第二节期权定价模型

第二节金融期权的定价模型一、金融期权价格构成（一）金融期权的内在价值

1、含义：期权的内在价值，即履约的价值，指期权合约本身所具有的价值，也是期权的买方立即执行期权能获得的收益。期权的内在价值取决于协定价格与标的物市场价格的关系。期权的内在价值不会小于零。

根据内在价值，期权可分为实值、虚值和平值三种。看涨期权的内在价值

C(T)=max[0,S(T)-K]看跌期权的内在价值P(T)=max[K-S(T),0]

2、内在价值的计算(二)金融期权的时间价值

1、含义

期权的时间价值，即外在价值，指期权购买者为购买期权而实际付出的期权费超过该期权的内在价值的那部分价值。2、时间价值=期权价格-内在价值Thetimevaluerepresentstheinvestors'beliefsthattheycanmakemoremoneybysellingorexercisingtheoptionatsomefuturedate.

（三）期权价格的有关性质

性质1:在期权到期日，期权价格等于其内在价值（时间价值为0）。

性质2:在期权到期日之前，美式期权价格大于或等于其内在价值性质3:对于具有相同标的资产和在相同执行价格的两个期权，距到期日较长的期权，其价格较高.

性质4:对于具有相同标的资产和在相同到期日的两个看涨期权，执行价格越小的期权，其价格较高；对于具有相同标的资产和在相同到期日的两个看跌期权，执行价格越高的期权，其价格较高；

（三）期权价格的有关性质性质5:看涨期权的价格，不会高于标的资产的价格；Ifthepremiumofthecalloptionisgreaterthanthepriceofitsunderlyingasset:Today:buytheasset,writethecallandreceive$(C-S).Ifthecallisexerciseddeliverthestockandget$E.Ifitnotexercisedyoukeepboth$(C-S)andtheunderlyingasset.

性质6:看跌期权的价格，不会高于执行价格；（四）影响期权价格的主要因素1、协定价格与市场价格及两者的关系

（1）决定期权的内在价值

（2）决定期权的时间价值

协定价格与市场价格差距越大，时间价值越小，

协定价格与市场价格差距越小，时间价值越大，

当期权处于平值时，时间价值最大。2、权利期间（期权剩余的有效时间）期权期间越长，套期保值时间越长，期权时间价值越大随着期权期间缩短，期权时间价值的增幅是递减的。3、标的资产的收益：标的资产收益率越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高。4、标的资产价格的波动性：标的资产价格波动性越大，期权价格越高5、利率：利率对看涨期权价格有正向影响，利率对看跌期权价格有负向影响各因素对期权价格的影响其中：+为期权价格上升-为期权价格下降看涨期权的价格X45°内在价值期权价格时间价值S0C

看跌期权的价格X内在价值期权价格时间价值S0P期权时间价值与权利期间的关系6543210权利期间时间价值二、看涨——看跌期权平价关系（一）假设条件看涨、看跌期权具有相同的执行价格和相同的到期日，并且都是欧式期权。（二）平价关系1、无收益资产的平价关系

构造如下两个组合：

PortfolioA:一份欧式看涨期权的多头和现金。PortfolioB:一份欧式看跌期权的多头和一单位标的资产在T,组合A的价值为:组合B的价值为:因此，在t,两组合的价值应相等

（二）平价关系2、有固定收益资产的平价关系

WhereDisthePRESENTVALUEofthedividendspaidovertheentirelifeoftheoption.Thatis,wesubstitute(S-D)forS.（二）平价关系3、期货期权的平价关系

构造如下两个组合：

PortfolioA:一份欧式期货看涨期权的多头和现金。PortfolioB:一份欧式期货看跌期权的多头和一份期货合约和现金。在T,组合A的价值为:组合B的价值为:因此，在t,两组合的价值应相等

（二）平价关系

4、美式期权的平价关系（1）标的资产无收益的平价关系

（2）标的资产有收益的平价关系

三、期权定价模型

（一）二项式定价模型与期货定价相同，我们可以利用无套利定价原理对期权定价。方法是：构造一个证券组合，其赢利与期权正好相同(现金流复制方法)。BlackandScholes(1973)正是应用这种方法得出了著名的期权定价公式。二项式定价模型，尽管简单，但原理与BlackandScholes公式是相同的1、实例

假设当前的无风险利率为20%,股票当前的价格为60$，到时期末，股票价格要么下降到30$或上升到90$.

