概率论课件 第一章

概率论与数理统计主讲：第一章随机事件及其概率1.2随机事件的概率及性质1.3概率的计算1.4事件的独立性1.5独立事件概型1.1随机事件及其运算1.1.1随机事件手拿一枚硬币，松开手，硬币向下落。种瓜得瓜，种豆得豆。太阳每天从东方升起。硬币落下时哪一面向上？瓜长多大，豆结多少？日出时是否有云雾遮挡？结果唯一确定性现象结果不唯一不确定性现象（随机现象）概率统计的研究内容1.1.1随机事件投掷一枚硬币，观察结果。分析：此过程具备什么特点？1.相同条件下可以重复进行；2.无法预见出现那种结果；3.可以预见所有可能出现的结果.结果不唯一称为随机试验，用E表示掷硬币可能出现正面反面试验的基本结果称为样本点，记作

全体样本点组成的集合，称为样本空间，记作1.1.1随机事件例1.1写出下列试验的样本空间样本点有可数无穷多个投掷一枚硬币，观察结果。，掷一枚均匀对称的骰子，观察向上一面的点数。记录110报警台一天的报警次数。将一枚均匀的硬币投掷两次，观察两次出现正反面的情况。将一枚均匀的硬币投掷两次，观察正面出现的次数。将一枚均匀的硬币投掷两次，观察内容不同样本空间也不相同.对同一个随机试验.样本空间不唯一，由观察内容决定。1.1.1随机事件，随机事件：A={掷出的点数大于3}随机现象的某些样本点组成的集合。掷一枚均匀对称的骰子，观察向上一面的点数。例如在常用英文字母A，B，C表示.B={掷出的点数为偶数}统称为随机事件，简称事件几种特殊的随机事件基本事件：由一个样本点构成的随机事件在每次试验中必然发生的事件在任何一次试验中都不可能发生的事件必然事件：不可能事件：如C={恰好掷出4点}如D={出现的点数小于7点}如F={出现的点数大于6点}1.1.2事件的关系及运算1.事件的包含与相等，A发生必然导致B发生事件B包含事件A：记作规定：对任意事件A，恒有事件B与事件A相等：记作1.1.2事件的关系及运算2.事件的和或并，事件A和事件B至少发生其一的事件和事件：记作：例如，从1，2，…，9中任取一数，观察结果。类似的可以得到n个事件的和事件：显然：任一事件A，有记A={取到的是3的倍数}={3，6，9}B={取到的是2的倍数}={2，4，6，8}推广到可列多个事件的和事件：1.1.2事件的关系及运算3.事件的积或交，事件A和事件B同时发生的事件积事件：记作：例如，从1，2，…，9中任取一数，观察结果。类似的可以得到n个事件的积事件：显然：任一事件A，有记A={取到的是3的倍数}={3，6，9}B={取到的是2的倍数}={2，4，6，8}推广到可列多个事件的积事件：1.1.2事件的关系及运算4.事件的互斥，事件A和事件B不能同时发生的事件.互斥事件：对于互斥的和事件也可以记作例如，从1，2，…，9中任取一数，观察结果。记C={取到的是3的倍数}D={取到的是4的倍偶数}C，D为互斥事件若事件组中任意两个事件均互斥，则称该事件组两两互斥．

例如，在同一随机试验中基本事件是两两互斥的．1.1.2事件的关系及运算5.事件的互逆，互逆事件：也称为对立事件通常把A的逆事件记作例如，从1，2，…，9中任取一数，观察结果。记E={取到的数大于5}{取到的数小于等于5}1.1.2事件的关系及运算6.事件的差，差事件：显然有例如，从1，2，…，9中任取一数，观察结果。记E={取到的数大于5}事件A发生，而事件B不发生.记作：F={取到的数小于8}E-F={8，9}1.1.2事件的关系及运算7.事件的运算规律交换律：结合律：分配律：德-摩根律：德-摩根律的推广：1.1.2事件的关系及运算例1.2设A、B、C表示3个事件，试以A、B、C的运算来表示下列运算（1）只有A发生；（2）A、B、C都发生；（3）A、B、C都不发生；（4）A、B、C至少有一个发生；（5）A、B、C恰有一个发生；（6）A、B、C不全发生．1.1.2事件的关系及运算练习加工某一零件共需三道工序，以

｛第道工序出现次品｝试用表示下列事件：（1）恰有一道工序出现次品；（2）至少有两道工序出现次品；（3）至少有一道工序出现次品；（4）加工的零件为次品；（5）加工的零件为合格品．1.2概率的定义引例已知粉笔盒中有10根粉笔，分白色和黄色两种颜色，问任取一根为白粉笔的可能性是多少？

