zt9专题九-关于Gamma函数与Beta函数的关系及应用

专题九关于函数与函数的关系及应用问题1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？答：欧拉函数是函数与函数 的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则分别称为函数与函数。即：(1)(2)(1)式称为伽马函数，（2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数，函数与函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数．问题2：函数与函数的定义域是什么？答：（一）、函数的定义域：的定义域为.事实上，（1）当时，不是被积函数的瑕点，因此取都有，由柯西判别法知（1）的积分是收敛． （2）当时，是被积函数的瑕点，此时，有==其中对任何s都是收敛的，又，所以与在点是等价的，当时，是收敛，当时，是发散．所以当时是收敛的． 综上可知的定义域为.（二）、函数的定义域：。事实上，==而，在各自的区间内只有一个瑕点。又∴在，与等价，∴当时，收敛，所以时，在收敛．同理时，在时收敛．综上可知当且时收敛，所以的定义域为且。问题3：函数有些什么性质？答：函数具有如下性质：（1）函数的连续性在（0，+）上连续，由=,只证与在（0，+）内连续即可．在任意闭区间()上对于函数当有由于收敛由附录中的定理5，知)在上一致收敛，对于当时有在上连续，所以在连续，所以在上一致收敛，所以在（0，+）上内闭一致收敛，由附录中的定理2，知在（0，+）上连续．（2）函数的的可微性 首先考虑积分在任何闭区间()上一致收敛．考虑积分=+．当 ()而积分收敛,故积分当时一致收敛．同样，当时，()故当时一致收敛．因此积分当时一致收敛．由此可知在上具有连续的导函数且可在积分下求导= (3)由的任意性,可知在上连续且（3）式对一切皆成立.类似的数学归纳法可知，对任何正整数在上都存在且可在积分号下求导数，得=()．(3)递推公式由此可知,任意,如果(其中是非负整数)即有(4)特别地当为正整数时可写成=.(4)极值与凸性因为对一切，=>0，>0因此的图形位于轴上方且凸的． 又因为=1，=1，所以，。因此在上有唯一的一个极小值点落在之间．问题4：函数还有其它的形式吗？答：函数的其他形式：在（1）式中，令，则有（，）(6)在（1）式中，令，则有=。问题5：函数有些什么性质？答：函数具有如下性质：（1）函数的连续性事实上，对任何，有≦，而收敛，所以由附录中的定理5，在，上一致连续，故而在×内连续．（2）函数的可微性在×内可微且存在任意阶连续偏导数．考虑积分当，时，恒有，（）而收敛，故积分当，时一致收敛．因此当，时可在积分下求导，得并且是，上的连续函数．同理是域上的二元函数，且当可在积分下求导得。完全类似地用数学归纳法可证在域上存在连续偏导数，且=。（3）函数的对称性（4）递推公式=（）（）（当时）由对称性可证特别对正整数，。问题6：函数还有其它的形式吗？答：函数的其他形式：（令）（）进而将此积分拆成，两段积分，后者作变换，仍把写成，则有。问题7：函数与函数有怎样的关系？答：函数与函数有下面的关系：（1）事实上，当时，由（6）有，，从而，故有，。（2）（余元公式）（3）（倍元公式）﹙﹚问题8：能否举一些函数与函数应用的例子？答：下面是几个关于函数与函数应用的例子：（1）用余元公式计算的值：解：。（2）求﹙＜＜﹚。解：由公式，令，则，，令，则，令，（3）函数在积分不等式中的应用：例1已知，正整数，证明：.证明：.例2求.解：令，则由于对一切自然数，有＜，又，故，即，而，由夹逼原则，可知，所以.思考题：一、你能否用复变函数的知识证明余元公式？二、你能否证明倍元公式吗？三、你能否再举一些Euler公式的应用？思考题的一些提示：一、余元公式的证明。证：令，则.下面用复变函数有关知识给出证明构造函数为辅助函数，为其奇点，且该函数又以（可去奇点）奇点取正实轴为支割线如图。由残数定理又（*）而上式左边有（1）=∴.（2）∵，∴.（3）：（4），∴由（*）式得由复数相加的性质得：∴二、倍元公式的证明。证明：﹙＞﹚，∴（令一式中，=2\*CHINESENUM3二式中）附录：定理1（柯西判别法1）设是在任何有限区间上可积的正值函数，且．(1)若，，则收敛．（2）若,，则发散．定理2设为[a，b]×[c，+]上的连续函数，若含参变量非正常积分I（X）=在[a，b]上一致收敛，则I（x）在[a，b]上连续．定理3设f和均为[a，b]×[c，+]上连续函数，若I（x）=在[a，b]上收敛，y在[a，b]上一致收敛，则I（x）在[a，b]上可微，且（x）=．定理4设f（x，y）在[a，+]×[c,+]上连续，若 (1)关于y在任何闭区间[c,d]上一致收敛，关于x在任何闭区间[a,b]上一致连续． （2）设|f(x,y)|dy与|f(x,y)|dx中有一个收敛，则=．定理5设有函数g(x)使得|f(x,y)|g(x),axb,c＜y＜+，若收敛，则在[a,b]上一致收敛．参考文献：[1]裴礼文数学分析中的典型问题与方法高等教育出版社