构造直角三角形巧解题

第第4页共5页构造直角三角形巧解题有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果•下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考.一、利用已知直角构造直角三角形例1：如图1,在四边形ABCD中，ZA=600,ZB=ZD=90o,AB=2,CD=1.贝VBC和AD的长分另U为和.解析:考虑到图中含有9Oo和6Oo的角，若延长AD、BC相交于E,则可以构造出Rt^AEB和RtACED，易知ZE=3Oo，从而可求出DE=\：3,AE=4,BE=2\§，故AD=4-占,BC=2启-2.二、利用勾股定理构造直角三角形例2：如图2,在四边形ABCD中，AB=AD=8,ZA=6Oo,ZADC=15Oo，已知四边形ABCD的周长为32,求四边形ABCD的面积.解析:四边形ABCD是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解•连接BD，VAABD是等边三角形，ABDC是直角三角形，由于AB=AD=BD=8,,求△ABD的面积不难解决，关键是求△BDC的面积•可运用周长和勾股定理联合求出DC,从而求出△BDC的面积.解答:连接BD.VAB=AD,ZA=6Oo‘.•.△ABD是等边三角形..\ZADB=6Oo,BD=AD=AB=8.因为ZADC=15Oo,・\ZBDC=9OO,故厶BDC是直角三角形，因为四边形ABCD的周长为32,AB=AD=8,.•・BC+DC=32-16=16,BC=16-DC.在RtABDC中，BD2+DC2=BC2,即82+DC2=(16—DC)2.解得DC=6.[-・S=x6x8=24.用勾股定理求出等边△ABD的咼为—x8=4丫3.ABDC22S=丄x8x4^3=16^3,•・S=S+S=16^3+24.AABD2四ABCDAABDABDC说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形；(1)四边形中通过添

/f加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a的等边三角形的高为9a，面积为竺a2.24三、利用高构造直角三角形例3：如图3,等腰△ABC的底边长为8cm,腰长为5cm,—动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直.解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P在某一时刻有PA丄AC,此时P点运动了几秒，这是解决问题的着手点设BP=x,PC=8-x，在RtAPAC中，由于PA不知道，无法建立关系式•考虑△ABC是等腰三角形,如作底边上的高AD,贝9可用x的代数式表示AP,用勾股定理便可求出x,进而求出运动时间•当P点运动到D与C之间时，也存在AP丄AB的情况，故要分类讨论.解答：作底边BC的高AD,贝VAD丄BC,垂足为D.设BP=xcm,PA丄AC.由等腰三角形的性质知BD=DC=1BC=4cm.2在RtAADB中,AD2+BD2=AB2,AD2=AB2-BD2=52-42=9,・：AD=3(cm).在RtAPAC中，AP2+AC2=PC2，.:3+(4—x)2+52=(8—x)2.解得x=，即BP=2(cm).TOC\o"1-5"\h\z44P点移动的时间为7一0.25=7(s).4当P点移动到D点与C点之间时，作P点关于D点的对称点P',7725则P'C=—(cm).BP'=8—=(cm).444此时P点的运动时间为互+0.25=25(s).4答：当P点移动7(s)或25(s)时,PA与腰垂直.说明：动态探究问题的解答关键是把它在某一瞬间看做不动，即动中求静，抓住运动中的不变量进行探究.本例中等腰三角形“三线合一”的性质与勾股定理是构成解决问题的纽带,由于点P是运动的，故要分类讨论.图4四、利用勾股定理的逆定理构造直角三角形图4例4:如图4,在AABC中，AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,求BC的长.第第4页共5页解析:注意到5,12,13恰为一组勾股数，因此加倍延长中线AD到E,连接CE,将AB,AC,2AD集中到同一AACE中，构成直角三角形，运用勾股定理求BC的长.解答:延长AD到E,使DE=AD，连接CE.•・•AD是BC边上的中线，・•・BD=CD.又AD=ED,ZADB=ZEDC,.•.△ADB9AEDC(SAS),.\CE=BA=5.又AC=13,AE=2AD=12,..5+122=169=132，即CE2+AE2=AC2,・•・△AEC是直角三角形且ZE=90o.在RtADEC中，CD2=DE2+CE2,ACD^62+52^.61,BC=2CD=^.61,.BC边的长为^■'61.说明:遇到中线问题往往加倍延长，同时对勾股数应有灵敏的感觉，只要已知三角形三边的长，就应该用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状.灵活应用勾股定理勾股定理在几何计算或验证中，均有十分广泛的应用，请看以下几例一、计算问题例1一个零件如图所示，已知AC=3厘米,AB=4厘米,BD=12厘米，求CD的长.解：在RtAABC中，根据勾股定理知:BC2=AC2+AB2=32+42=25在RtACBD中，根据勾股定理知：CD2=BC2+BD2=25+122=169VCD>0.•・CD=13厘米例2如图在四边形ABCD中，已知四条边的比AB:BC:CD:DA=2：2：3：1,且ZB=90°,则ZDAB的度数分析：这道题涉及到角度的求解，需要利用到勾股定理的逆定理(如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.)解：设DA=m(m>0)则AB=2mBC=2mCD=3m在Rt^ABC中，由AB=BC=2m知ZBAC=45°,又由勾股定理得AC2=AB2+BC2=(2m)2+(2m)2=8m2AC2+AD2=(8m)2+m2=9m2CD2=(3m)2=9m2.•.AC2+AD2=CD2从而ZDAC=90°?.ZDAB=ZDAC+ZCAB=90°+45°=135°二、推理验证例3如图在长方形ABCD中,AB=5厘米.在CD边上找一点E,沿直线AE把△ABE折叠，若点D恰好落在BC边上点F处，且△ABF的面积是30平方厘米，求DE的长.分析：本题涉及到折叠翻转的知识,需要注意的是在折叠或翻转过程中形成的轴对称关

系，然后利用勾股定理，通过设未知数解方程来求解．解:因ABF的面积是30平方厘米，AB=5厘米1所以一x5・BF=30,BF=122在RtAABF中，由勾股定理，得AF2=52+122=169所以AF=13由题意，知△AFE9AADE所以AD=AF=13所以BC=13所以FC=BC－BF=13－12=1设EF=DE=x则EC=5－x在Rt^EFC中，由勾股定理，得EF2=EC2+FC2所以x2=（5－x）2+121313解得ycm即DE的长是;5cm三、折纸问题近年来出现的折纸问题往往考察学生对轴对称勾股定理等知识的理解及应用能力．下面举例说明：例4（山东初中数学竞赛）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在D'处，则重叠部分AAFC的面积为解：ADCA和△DCA关于AC对称，.・.ZDCA=ZDCA又•.•DC〃AB?.ZDCA=ZCAB.•・ZCAB=ZD'CA.•・AF=CF设AF=x贝yCF=X,BF=8—X在Rt^BCF中，由勾股定理得x2=42+(8—x)2从而解得x=5•"△afc=^AF^BC二仝二io22

例5（北京市中学生数学邀请赛初二）如图正方形纸片ABCD中,E为BC重点，折叠正方形，使点A与点E重合，压平后，得折痕MN,设梯形ADMN的面积为S1梯形BCMN的面积为S2，求S］：S2的值.解：过E作EG〃AB,交MN于F,交AD于G.很明显MN垂直平分AE,所以AN=NE，AEFH^^ANH所以EF=AN设AN=NE=x,AB=2a则BE=a,得x=BN=2a－x由勾股定理：x2=a2+（2a－x）2得x=那么FG=2a—a=?a44评析：以上题目，无论求面积，还是求长度