90

60

30

到时期末，执行价格为60$的期权的价值要么是0或30.

30

C

0

Cu=max[(u·s-k),o]Cd=max[(d·s-k),o]1、实例设我们购买0.5股股票，并且从银行借入12.50$.

则有：

30=0.5×90-12.5×(1+0.2)

0.5×60-12.5=17.5

0=0.5×30-12.5×(1+0.2)

可见，这个组合与看涨期权的盈亏完全相同，因此，看涨期权的价值与这个组合的价值相同，为$17.50.(C=17.5)如果期权的交易价格为$18.50，情况如何？此时，将出现套利机会。1、实例构造下列组合：卖出一份看涨期权：

买入由0.5份股票和$12.50现金组成的组合（由股票和债券的组合复制看涨期权）。在T时刻，两个组合的收益相同，在时间t，投资者的净收益为$1.00（18.5-17.5）问题：如果期权目前的交易价为$16.50，那么，你的套利组合应如何构建？1、实例假设∆份股票+L现金可以复制看涨期权当股票价格上升到90$，则：90×∆+1.2L=30

当股票价格下降到30$，则：30×∆+1.2L=0

这样：∆=0.5，L=-12.5

组合与看涨期权对股票价格的敏感性相同。这个敏感性称为套期保值比率或称为看涨期权的∆系数：∆=∆C/∆S=(30-0)/(90-30)=0.5

复制组合应包括∆份股票、借入L现金2、一般的二项式定价模型在实际中，股票的价格不仅是两个值，可能有多个值。我们可以通过缩短每一步的时间周期，采取多步骤的方法，构造二叉树模型的方法来模拟股票的多个值。为求解多阶段的二叉树模型，我们只要重复求解单阶段的二叉树模型即可，因此，我们首先要得出一般的单阶段二叉树模型。（1）一般的单阶段的二叉树模型符号设：

S：标的物现行价格

u：标的物价格可能上涨倍率（u1）

d：标的物价格可能下降倍率（d1）R=1+单周期的无风险利率

为了防止出现套利机会，要求：

d<R<u

当股票价格上升时，Su=u×S；当股票价格下降时，Sd=d×S在到期日，期权的盈亏为：如果股票价格上升：Cu=max[(u·s-k),o]如果股票价格下降：Cd=max[(d·s-k),o]（1）一般的单周期的二叉数模型构造下列组合：买入∆份股票+

以无风险利率借入L现金以复制看涨期权，则：∆u×S+R×L=Cu

∆d×S+R×L=Cd

解之，得：

∆=(Cu-Cd)/(u×S-d×S)

L=-(dCu-uCd)/[R×(u-d)]

注意：对看涨期权来说，L总是负值（总是借入资金）。问题：导出复制看跌期权组合的计算公式。Risk-NeutralProbability记：

C=∆S+L

C=1/R×(q×Cu+(1-q)×Cd)

如果q是股票价格上涨的概率，则看涨期权的价格是期权未来价值的期望值的贴现值。衍生证券的风险中性定价如果每个人都是风险中性的，股票的期望收益率将等于无风险收益率R.在风险中性的世界中，股票上升的概率为q（注意在实际中，股票上升的概率为p，投资者是风险厌恶的

）看涨期权的价格是期权未来价值的期望值的贴现值：

C=1/R×{q×Cu+(1-q)×Cd}

一般公式为：DerivativePrice=EQ[(1/R)(T-t)×Payoff]

此公式说明衍生证券的价格是其盈亏贴现值的期望值(风险中性的世界中)

（2）二期间二叉树模型（价格关系图）SSuSdSu2SudSd2CdCCuCu2Cd2Cud（2）两阶段二叉树模型根据单阶段模型：

Cu=(q×Cuu+(1-q)×Cud)/R

Cd=(q×Cud+(1-q)×Cdd)/R

当得到Cu、Cd，再使用单阶段模型，得：C=1/R2×{q2×Cuu+2×(1-q)×q×Cud+(1-q)2×Cdd}

同样，这也是一般模型的特例：DerivativePrice=EQ[(1/R)(T-t)×Payoff]

标的资产价格变化及风险中性概率的估计在二叉树模型中，确定u,d,andq是关键，这里应用风险中性定价法估计这些数值。在风险中性世界中：所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；未来现金流可以用期望值按无风险利率贴现假设股票的价格遵从几何布朗运动，记：r为连续复利的无风险收益率，S为期初的证券价格，则在很小

∆t末证券价格的期望值为：对一个价格遵从几何布朗运动的股票来说，在∆t内证券价格变化的方差为（）σ为股票价格以年计的波动标准差。根据方差的定义，有：

假设d=1/u（Cox,Ross,Rubinstein的条件），解上面的三式，得u,d,andq的估计值为：

易变性对期权定价的影响

看涨期权的价格是收益贴现值的期望，当标的资产的易变性增加时，标的资产价格出现极端值的概率增加，那么看涨期权处于实值或虚值的可能性增加，因此，波动性越高，盈亏贴现的期望值就越高，看涨期权的价格就越高。

Whataboutaputoption?

