振动与冲击理论基础-单自由度系统振动

2.1单自由度线性系统的振动

单元二振动与冲击理论基础一、包装系统的缓冲包装动力学模型

1、包装件一般由结构复杂的内装物、非线性黏弹性缓冲垫、瓦楞纸箱等外包装组成。目前要建立一个精确的动力学模型来描述该系统的动力学行为，需要采用昂贵的有限元分析软件，要花费大量的人力与物力。2、包装件的简化为使复杂的振动系统便于分析和计算简化为力学模型。

2.1单自由度线性系统的振动

内装物的刚性主体质量为m2，通过等效刚度系数为k2的线性弹簧和等效阻尼系数为c2的阻尼器支撑在外包装上；关键件的质量为m1，通过等效刚度为k1的线性弹簧和等效阻尼为c1的阻尼器支撑在主体上；外包装质量为m3，忽略其刚度与阻尼。

①最常见的缓冲包装动力学模型：三自由度系统②最简单的缓冲包装动力学模型：单自由度系统若不考虑内装物的关键件的动力学响应，可把它视为一个质量为m的刚体；忽略缓冲垫和外包装的质量，把它们视为一个等效刚度系数为k的线性弹簧，则包装件可简化为一个最简单的单自由度系统。3、包装件的运动微分方程

包装件的位移随时间t变化，记为x(t)；外包装的位移记为y(t)。当包装件自由跌落时，x(t)与y(t)是一致的。当外包装触地（或基面，如运输工具的车厢底板）时，令y(t)＝0；随后包装件被压缩并反弹起来，使x(t)呈现往复振动现象。如果包装件放在运输工具上，运输过程中随运输工具振动，y(t)可视为包装系统的激励，使得包装件发生强迫振动。利用牛顿第二定律，可写出如下运动微分方程：整理得到：——常系数的二阶线性微分方程，f(t)为该系统的激励

1、无阻尼系统自由振动其中

包装件的运动微分方程中不计阻尼及激励，即c=0、y=0，若x轴坐标以静平衡位置为坐标原点，则简化成ωn称为无阻尼线性系统的固有频率

二、单自由度线性系统的自由振动①无阻尼系统自由振动的运动规律表达式初始条件为：t=0，x=x0，解得：

简化可得物块作自由振动的运动规律表达式为：x(t)=Asin(ωnt+α)

该系统以固有频率ωn做简谐振动微分方程：②基本运动参数

A：振幅——振体偏离振动中心的最大距离ωn：固有频率ωnt+α：相位α：初相位

A、α由运动的初始条件定固有频率（Hz）：振体每秒内振动的次数

固有圆频率（rad/s）：振体在2π秒内振动的次数

周期（s）：振体每振动一次所需的时间③周期和频率

①线性阻尼系统自由振动的微分方程

包装系统内的阻尼c不能忽略，则得到有阻尼自由振动微分方程：其中

称为粘性阻尼因子（或阻尼比）

C为阻尼系数，其单位为N·s/m

（2-1）2、线性阻尼系统的自由振动

将（2-2）代入方程（2-1），得到代数方程：特征方程的根：

(2-3)

该系统的特征方程二阶常系数线性齐次微分方程设它的解为：x=Aest

（2-2）？0、正数or负数时，其结果与无阻尼系统的解一致。

当根号里为0时，ζ=１这种情况下得到重根：s1=s2=-ζωn

因为产生重根的情况具有特殊意义，把相应的阻尼系数的值称为临界阻尼系数。Cc=2mωn

ζ＞１，称为大阻尼；

ζ=１，称为临界阻尼；

ζ＜１，称为小阻尼。②大阻尼系统自由振动的运动规律特征方程有两个不等的实根。

A和B取决于初始条件。在ζ＞1的条件下，物块受初干扰离开平衡位置后又缓慢回到平衡位置，不可能振动。位移方程（运动规律）为：

ζ=1时,特征方程有两个重根：原方程的解为：

表示一个按指数规律衰减的响应，A1和A2取决于初始条件。临界阻尼系统的位移方程（临界阻尼系统的运动规律）③临界阻尼系统自由振动的运动规律

④小阻尼系统自由振动的运动规律

时,s1和s2是共轭复根。则小阻尼情况下系统的响应：ωd为有阻尼自由振动的频率则响应简化为：令

利用数学关系式并令A1+A2=Asinφ,i(A1-A2)=Acosφ则响应简化为：

小阻尼单自由度系统自由振动的解（位移方程/运动规律）？确定积分常数A，α

∵2、物块的振动随着时间的增加而逐渐衰减，不再是等幅振动，而是衰减振动∴振动特点：A.小阻尼系统的运动规律分析初始条件：

t=0时，1、物块的位移限制在两条曲线：之间的图/运动规律3、振幅Aｅ-ζωnt按指数规律衰减衰减振动虽然不是真正的周期性运动，但它仍具有等时性，因此物块来回往复一次所经历的时间仍然称为周期，用T1表示，即上式表明，由于阻尼的作用，衰减振动的周期增大了。在小阻尼情况下，T1

略大于无阻尼自由振动周期T，但是，在ζ不是很大的情况下，周期的增加不太明显，可以忽略不计。例如ζ=0.05时，周期仅增加0.125%；即使ζ=0.25，周期也只增加了3.28%。B.小阻尼系统的周期分析阻尼对自由运动的影响主要表现在振幅。设相邻两次振动的振幅分别为Ai和Ai+1，则前后两次的振幅比为

