第四版 弹性力学 第一章 绪论201209 徐芝纶

连续介质力学

地震科学系：盛书中

E-mail:ssz2008@ssz@连续介质力学？

连续介质力学研究物体的宏观力学行为。连续介质和质点、刚体一样，都是一种理论模型。连续介质模型认为物质连续地分布在它所占有的容积之内；这是运用数学分析工具统一研究固体、液体、气体的力学行为的基础。连续介质的质点表示一个物质微团，它的尺度和所研究问题的宏观尺度相比是充分地小，小到在此微团内，每种物理量都可看成是均匀分布的常量，因而在数学上可以把此微团当作一个点来处理。另一方面，又要求此微团尺度和分子运动的尺度相比足够地大，大到微团中包括大量的分子，从而能对分子运动作统计平均，以得到表征宏观现象的物理量。为了运用数学分析工具，在连续介质力学中把材料当作连续的(或分段连续的)，除了在某些间断面上以外，各物理量存在所需要的各阶偏导数。——董湘怀吴树森魏伯康等编.《材料成形理论基础》.化学工业出版社,2008.7.

连续介质力学描述现实世界的宏观力学现象，其最基本的假设是物质连续性假设。这种假设认为具有所研究的物质完全充满一定的物理空间，而与该空间相关的各种物理量，如密度、温度、应力应变、动量和能量等都是该空间的连续函数，可以应用数学分析的方法进行描述。例如，设有一定质量的物质充满一定的空间，P为该空间内的任意一点。取一系列包含P点的子空间Sn。，其体积Vn，质量为Mn，如果极限存在，则将其定义为P点处物质的质量密度。如果该空间内每一点都可以定义这样的密度，则称在该空间内质量是连续分布的。用同样的方法可以定义动量密度和能量密度等。所以，所谓连续介质就是指物质的质量密度、能量密度和动量密度等，从数学连续性的意义上是存在的。描述这种连续介质材料的力学关系，即作为受力或受热响应的运动及变形，称为连续介质力学。——《多物理场耦合模型及数值模拟导论》，孙培德，杨东全，陈奕柏著

从微观角度看，物质并不是连续的，而是由分子、原子以及各种亚原子等粒子组成的离散系统，所以物质的质量等参数在物理空间中其实是不连续的，这已为现代物理实验所证实。但是，只要极限中的Vn包含足够多的质点在内，而不至于使上述极限值不存在或发生突变，这种模型就是可行的。现实世界中的大量问题都是满足这个要求的。例如水分子的直径大约10-10米，只要研究中所涉及的尺寸比这个值大几个数量级，例如10-8米，就可把水作为连续介质。所以连续介质理论所描述的各种物理现象是大量微观粒子所组成的集合体的一种统计平均效应，是将事实上离散的物质系统用统计平均的方法加以光滑化的结果。这种连续体假设为基础所得到的具体分析结果，最后还需要实验的检验。但需要指出的是，一百多年来的大量实验已充分证实，这一理论在相当广泛的范围内是充分正确的。——《多物理场耦合模型及数值模拟导论》，孙培德，杨东全，陈奕柏著

本课程主要介绍弹性力学理论，为后续课程（如：《地震学》，《地形变观测》等）打基础。

教材与教学参考书

教材：徐芝纶:2006.《弹性力学》.北京:高等教育出版社参考书：《弹性力学简明教程全程导学及习题全解(第3版)》.刘海英,2007.中国时代经济出版社钱伟长,叶开源，1956.弹性力学.北京:科学出版社.王龙甫，1978.弹性理论.北京:科学出版社.尹祥础,1985.固体力学.北京:地震出版社徐秉业主编,1981.弹性与塑性力学-例题与习题.北京:机械工业出版社第一节弹性力学的内容第二节弹性力学中的几个基本概念第三节弹性力学中的基本假定第一章绪论§1-1弹性力学的内容

弹性力学─研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。第一章绪论定义研究弹性体的力学——材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：材料力学─研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。

弹性力学─研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 第一节弹性力学的内容

结构力学─在材料力学基础上研究杆系结构

（如桁架、刚架等）。研究对象

在研究方法上，弹力和材力也有区别：

弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程;在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。第一节弹性力学的内容研究方法

材料力学也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。第一节弹性力学的内容研究方法因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材力解法只能适用于杆件形状的结构。

弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。

弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。第一节弹性力学的内容

弹性力学在力学学科和工程学科中,具有重要的地位：地位第一节弹性力学的内容学习弹力的目的：学习目的（4）为进一步学习地震学、地球动力学、重力与固体潮和他固体力学分支学科打下基础。（3）能用弹力近似解法（变分法、差分法和有限单元法）解决实际问题；（2）能阅读和应用弹力文献；（1）理解和掌握弹力的基本理论；思考题弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？2.弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？

外力─其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。

第一章绪论§1－2弹性力学中的

几个基本概念外力（定义）作用于物体体积内的力。（表示）以单位体积内所受的力的量度，（量纲）第二节弹性力学中的几个基本概念（符号）坐标正向为正。体力─哪些力属于体力？重力、惯性力、物体间的引力…