思考：问题一：取到白粉笔的可能性确定么？粉笔盒中白粉笔的数量确定么？确定但是未知！！所以取到白粉笔的可能性是确定、客观存在的，并能用数值描述.我们把描述事件发生的可能性大小的数量值称为概率，所以事件的概率是确定的，客观存在的数值。问题二：既然取到白粉笔的概率是确定的值，如何在白粉笔数量确定但未知的情况下计算？1.2.1概率的统计定义频率的性质：定义设随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值m/n为随机事件A在n次重复试验中发生的频率，记做，即（1）对如何事件A，（2）（3）设是两两互斥的事件，则1.2.1概率的统计定义试验次数正面出现的频数频率0.49981499430000维尼0.50051201224000皮尔逊0.5016601912000皮尔逊0.4979497910000费勒0.506920484040蒲丰0.518110612048德摩根试验者

试验次数不断增大

频率稳定在0.5附近分析下表频率的特点（1）波动性（2）稳定性当试验次数n增大时，

逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率。称为统计概率。1.2.1概率的统计定义（1）对如何事件A，（2）（3）设是两两互斥的事件，则统计概率和频率具有相同的性质：统计概率的优点：直观，适用于未知情况，如白粉笔数量未知时可用统计概率计算.统计概率的缺点：需要进行大量重复试验，不便于实际应用；统计概率不够严密，不精确，不便于理论应用.1.2.1概率的统计定义一般地，我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型

1.古典概型（1）有限性

：试验的样本空间中的元素只有有限个（2）等可能性

：试验中的每个基本事件发生的可能性相同2.概率的古典定义定义设随机试验E是含有n个基本事件的古典概型随机试验，事件A包含m个基本事件，则则称P(A)为事件A的古典概率.1.2.2概率的古典定义例2.1抛掷一枚均匀的骰子，观察朝上一面的点数．设事件A=｛出现的点数为偶数｝，计算P(A).

分析：

（1）试验是否满足古典概型（有限性，等可能性）

（2）确定m和n1.2.2概率的古典定义例2.2把一枚均匀的硬币连续抛掷两次．设事件

A=｛出现两个正面

｝，B=｛出现两个相同的面｝，试求P(A)，P(B).思考：若取样本空间为｛（正正）（反反）（一反一正）｝如此计算是否正确？为什么？样本空间虽满足有限性但不满足等可能性。若取样本空间为｛（正正）（反反）（反正）（正反）｝则样本空间既满足有限性也满足等可能性。注意：对同一个随机试验样本空间并不唯一，只有当样本空间满足有限性和等可能性时才能应用古典概率计算。所以在用古典概率计算时要选择恰当的样本空间。1.2.2概率的古典定义例2.3一批产品共10件,其中6件正品,4件次品,求下列事件的概率。{从中任取五件，恰有两件次品}{从中依次取五件恰有两件次品}{从中有放回地连取三件都是正品}思考的概率相等是否巧合？

1.2.2概率的古典定义例2.3的推广

一批产品共N件,其中M件次品,N-M件正品,从中取出n个，记A={取出的n件产品中有m件次品}，计算下列四种抽样方式下的P(A).（1）任取（2）无放回取（3）依次取（4）有放回取

P(A)

相同1.2.3概率的公理化定义1.概率的公理化定义定义设E是随机试验，

是它的样本空间.对于E中的每一事件A，赋予一实数P(A)与之对应，若集合函数P(.)满足条件：（1）非负性：（2）规范性：（3）可列可加性：设可列个事件是两两互斥的，则有则称P(A)为事件A的概率.1.2.3概率的公理化定义2.概率的性质性质1：性质2：若事件组是两两互斥的，则有性质3：性质4：1.2.3概率的公理化定义性质4：由性质2有所以特别地，若1.2.3概率的公理化定义2.概率的性质性质1：性质2：若事件组是两两互斥的，则有性质3：性质4：性质5：1.2.3概率的公理化定义性质5：由性质4推广到三个事件A,B,C1.2.3概率的公理化定义例2.4从0，1，2，…，9十个数字中任取三个不同的数字，则“3个数学中不含0或5”的概率是多少？分析：设A={三个数字中不含0}，B={三个数字中不含5}

则{3个数学中不含0或5}易得由性质5，得1.3.1条件概率效果药物死亡（A）存活（）总计