读“作为教育任务的数学”有感

对《作为教育任务的数学》阅读、感受与实践浙江省象山中学张美娟近期向同事借阅了《作为教育任务的数学》一书，断断续续读了有将近一年，脑海中经常浮现书中对教育论述的一些观点，渗透应用在平日课堂教学中，感觉课堂效果非常好，可以说是边读边学边实践，虽然短短时间内，只是通常的阅读不能说理解书中教育哲学含义之十分之一，但确实在领略前人伟大著作时，感受到了阅读的美丽。下面摘抄了书中对教育论述的精华部分，感觉能应用于平日教学中的一些精要观点，不敢随意加以修改，怕曲解了书中人含义，还是以原汁原味的形式，与大家共享。《作为教育任务的数学》，荷兰弗赖登塔尔著，陈昌平唐瑞芬译，1995年上海教育出版社出版。作者弗赖登塔尔（1905～1990）是荷兰籍数学家和数学教育家。早在三四十年代，他就以拓扑学和李代数方面的卓越成就而为世人所知。从五十年代初起，他把主要精力放在数学教育方面，发表了大量著作，也开展了广泛的社会活动，在1967年至1970年间任“国际数学教育委员会”（ICMI）的主席，召开了第一届国际数学教育大会，创办了《数学教育研究》（EducationalStudiesinMathematics）杂志，在国际范围内为数学教育事业做出了巨大的贡献。教育的基本问题，即该教什么？为什么目的而教？拿这些内容教谁？你不该把你的数学成果按照你发现它的那种过程去向别人讲解，而要采取另一种方式，即设想你当时已经有了现在的知识，你将是怎样发现那些成果的；或者设想一个学生的学习过程得到指导时，他是怎样发现它的。这实际上就是苏格拉底给门诺的奴隶授课时所遵循的宗旨。思维实验的目的就在于找出学生怎样才能把他要学的知识“再创造”出来。在《作为教育任务的数学》里，阐述了他对数学和数学教育的各种基本观点。第一方面是他对数学的看法。在弗赖登塔尔看来，数学是系统化了的常识。常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则。这些法则在高一层次里又成为常识，再一次被提炼、组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷。这样，数学的发展过程就显出层次性，构成许多等级；同时也形成诸多如抽象、严密、系统等特性。一个人在数学上达到怎样的层次，则因人而异，决定于他的先天和后天的条件。但是，一个为多数人都能达到的层次必然存在。数学教育家的任务就在于帮助多数人去达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，和指出达到这个层次的途径。第二方面是他关于学习方法的看法。弗赖登塔尔反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。他认为这是一种最自然的、最有效的学习方法。说它自然，是因为生物学上“个体发展过程是群体发展过程的重现”这条原理在数学学习上也是成立的，即：数学发展的历程也应在个人身上重现，这才符合人的认识规律。弗赖登塔尔说，他所说的“再创造”是指应该使学生体验到：如果当时的人有幸具备了我们现在有了的知识，他们是怎样把那些知识创造出来的。说这种方法最有效，是因为只有通过自己的再创造而获得的知识才真正被掌握，和可以灵活应用；而更为重要的是，数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳中学会游泳，我们也必须在做数学中学习数学，也就是在创造数学中学习数学。弗赖登塔尔指出，搞数学研究的人就是用再创造的方法去阅读别人的论文的。关于再创造学习方法的重要性，弗赖登塔尔还从另外的角度去加以阐述。他经常指出：数学家向来都不是按照他创造数学的思维过程去叙述他的工作成果，而是恰好相反，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其他的东西推导出来。这种颠倒掩盖了创造的思维过程，如果学习者不实行再创造，他对学习的内容就难以真正的理解，更谈不上灵活应用了。比如学习数学归纳法，正确的途径是，向学生提出一些必须用数学归纳法才能解决的问题，（例如把奇数逐个地相加，就得到一切自然数的平方数。）迫使他直观地去使用这个方法，从而发现这个方法。在学生发现了和懂得了这个方法后，再去帮助他用抽象的形式把它叙述出来。至于从数学归纳法再进到皮亚诺公理系，那是一个更大的飞跃了。学生必须对某些简单的内容进行过公理化的工作，获得了一些经验以后，才有可能实现这个飞跃。可以认为，“再创造”是弗赖登塔尔关于数学教学方法的基本思想，这是学习的基本方法，也是判断教法好坏的基本准则。用弗赖登塔尔本人的话来说，那就是“与其说让学生学习公理体系，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化。一名话，与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化。”今天，把数学数学化是数学家主要关心的事情之一。任何人讲课都把材料重新组织到自己满意为止。苏格拉底的方法。讲师只是助产士，他把我们自己的思想表达出来，而不是表达他自己的思想。苏格拉底的方法也称作思想实验教学法，是指在一个教师或教科书作者的头脑里，想象有一个或是一群主动的学生，设想如何教他们，如何应付学生可能有的各种反映，并且根据这些想象中的学生的活动来决定教学的方法。狭义地说，苏格拉底所做的就是在教学过程中再创造或再发现所教的东西。题材都是在学生的眼前发生而不是教条式地灌输。虽然苏格拉底方法中，学生自己的活动是虚构的，但是应该让学生有这种感觉，那就是所教的东西都是在上课的过程中产生的，而教师实质上只是一个助产士。