2023--2024学年北师大版九年级数学上册期中阶段《第1-4章》综合练习题

2023-2024学年北师大版九年级数学上册期中阶段《第1—4章》综合练习题（附答案）一、选择题（计24分.）1．用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（）A．0，﹣2，﹣3 B．1，﹣3，﹣2 C．1，3，﹣2 D．1，﹣2，﹣32．下列多边形一定相似的是（）A．两个平行四边形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个正方形3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝30°，那么∠AOB的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．120°4．已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜10 B．m＝10 C．m＞10 D．m≥105．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是（）A．8cm B．10cm C．20cm D．60cm6．一个不透明的布袋中有分别标着数字1、2、3的3个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于4的概率为（）A． B． C． D．7．取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（）A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值是（）A． B． C． D．二、填空题（计15分）9．如果3是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣c＝0的一个根，那么c的值是．10．若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝5cm，b＝2.5cm，c＝10cm，则线段d＝cm．11．一个不透明口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.7，那么口袋中白球的个数很可能是个．12．如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．13．如图，在菱形ABCD中，AB＝60，∠BAD＝60°，点P为对角线AC上的一动点，M、N分别为AB、AD的中点，连接DM、BN、PB、PM、PD、PN，则PB+PM+PD+PN的最小值为．三、解答题（计81分）14．解方程：4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．15．如图，在△ABC和△ACG中，D、E、F分别在线段AB、AC、AG上，连接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，，求AG的长．16．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，求k的值．17．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上，连接EF．求证：四边形ADFE是正方形．18．如图，AB•AF＝AE•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△AEF．19．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：①测量得出AC的中点E；②连接BE并延长到D，使得ED＝BE；③连接AD和DC．则四边形ABCD为矩形，小明这样做正确吗？并说明理由．20．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？21．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°．求证：AE＝BF．22．现有三张虎年生肖邮票，其中两张的图案为“国运昌隆”（分别记为A1、A2），第三张图案为“虎蕴吉祥”（记为B），邮票除正面图案不同外，其余均相同．小明将这三张邮票背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回；小刚将邮票重新洗匀后再从中随机抽取一张．（1）小明抽到图案为“虎蕴吉祥”的邮票的概率为；（2）请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小刚抽出的邮票图案都是“国运昌隆”的概率．23．如图，在▱ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）连接DE交AB于点F，若DC＝6，DC：DE＝3：4，求AD的长．24．小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点C处，他在点F处正好在镜中看到树尖A的像；第二次他把镜子放在点C′处，他在点F′处正好在镜中看到树尖A的像．已知AB⊥BF′，EF⊥BF′，E′F′⊥BF′，小军的眼睛距地面1.7m（即EF＝E′F′＝1.7m），量得CC′＝12m，CF＝1.8m，C′F′＝4.2m．求这棵古松树的高度AB．（镜子大小忽略不计）25．位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；（2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？26．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，点F在边AB上，连接DE、EF、DF，DEDE平分∠FDC，过点E作EM⊥DF于M．（1）求证：DE⊥EF；（2）若G是DF的中点，连接EG、CG，CG交DE于点H．①求证：DE2＝DF•DC；②若CD＝6，DF＝8，求GH的长．

