＋24)＝3(x－24)．解得x＝840.3(x－24)＝2448.答：飞机在无风时的平均速度为840km/h，

两城市之间的距离是2448km.知2－讲速度/(km/h)时间/h路程/km顺风飞行x逆风飞行x3方法二：设路程为未知数．

导引：设两城市之间的距离为xkm.列表：相等关系：顺风行驶速度－风速＝逆风行驶速度＋风速．即：无风时速度相等．知2－讲解：设两城市之间的距离为xkm，则顺风行驶的速度为km/h，

逆风行驶的速度为km/h，根据题意，得：解得x＝2448.所以答：飞机在无风时的平均速度为840km/h，

两城市之间的距离为2448km.（来自《点拨》）总

结知2－讲(1)行程问题：虽然不同的问题有不同的关系式，但列

表格分析的方式是一致的，在路程、速度、时间这

三个量中，已知量是一致的，设的未知量不同，所

列方程也不同．(2)解有关行程问题时，我们始终要记住一句话：在行

程问题三个基本量(路程、速度、时间)中：①如果速

度已知，若从时间设元，则从路程找等量关系列方程；总

结知2－讲（来自《点拨》）若从路程设元，则从时间找等量关系列方程；②如果时间已知，若从速度设元，则从路程找等量关系列方程；若从路程设元，则从速度找等量关系列方程；③如果路程已知，若从时间(速度)设元，则从速度(时间)找等量关系列方程．知2－练（来自《典中点》）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用4h，从乙码头到甲码头逆流行驶用4h40min，已知水流速度为3km/h，则船在静水中的平均速度是多少？1解：设船在静水中的平均速度是x千米/小时，根据题意，得