弹性力学简明教程第三章

第三节位移分量的求出第四节简支梁受均布荷载第五节楔形体受重力和液体压力例题教学参考资料第一节逆解法与半逆解法多项式解答第二节矩形梁的纯弯曲第三章平面问题的直角坐标解答习题的提示与答案当体力为常量，按应力函数求解平面应力问题时，应满足

§3－1逆解法和半逆解法

多项式解答按求解⑶多连体中的位移单值条件。(c)⑵S=上应力边界条件,⑴A内相容方程对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由求应力的公式是(d)2.逆解法──先满足(a),再满足(b)。

步骤:(e)逆解法⑴先找出满足的解⑶在给定边界形状S下，由式(b)反推出各边界上的面力，⑵代入(d),求出从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述和应力。逆解法逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。例1一次式=ax+by+c,对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数中加减一次式，不影响应力。例2二次式，分别表示常量的应力和边界面力。如图示。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c例3逆解法设图中所示的矩形长梁，l>>h，试考察应力函数能解决什么样的受力问题？yxol

h/2

h/2(l>>h)解：按逆解法。1.将代入相容方程，可见是满足的。有可能成为该问题的解。2.由求出应力分量,3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力。在主要边界（大边界）上，。因此，在的边界面上，无任何面力作用，即在x=0，l的次要边界（小边界）上，在x=0,l小边界上的面力,如下图(b)所示，而其主矢量和主矩,如(c)所示。由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x=0处受集中力F作用的问题。FFM＝Fl(b)(c)⑶代入，解出；3.半逆解法步骤：半逆解法⑵由应力(d)式，推测的函数形式；⑴假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；⑷由式（d），求出应力；半逆解法⑸校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）.如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。思考题半逆解法1.在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？2.试比较逆解法和半逆解法的区别。梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。问题提出

h/2

h/2lyx(l>>h)oMM§3-2矩形梁的纯弯曲

⑴由逆解法得出，可取，且满足⑵求应力(a)求解步骤：本题是平面应力问题,且为单连体，若按求解，应满足相容方程及上的应力边界条件。⑶检验应力边界条件，原则是:边界条件b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。

a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。主要边界从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。主要边界次要边界x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。次要边界∴用两个积分的条件代替当时，即使在边界上面力不同于的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解(e)思考题如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提出§3-3位移分量的求出1.由物理方程求形变,求形变2.代入几何方程求位移,求位移⑴对式(a)两边乘,积分得⑵对式(b)两边乘，积分得求位移⑶再代入(c),并分开变量，上式对任意的x,y

都必须成立，故两边都必须为同一常量。求位移由此解出求位移得出位移为3.待定的刚体位移分量，须由边界约束条件来确定。归纳：从应力求位移的步骤：3.由边界约束条件确定刚体位移分量2.代入几何方程，积分求；由物理方程求出形变；纯弯曲问题的讨论：1.弯应力与材力相同。2.铅直线的转角故在任一截面x处，平面截面假设成立。3.纵向纤维的曲率(常曲率)，同材力。故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。

思考题1.弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学的解答在应力、形变等方面完全一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截面假设成立？2.试证明刚体位移实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以验证。（提示：微分体的转动分量）简支梁，受均布荷载及两端支撑反力。。问题yxoll

h/2

h/2§3-4简支梁受均布荷载书中采用假设,半逆解法按半逆解法求解。⑴假设应力分量。由材力⑵由应力分量推出应力函数的形式。由对x积分，对x再积分，(a)半逆解法⑶将代入相容方程，求解:相容方程对于任何均应满足,故的系数均应等于0。由此得三个常微分方程,半逆解法式(b)中已略去的一次式。将式(b)代入式(a)，即得。(b)半逆解法从而解出:对称性条件─由于结构和荷载对称于轴，∴应为的偶函数，为

x的奇函数，故。⑷由求应力。半逆解法在无体力下，应力公式如书中式(f),(g),(h)所示。⑸考察边界条件。由此解出系数A,B,C,D。

主要边界主要边界次要边界x=l上,次要边界由此解出H，K.另一次要边界(x=-l)的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件:最后应力解答为：应力关于应力的量级:当时,x~l

同阶，y~h

同阶.第一项同阶,（与材力解同）;第二项同阶,（弹力的修正项）.同阶,（与材力解同）.应力的量级同阶,（材力中不计）.当时,量级的值很小,可以不计。应力与材力解比较:最主要量级,和次要量级,在材力中均已反映,且与弹力相同。最小量级~,在材力中没有:当时,仅占主项的1/15(6%),应力比较弹力与材力的解法比较:应力比较弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分方程,几何方程和微分方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。