参考答案一、选择题（计24分.）1．解：用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，整理得：x2+3x﹣2＝0，∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，﹣2，故选：C．2．解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、C错误；而两个正方形，对应角都是90°，对应边的比也都相当，故一定相似，D正确．故选：D．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OD＝BD，AC＝BD∴OA＝OB∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∵∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝60°．故选：C．4．解：∵关于x的方程程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，解得m＞10．故选：C．5．解：∵DE∥AB∴CD：AC＝DE：AB∴40：60＝DE：12∴DE＝8cm故选：A．6．解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中两个乒乓球上的数字之和大于4的结果有2种，∴两个乒乓球上的数字之和大于4的概率为＝，故选：B．7．解：设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米，根据题意，得5（5x﹣10）•（2x﹣10）＝200，解方程，得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝6，∴这张长方形纸板的长为30厘米，故选：B．8．解：过点B作BF⊥AC于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝＝5，∴OA＝OB＝，∵S△ABC＝AB•BC＝AC•BF，∴BF＝，在Rt△OBF中，OF＝，∵EA⊥CA，∴∠OAE＝90°，∴∠OFB＝∠OAE，∵∠AOE＝∠FOB，∴△BOF∽△EOA，∴，即，解得AE＝，∴＝．故选：A．二、填空题（计15分）9．解：∵3是关于x的方程x2﹣x﹣c＝0的一个根，∴32﹣3﹣c＝0，解得c＝6．故答案为：6．10．解：已知a，b，c，d是成比例线段，∴，∴ad＝cb，代入a＝5cm，b＝2.5cm，c＝10cm，解得：d＝5．故线段d的长为5cm．故答案为：5．11．解：由题意可得，摸到白球的概率为0.7，则这个口袋中白球的个数：10×0.7＝7（个）．故答案为：7．12．解：∵AD＝2，CD＝，∴AC＝＝．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB＝3；（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB＝3．即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．故答案为：3或3．13．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP，∵AP＝AP，∴△ADP≌△ABP，∴PD＝PB，∵M、N分别为AB、AD的中点，∴AN＝AM，∴△ANP≌△AMP，∴PN＝PM，∴PB+PM+PD+PN＝2PB+2PN＝2（PB+PN），∵PB+PN≥BN（当B、P、N三点共线时取等号），∴PB+PN的最小值即为BN的长，连接BD，如图，∵AB＝AD＝60，∠BAD＝60°，∴△ADB是等边三角形，∵，∴BN⊥AD，∴，∴PB+PN的最小值为，∴PB+PM+PD+PN的最小值为；故答案为：．三、解答题（计81分）14．解：4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2，2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1），2（2y﹣5）＝3（3y﹣1）或2（2y﹣5）＝﹣3（3y﹣1），解得：y1＝﹣，y2＝1．15．解：∵DE∥BC，EF∥CG，∴，∴，∵，∴AG＝9．16．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，∵x1+x2﹣2x1x2＝2，∴﹣2﹣2（k﹣1）＝2，∴k＝﹣1．17．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°．由折叠，得∠A＝∠DFE＝90°∴∠A＝∠ADF＝∠DFE＝90°．∴四边形AEFD是矩形．∵AE＝EF，∴四边形AEFD是正方形．18．证明：如图，∵AB•AF＝AE•AC，∴．又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF，即∠BAC＝∠EAF，∴△ABC∽△AEF．19．解：小明这样做正确，理由如下：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵ED＝BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形．20．解：（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为＝0.25；（2）设纸箱中白球的数量为x，则＝0.25，解得x＝36，经检验x＝36是分式方程的解且符合实际，所以估计纸箱中白球的数量接近36．21．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠EOF﹣∠AOF＝∠AOB﹣∠AOF，即∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF．22．解：（1）由题意可得：小明抽到图案为“虎蕴吉祥”的邮票的概率为，故答案为：；（2）解：画树状图如下：共有9个等可能的结果，两次抽出的邮票图案都是“国运昌隆”的结果有4个，∴P（两次抽出的邮票图案都是“国运昌隆”）＝．23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BD＝AD，BE＝BD，∴AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形，∵BD＝AD，∴四边形AEBD是菱形；（2）解：如图所示，∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，∴∠EFB＝90°，∵四边形ABCD是平行是四边形，∴AB∥DC，AD＝BC，∴∠EDC＝∠EFB＝90°，∵DC＝6，DC：DE＝3：4，∴DE＝＝8，∴CE＝＝10，∵BE＝AD，AD＝BC，∴AD＝BE＝BC＝．24．解：∵∠ABC＝∠EFC＝90°，∠ACB＝∠ECF，∴△ABC∽△EFC，∴，∵∠ABC′＝∠E′F′C′＝90°，∠AC′B＝∠E′C′F′，∴△ABC∽△E′F′C′，∴，∵EF＝E′F′＝1.7m，∴，∵CC′＝12m，CF＝1.8m，C′F′＝4.2m，∴，解得：BC＝9，∴，解得：AB＝8.5，答：这棵古松树的高度为8.5m．25．解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意，得5000（1+x）2＝7200，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均增长率为20%；（2）设售价应降低m元，则每天的销量为（500+m）个．根据题意可得（10﹣m﹣5）（500+m）＝2800，解得m1＝，m2＝1（舍去）．答：售价应降低元．26．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠DCE＝90°，∴EC⊥CD，∵DE平分∠FDC，EM⊥DF，EC⊥CD，∴EM＝EC，在Rt△DEM和Rt△DEC中，，∴△DEM≌△DEC（HL），∴∠DEM＝∠DE