夸美纽斯的方法。他认为教师应该通过提问以激发学生的活动，至少可以让学生进入到课堂教学中来。夸美纽斯的主要原理是：学生不仅通过语言，而且通过完整地感觉现实来学习。为此他创造了著名的所谓打开感觉器官的理论，这与被动的语言吸收相比较，对学生来说是一种新的活动。例子、规则与模仿――这是夸美纽斯教学方法的三个阶段。学生在前两个阶段是否处于被动状态？不，因为夸美纽斯发现，包括看、听、尝、嗅等各种感觉，只要是有意识地插入于教学之中，都能成为学生的活动。例子后面是规则，教师从经验中描绘出理论结果，这是保证活动的合理性所必不可少的，这种理论是在实践之前的感觉体验中提取出来，至于实践则是根据规则对例子进行模仿。这里，教师的任务是演示并解释例子，再告知学生如何模仿，而学生的任务是亲身体验、理解并且进行模仿。夸美纽斯的“例子”不是静止的，它本身就是一个过程。学生在学习中不仅要注视着教师正在演示的正确的活动，还要根据教师的指令，自己也动手做。夸美纽斯的教学论原理是：教一个活动的最好方法是演示。弗赖登塔尔的意见是：学一个活动的最好方法是做。这个提法重点从教转向学，从教师活动转向学生活动，并且从感觉效应转到运动效应。任何从事创造性数学的人都知道，在与数学相关的任何问题中，直觉比严密的逻辑过程起着更为重要的作用。不应该将教的内容作为现成的产品强加给学生。学习过程必须含有直接创造的侧面，即并非客观意义的创造而是主观意义上的创造，即从学生的观点看是创造。通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得者，理解得更好也更容易保持。这是一本数学教育哲学的书。我们学习前人的著作应该是学习他们的思想。下面是我的一篇基于“再创造”理论的教学设计：导数在函数单调性中的应用知识目标1、在分析函数单调性的定义中，发现函数的单调性与函数的导数的关系，并感受用导数法对函数单调性进行再定义的优越性。2、会利用函数的导数判断函数在给定区间上的单调性，探索函数的单调区间。能力目标培养学生观察、联想、抽象、归纳的数学思维能力，运用“极限”“数形结合”等数学思想方法的思维习惯。情感目标在学生的主动探究中，养成严谨、朴实的科学态度和开拓、创新的进取意识。体现数学的科学价值与文化价值。重点、难点正确理解导数法定义函数单调性的思想方法。教学辅助工具多媒体（powerpoint,几何画板）教学过程：一、创设情景给出三个递增函数的图象，请同学们观察，并给出问题：问题1：这些函数有什么共同特征？问题2：对于任意两点，有没有新的判别式，判别函数在给定区间内是增函数？师生共同讨论给出多种定义方式。定义方式：（1）函数值y随着x的增大而增大（2）（3）（4）（5）在分析它们的优缺点中发现，定义（1）是初中时的定义，形象直观，但可操作性不强；高一时的定义（2）是初中定义的发展，化无限为有限；定义（5）具有新的几何意义，即割线的斜率大于0，但在具体运用中都没有突破定义（2），即须在给定区间内任取两点比较。为了寻找更好的判别方法，对前面的定义进行改正。给出问题3：能否用过函数上任一点的函数的某个特征量来刻划？提出大胆设想：能否只任取一点？否定后，退一步想：两点能否靠得很近？从动态图象显示中发现：当两点无限逼近时，割线的极限位置就是切线。引出定义（6）：。引出课题：函数单调性的再定义二、新课给出导数法定义：若函数在某个区间D内可导，则在D内是增函数。然后分析导数法定义的必要性，优越性与局限性。由学生类比得出导数法定义函数在区间D内是减函数：在D内是减函数。然后运用几何画板，直观形象地理解导数法对函数单调性的再定义。三、应用1、证明函数在区间（2，+）内是减函数。2、确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。小结：导数法求函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数的定义域 （2）求导数（3）解不等式与 （4）确定函数的单调区间练习：确定下列函数的单调区间（1）的增区间 （2）的减区间四、归纳（1）知识点：导数与函数单调性的关系，（指明恒成立时，是常数函数）（2）技能：导数法求函数单调区间的四个步骤（3）数学思想方法：极限思想，数形结合思想五、作业1、思考函数与其导函数的图象关系 2、书本习题1，2题3、导数法求函数的单调区间。并思考：能用定义法做吗？哪一个更简捷。教学反思：此课在给出导数在对函数单调性的再定义中，让学生有三个体验与再创造的过程：第一次是对给出的三个递增函数的图象，观察这些函数有什么共同特征；第二次是函数单调性定义从初中时图形的形象直观到高中数学化的符号表示，符号的多种等价转换至割线的斜率的几何直观解析，层层向导数的定义靠近，但没有实现质的突破；第三次的感受是最关键的，即从函数的单调性定义，即用给定区间内任取两点的刻划到用任一点的函数的某个特征量来刻划。教师运用图象逼近，直观形象地让学生经历了从割线的斜率到切线斜率的过程。其中蕴含了极限的思想。也体会了导数的定义与函数单调性定义本质上的一致性，解决了为什么可以用导数来解决函数单调性问题的这一难点。这正是学生体会再创造的过程。著名的数学教育家弗赖登塔尔认为，将数学作为一种活动来解释和分析，学习数学唯一正确的方法是让学生进行“再创造”，即数学知识应由学习者本人去发现或创造，教师的任务是帮助和引导学生进行“再创造”工作，而不是把现成的知识灌输给学生．因此数学教学方法的核心是学生的“再创造”，就是要求课程设计者和教师，在教学中不是将数学当作一个现成的体系，而是科学地把握