（表示）以单位面积所受的力来量度，面力─（定义）作用于物体表面上的力。第二节弹性力学中的几个基本概念（符号）坐标正向为正。（量纲）例：表示出下图中正的面力和体力第二节弹性力学中的几个基本概念

从历史上看，正是由于研究一点的应力状态才引出了张量的概念，后来进而发展成为一门新的数学分支——张量理论，并且在力学，尤其是在固体力学中得到日益广泛的应用。**力学所处理的物理量，与用以描述他们的坐标系无关。而这类物理量，若借助适当的坐标系进行描述，则表达起来往往是很方便的。在数学上，这样的量就用张量来表示。补充：张量的基本概念

张量的一个重要性质是它不依赖于具体的坐标系，因此是客观的。当然为了在数量上对张量进行表征和计算，常常需要选定作为参考的坐标系。在不同的坐标系下得到不同的分量值，不同坐标系下的分量之间具有确定的变换关系。连续介质力学以及各物理学科研究的都是不依赖坐标系的物理量，因此自然要用张量这一数学工具。连续介质力学的运动规律都是用张量方程来表达的，它对各个坐标系都是成立的。张量理论的表述可有两种不同的方式。第一种方式是完全不借助于坐标系，把张量整体作为研究的对象，对它进行运算。第二种方式是把张量看成是张量分量的集合，张量的运算就归结为张量分量的运算。两种方式各有其优点，第一种表述简单利落，第二种便于实际计算。能在任意坐标系间变换的张量理论称为普遍张量理论；而只在笛卡儿坐标系间变换的张量理论称为笛卡儿张量理论(所谓笛卡儿坐标系指的就是右手旋转的直角坐标系)。笛卡儿张量理论远比普遍张量理论简单。——董湘怀吴树森魏伯康等编.《材料成形理论基础》.化学工业出版社,2008.7.内力─假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩)，称为内力。第二节弹性力学中的几个基本概念应力应力─截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。第二节弹性力学中的几个基本概念（量纲）（表示）─面上沿向正应力，

─面上沿

向切应力。（符号）应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负向为正。应力张量X面上的应力y面上的应力z面上的应力沿着x轴方向的作用力应力矢量过一点作截面S（用外法线方向n表示此面方向），该面上的应力矢量就记为：如分别表示以x、y、z轴为外法线的三个截面上的应力矢量。则有：当n的方向变化时，的大小和方向都会有变化，一点的有无穷多个值。

⊿S假想面的正负面上的应力是什么关系？=例：正的应力第二节弹性力学中的几个基本概念应力与面力，在正面上，两者正方向一致，在负面上，两者正方向相反。第二节弹性力学中的几个基本概念弹力与材力相比，正应力符号，相同切应力符号，不同材力：以拉为正材力：顺时针向为正第二节弹性力学中的几个基本概念

由微分体的平衡条件得：

第二节弹性力学中的几个基本概念在弹力中，与不仅数值相同，符号也相同。在材力中，与

数值相同，符号相反。因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同。

切应力互等定理：正应变

，以伸长为正。形变

─形状的改变。以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应变和切应变来表示。切应变

,以直角减小为正,用弧度表示。第二节弹性力学中的几个基本概念形变应变张量

正的正应力对应于正的线应变,

正的切应力对应于正的切应变。第二节弹性力学中的几个基本概念位移

─

一点位置的移动，用,表示,量纲为L。以坐标正向为正。变形前变形后第二节弹性力学中的几个基本概念位移

思考题试画出正负y面上正的应力和正的面力的方向。在的六面体上，试问x面和y面上切应力的合力是否相等？

由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；

由应力与形变之间的物理关系,建立物理方程；

弹力的研究方法，在体积V内：

由微分线段上形变与位移的几何关系，建立几何方程；第一章绪论研究方法§1－3弹性力学中基本假定

在给定约束的边界上，建立位移边界条件。

在给定面力的边界上，建立应力边界条件;第三节弹性力学中的基本假定研究方法

在边界S面上:然后在边界条件下求解上述方程，得出应力、形变和位移。

任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素建立计算模型归纳为学科的基本假定。第三节弹性力学中的基本假定基本假定

为什么要提出基本假定（1）连续性─假定物体是连续的。各物理量可用连续函数表示。第三节弹性力学中的基本假定材料性质假定

弹性力学中的五个基本假定。

关于材料性质的假定及其在建立弹力理论中的作用：（2）完全弹性

─假定物体是,即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。第三节弹性力学中的基本假定材料性质假定

a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。b.线性弹性—应力与应变成正比。图1.2几种不同类型弹性介质的应力－应变曲线(a)线性弹性材料；(b)非线性弹性材料(c)有滞变的弹性材料（3）均匀性

─假定物体由同种材料组成。

E、μ等与位置无关。（4）各向同性

─假定物体各向同性。

E、μ等与方向无关。符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。第三节弹性力学中的基本假定材料性质假定

（3）,（4）→E、μ等为常数（5）小变形假定

─假定位移和形变为很小。第三节弹性力学中的基本假定