Example:theMulti-periodBinomialModel

Example（续）:美式期权(看跌期权)的例子美式看跌期权:执行价格是$52,股票价格按比例20%上升或下降,无风险利率是5%要在每个节点检验提前执行是否最佳在最后节点,美式期权价值与欧式期权相同其它节点,取如下两者中较大者:提前执行所得的收益f=[qfu+(1-q)fd]e-rΔtR=1+5%=1.05,u=1.2d=0.8505.13614847203220601.428612.040CBA节点B,提前执行期权的损益为-$8,按公式计算值为$1.4286,选择$1.4147.节点C,提前执行期权的损益为$12.0,按公式计算值为$9.5238.选择$12.0.节点A,提前执行期权的损益为$2.0,按公式计算值为$5.1361.选择$5.1361.（3）二叉树模型的扩展有红利资产期权的定价支付连续红利率资产的期权定价记标的资产支付连续红利率为i,在风险中性条件下，可以用r-i替代上面公式中r即可，其他不变。这时，对于期货期权，可以将期货看成支付连续红利率为r的证券，则

（3）二叉树模型的扩展支付已知红利率资产的期权定价若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率（红利与资产价格之比），我们可以通过调整各节点上的证券价格，计算期权价格，调整方法为：如果时刻在除权日之前，则各结点处的证券价格不变，为：如果时刻在除权日之后，则各结点处的证券价格为利率是时间依赖的情况在二叉树模型的中，假定无风险利率是常数，这显然与实际不符。合理的假设是，即在时刻t的结点上，其应用的利率等于t到之间的的远期利率。其他条件不变，这样，资产价格上升的概率为：（4）构造树图的其他方法q=0.5的二叉树图如果在上面分析中，不假定d=1/u，而令q=0.5，则当的高阶小量可以忽略时，得：方差控制技术基本原理：期权A和期权B的性质相似（如其他条件相同的欧式和美式期权），我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。记为期权B的真实价值（解析解），为期权A的较优估计值，分别表示用同一种方法计算出的期权估计值。假设用数值计算出的期权B的误差等于期权A的误差，即：可以证明，当与之间相关系数较大时，这说明这个方法减少了期权A的价值估计的方差，我们利用和的信息改进了对期权A的价值的估计。（二）布莱克——斯科尔斯模型当二项式模型的区间长度很小，区间个数达到无穷时，二项式模型收敛于Black-Scholes模型1、假设条件期权的标的物为一风险资产，允许卖空，并且完全可分在期权到期日前，标的资产无任何收益和支付。标的资产的交易是连续的，其价格的变动也是连续的，均匀的，既无跳空上涨，又无跳空下跌。标的资产价格的波动性为一已知常数。存在着一个固定不变的无风险利率，交易者可以按此利率无限制地借入或贷出。期权是欧式的，到期日前不执行，不存在无风险套利机会标的物的价格服从于对数正态分布，股票的收益率服从正态分布。

AComparisonofLognormalDistributionwitha25-periodBinomialApproximation

2、布莱克——斯科尔斯微分方程（1）Ito过程与Ito引理Ito过程Ito引理若变量x遵从Ito过程，则变量x与t的函数G将遵从下列过程（2）证券价格自然对数变化过程证券价格的变化过程衍生证券价格的变化过程

证券价格自然对数变化过程令G=lnS,代入上式得：（3）布莱克——斯科尔斯微分方程推导：

由上面的公式得：构造如下组合：该组合在后必定没有风险，因此，该组合在中的瞬时收益率一定等于的无风险收益率。这样有：将有关式子代入得：化简得：边界条件：C(T)=max[0,S(T)-K]2、无收益股票欧式看涨期权定价的Black-Scholes模型假设每个投资者都是风险中性的，利用风险中性定价模型，DerivativeP