式中，d——减幅系数。由上式可得

因为，所以小阻尼自由振动的振幅按几何级数的规律迅速衰减。振幅对数衰减率δ——用振幅比的自然对数表示，即

对数衰减率的主要用途是用实验的方法确定系统的阻尼。由上式得到：黏性阻尼因子

小阻尼情况下，δ与4π2相比可以忽略不计，C.小阻尼系统的振幅分析

无阻尼系统自由振动其中

包装件的运动微分方程中不计阻尼及激励，即c=0、y=0，若x轴坐标以静平衡位置为坐标原点，则简化成ωn称为无阻尼线性系统的固有频率

①无阻尼系统自由振动的运动规律表达式初始条件为：t=0，x=x0，解得：

简化可得物块作自由振动的运动规律表达式为：x(t)=Asin(ωnt+α)

该系统以固有频率ωn做简谐振动微分方程：②基本运动参数

A：振幅——振体偏离振动中心的最大距离ωn：固有频率ωnt+α：相位α：初相位

A、α由运动的初始条件定固有频率（Hz）：振体每秒内振动的次数

固有圆频率（rad/s）：振体在2π秒内振动的次数

周期（s）：振体每振动一次所需的时间③周期和频率

第三章振动与冲击理论基础振动理论基础基本轮廓1单自由度系统的自由振动无阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动2单自由度支座激励系统的受迫振动3车辆振动的定性分析4产品与包装件的力学模型产品的力学模型包装件的力学模型3.1振动理论基础基本轮廓5包装件的简谐振动6包装件的随机振动冲击理论基础基本轮廓1包装件跌落冲击问题的研究方法2产品对跌落冲击的响应产品的跌落冲击过程产品的位移时间函数产品的加速度时间函数产品的速度改变量冲击理论基础基本轮廓3易损零件对跌落冲击的响应易损零件的运动微分方程易损零件对跌落冲击的响应易损零件的最大加速度4跌落冲击的产品破损边界曲线易损零件的极限加速度正弦半波脉冲的冲击谱跌落冲击的产品破损边界曲线冲击理论基础基本轮廓5产品脆值理论矩形脉冲激励易损零件对矩形脉冲的响应矩形脉冲的冲击谱矩形脉冲的产品破损边界曲线6产品脆值测试临界速度线的测试临界加速度线的测试7国外的一些产品脆值标准以上介绍的振动与冲击理论基础参考苏远编写的《缓冲包装理论基础与应用》一书包装动力学的任务包装件在流通过程中受到冲击与振动等机械载荷作用时，内装物损坏程度在很大程度上取决于其加速度响应的大小。包装动力学的任务就是研究包装件受到外部激励后，内装物的加速度等动力学参数随时间变化的规律。物品在其平衡位置附近所作的来回往复运动称为机械振动，简称振动。产品经过包装形成包装件。以缓冲减振为主要功能的包装件是由内装产品、缓冲衬垫、瓦楞纸箱经过封箱或捆扎组成的振动系统，汽车、火车、轮船和飞机的振动就是这类包装件的振动环境。过于强烈的振动会导致产品破损。包装件动力学模型k2外包装缓冲垫内装物基体关键部件m1m2m3k1c1c2考虑内装物存在关键部件的情况下，需要关注关键件的动力学行为，包装动力学模型就是一个双自由度系统mkcxy不考虑内装物的关键件问题。可简化为单自由度系统第一节单自由度线性系统的振动包装动力学分析的方法：建立动力学模型，列出动力学方程并求解包装件一般由结构复杂的内装物，非线性粘弹性缓冲垫、瓦楞纸箱等外包装组成。需要进行简化分析。在不考虑阻尼时，包装件最简单的力学模型：质量-弹簧系统为什么该质量-弹簧系统作自由振动？在没有外界干扰时，振体m在位置O保持平衡，O点称为平衡位置。如果给振体在铅垂方向的初干扰（初位移或初速度），则它就在平衡位置附近上下往复移动。（想想为什么？）无阻尼系统自由振动的微分方程及其解以静平衡位置为原点，过O点垂直向下选作x轴正方向，则振体从静平衡状态受到初干扰后偏离O点，取偏离任意x位置的振体为对象。则重力弹性力：振体的运动微分方程：此方程的解为：振幅初相位周期与频率的概念周期：振体每振动一次所需的时间，用T表示。在简谐运动的情况下：圆频率与静变形的关系

假设包装件内产品的质量m不变，思考产品振幅与哪些因素有关？如果产品中的某个脆弱部件的振幅超过了它所能承受的振幅（变形），如何调整包装件的参数？串联弹簧和并联弹簧的等效刚度再回顾一下弹簧-质量系统想想与实际的缓冲垫上的产品或产品结构部件的振动有怎样的关系。阻尼对自由振动的影响——衰减振动任何缓冲包装材料都是有阻尼的。阻尼的形式很多，常见的有干摩擦阻尼和材料内阻尼，最常见也最简单的是粘滞阻尼（线性阻尼）单自由度有阻尼系统受力分析该系统的运动微分方程：常数A和复数s待定，由初始条件可以确定将代入得到代数方程：根据（c/2m)2-k/m的值是零、是正数还是负数，这个解取有三种不同形式。当（c/2m)2-k/m=0，有：原方程的解为：因为产生重根具有特殊意义，所以把这时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为：方程的根改写为：其中：特征方程的根的性质取决于阻尼比的值是小于1，等于1还是大于1.（1）小阻尼C衰减振动的频率衰减振动的周期：