材力在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。几何条件中引用平截面假定沿为直线分布；例如：在材力中边界条件也没有严格考虑；材力解往往不满足相容条件。平衡条件中，略去作用，没有考虑微分体的平衡，只考虑的内力平衡；对于杆件，材力解法及解答具有足够的精度;对于非杆件，不能用材力解法求解，应采用弹力解法求解。思考题当问题中的y轴为对称轴时，试说明和应为x的偶函数，而应为x的奇函数。2.对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学中是如何考虑平衡条件的？3.试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不符合平面截面假设。4.材料力学的解答往往不满足相容条件，为什么？设有楔形体，左面垂直，顶角为α，下端无限长，受重力及齐顶液体压力,oyxnαα问题§3-5楔形体受重力及液体压力用半逆解法求解。应力,而应力的量纲只比高一次（L），应力(x,y一次式）,=即可假设应力为x,y

的一次式。（1）用量纲分析法假设应力:（2）由应力~关系式，应为x,y的三次式，（3）

满足相容方程（4）由求应力，（5）考察边界条件——本题只有两个大边界，均应严格满足应力边界条件:x=0铅直面，解出解出斜边界上，须按一般的应力边界条件来表示，有其中由式（b)解出a、b,最后得应力解答,应力水平截面上的应力分布如图所示。楔形体解答的应用:作为重力坝的参考解答,分缝重力坝接近于平面应力问题，在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。重力坝规范规定的解法——材料力学解法（重力法）。重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。思考题重力法是按应力求解的，试回忆应力分量必须满足哪些条件？在重力法中考虑了哪些条件？（参考本章教学参考资料）第三章例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5例题

例题1设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，如图，试用应力函数求解应力分量。图3-5ydyyxl

h/2

h/2o解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数，可按下列步骤求解。1.将代入相容方程，显然是满足的。2.将代入式(2-24)，求出应力分量，考察边界条件：主要边界上应精确满足：在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图中表示了负x面上的的正方向，由此得：由(a),(b)解出最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。代入应力公式，得例题2挡水墙的密度为，厚度为b,如图,水的密度为，试求应力分量。yox解：用半逆解法求解。假设应力分量的函数形式。因为在y=-b/2边界上，y=b/2边界上，，所以可假设在区内沿x

向也应是一次式变化，即2.按应力函数的形式，由推测的形式，3.由相容方程求应力函数。代入得要使上式在任意的x处都成立，必须代入，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。4.由应力函数求解应力分量。将代入式(2-24),注意体力，求得应力分量为5.考察边界条件：主要边界上,有由上式得到求解各系数，由由此得又有代入A,得在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：由式(g),(h)解出代入应力分量的表达式，得最后的应力解答：例题3已知试问它们能否作为平面问题的应力函数？解：作为应力函数，必须首先满足相容程，将代入，(a)其中A=0，才可能成为应力函数；必须满足3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。bbAyxhOFFb/2解：应用应力函数求解：(1)校核相容方程，满足.(2)求应力分量，在无体力时，得(3)考察主要边界条件，考察次要边界条件，在y=0上，上述应力已满足了和全部边界条件，因而是上述问题的解。代入，得应力的解答，(4)求应变分量，(5)求位移分量，将u,v代入几何方程的第三式，两边分离变量，并令都等于ω常数，即从上式分别积分，求出代入u,v,得再由刚体约束条件，代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，例题5图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数求解应力分量。yxoh/2h/2l解：应用上述应力函数求解：(1)将代入相容方程，由此，(2)代入应力公式，在无体力下，得(3)考察主要边界条件对于任意的x值，上式均满足，由此得(a)(b)(c)(d)由(c)+(d)得由(c)-(d)得由(e)-(a)得(e)(4)考察小边界上的边界条件(x=0),由得由式(b)和(f)解出另两个积分的边界条件，显然是满足的。于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的，例题6矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数求解其应力分量。Mqqhyxo

b/2

b/2解：应用上述应力函数求解：(1)代入相容方程，(2)求应力分量，在无体力下，考察边界条件，在主要边界在小边界x=0,再由(a),(b)式解出代入，得应力解答，例题7试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。解：应校核相容方程和边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是例题8试用应力函数求解图中所示的半平面体在