2024届一轮复习人教A版两角和与差的正切 学案

第2课时两角和与差的正切【课程标准】1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系．2．能运用上述公式进行简单的恒等变换．知识复习·自主学习——突出基础性教材要点知识点一两角和的正切公式Tα＋β：tan(α＋β)＝________________________．知识点二两角差的正切公式Tα－β：tan(α－β)＝________________________．eq\a\vs4\al(状元随笔)你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？[提示](1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ).(2)1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β).(4)tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).基础自测1．tan255°＝()A．－2－3 B．－2＋3C．2－3 D．2＋32.tan75A．－2B．2C．－3D．33．设角θ的终边过点(2，3)，则tan(θ－π4A．15B．－14．设tanα＝12，tanβ＝13，且角α，β为锐角，则α＋课堂探究·素养提升——强化创新性题型1利用公式化简求值例1求下列各式的值：(1)tan15°；(2)1-(3)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°.状元随笔把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．方法归纳(1)公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三个．(2)一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos75(2)tan36°＋tan84°－3tan36°tan84°.(3)已知2tanθ－tan(θ＋eq\f(π,4))＝7，那么，tanθ＝()A．－2 B．－1C．1 D．2题型2条件求值(角)问题例2如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，2(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．状元随笔先由任意角的三角函数定义求出cosα，cosβ，再求sinα，sinβ，从而求出tanα，tanβ，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．方法归纳(1)通过先求角的某个三角函数值来求角．(2)选取函数时，应遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是(0，π2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，(3)给值求角的一般步骤：①求角的某一三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．跟踪训练2(1)已知α∈(π2，π)，sinα＝35，求tan(α＋(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．题型3公式的变形应用【思考探究】(1)判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．(2)在△ABC中，tan(A＋B)与tanC有何关系？[提示]根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC．例3已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．状元随笔化简条件→求出tanA，tanC跟踪训练3(1)(变条件)例题中把条件改为“tanB＋tanC－3tanBtanC＝－3，且33tanA＋33tanB＋1＝tanAtan(2)tan72°－tan42°－33方法归纳公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的，如1-tana1+tan3tan+31-tana＝(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．教材反思(1)公式T(α±β)的适用范围和结构特征①由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z).②公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－tanα第2课时两角和与差的正切知识复习·自主学习[教材要点]知识点一tan知识点二tan[基础自测]1．解析：tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°+tan30故选D项．答案：D2．解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝3.答案：D3．解析：由于角θ的终边过点(2，3)，因此tanθ＝32，故tan(θ－π4)＝tanθ-1答案：A4．解析：∵tanα＝12，tanβ＝∴tan(α＋β)＝tanα+tan又∵α，β均为锐角，即α，β∈(0，π2∴0<α＋β<π，则α＋β＝π4答案：π课堂探究·素养提升例1【解析】(1)tan15°＝tan(45°－30°)＝tan＝1-331+3(2)1-3＝tan＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.(3)∵tan(23°＋37°)＝tan60°＝tan23°+∴tan23°＋tan37°＝3(1－tan23°tan37°)，∴原式＝3(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37°＝3.跟踪训练1解析：(1)原式＝1-tan＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33(2)原式＝tan120°(1－tan36°tan84°)－3tan36°tan84°＝tan120°－tan120°tan36°tan84°－3tan36°tan84°＝tan120°＝－3.(3)由题意可知2tanθ－1+tan化简得2tanθ－2tan2θ－1－tanθ＝7－7tanθ，解得tanθ＝2.答案：(1)见解析(2)见解析(3)D例2【解析】由条件得cosα＝210，cosβ＝2∵α，β为锐角，∴sinα＝7210，sinβ＝∴tanα＝7，tanβ＝12(1)tan(α＋β)＝tanα+tan(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tanα+β∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝跟踪训练2解析：(1)因为sinα＝35，且α∈(π2，π)，所以cosα＝－所以tanα＝sinαcosα＝3故tan(α＋π4)＝tanα+tanπ(2)由题图可知tanα＝13，tanβ＝12，且α，所以tan(α＋β)＝tanα+tan因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4例3【解析】由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan＝3-3tan而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tanC＝tan[π－(A＋B)]＝tanA+tanBtan而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．跟踪训练3解析：(1)由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan＝3tanBtan又0°<A<180°，所以A＝60°.由tanC＝tan[