第09章 向量自回归模型和Granger检验

第九章向量自回归和误差修正模型

传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(vectorautoregression，VAR)和向量误差修正模型(vectorerrorcorrectionmodel，VEC)就是非结构化的多方程模型。1

向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。§9.1向量自回归理论

2

VAR(p)模型的数学表达式是

(9.1.5)其中：yt是k维内生变量向量，p是滞后阶数，样本个数为T。k

k维矩阵A1，…，Ap是要被估计的系数矩阵。

t是k维扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关，假设

是

t的协方差矩阵，是一个(k

k)的正定矩阵。9.1.1VAR模型的一般表示

3

如果行列式det[A(L)]的根都在单位圆外，则式(9.1.5)满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均(VMA(∞))形式

(9.1.6)其中

4对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对

矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得

矩阵的估计量为

(9.1.7)

其中：当VAR的参数估计出来之后，由于A(L)C(L)=Ik，所以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估计。5

由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量

t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。6例9.1我国货币政策效应实证分析的VAR模型为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度～2004年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为P(1990年=100)、居民消费价格指数变动率为PR(P/P-1-1)*100)、实际GDP的对数，ln(GDP/P)为ln(gdp)

、实际M1的对数，ln(M1/P)为ln(m1)

和实际利率rr(一年期贷款利率R-PR）。利用VAR(3)模型对

ln(gdp)

，

ln(m1)和rr，3个变量之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。7EViews软件中VAR模型的建立和估计

1．建立VAR模型

为了创建一个VAR对象，应选择Quick/EstimateVAR…或者选择Objects/Newobject/VAR或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：8可以在对话框内添入相应的信息：

(1)选择模型类型（VARType）：

(2)在EstimationSample编辑框中设置样本区间

(3)输入滞后信息在LagIntervalsforEndogenous编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对14表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。9

2．VAR估计的输出VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：10

表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号中)。例如，在D(logGDPTC_P)的方程中RR_TC(-1)的系数是0.000354。同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部：11

输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。

输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。12例9.1结果如下：

3个方程调整的拟合优度分别为：

可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。13

同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei

表示第i个方程的残差，i

=1，2，3。其结果如表9.1所示。

表9.1残差的同期相关矩阵

e1e2e3e11-0.23-0.504e2-0.2310.274e3-0.5040.274114

从表中可以看到实际利率rr、实际M1的

ln(m1)方程和实际GDP的

ln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率、实际货币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。159.1.2结构VAR模型(SVAR)

在式(9.1.1)或式(9.1.3)中，可以看出，VAR模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有当期的内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式(9.1.1)和式(9.1.3)称为VAR模型的简化形式。本节要介绍的结构VAR模型(StructuralVAR，SVAR)，实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。16

1．两变量的SVAR模型

为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的VAR模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的VAR模型结构式可以表示为下式(9.1.8)17

在模型(9.1.8)中假设：（1）变量过程xt和zt均是平稳随机过程；（2）随机误差uxt和uzt

是白噪声序列，不失一般性，假设方差

x2=

z2=1；（3）随机误差uxt和uzt之间不相关，cov(uxt,uzt)=0。

式(9.1.8)一般称为一阶结构向量自回归模型(SVAR(1))。

18

它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反馈作用，其中系数

b12表示变量zt的单位变化对变量xt的即时作用，

21表示xt-1的单位变化对zt的滞后影响。虽然uxt

和uzt

是单纯出现在xt和zt中的随机冲击，但如果b21

0，则作用在xt上的随机冲击uxt

通过对xt的影响，能够即时传到变量zt上，这是一种间接的即时影响；同样，如果b12

0，则作用在zt上的随机冲击uzt

也可以对xt产生间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系。19

2．多变量的SVAR模型

下面考虑k个变量的情形，p阶结构向量自回归模型SVAR(p)为(9.1.13)其中：,,

20

可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式(9.1.14)其中：B(L)=B0

1L

2L2…

pLp

，B(L)是滞后算子L的

k

k

的参数矩阵，B0

Ik。需要注意的是，本书讨论的SVAR模型，B0

矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。如果B0是一个下三角矩阵，则SVAR模型称为递归的SVAR模型。21

不失一般性，在式(9.1.14)假定结构式误差项(结构冲击)

ut的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样，如果矩阵多项式B(L)可逆，可以表示出SVAR的无穷阶的VMA(∞)形式其中：

(9.1.15)22

式(9.1.15)通常称为经济模型的最终表达式，因为其中所有内生变量都表示为外生变量的分布滞后形式。而且外生变量的结构冲击ut是不可直接观测得到，需要通过

yt各元素的响应才可观测到。可以通过估计式(9.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击ut。从式(9.1.6)和式(9.1.15)，可以得到(9.1.16)23

上式对于任意的t都是成立的，称为典型的SVAR模型。由于C0=Ik，可得式(9.1.17)两端平方取期望，可得

所以我们可以通过对D0施加约束来识别SVAR模型。

(9.1.17)(9.1.18)249.2结构VAR(SVAR)模型的识别条件

前面已经提到，在VAR简化式中变量间的当期关系没有直接给出，而是隐藏在误差项的相关关系的结构中。自Sims的研究开始，VAR模型在很多研究领域取得了成功，在一些研究课题中，VAR模型取代了传统的联立方程模型，被证实为实用且有效的统计方法。然而，VAR模型存在参数过多的问题，如式(9.1.1)中，一共有k(kp+d)个参数，只有所含经济变量较少的VAR模型才可以通过OLS和极大似然估计得到满意的估计结果。25

为了解决这一参数过多的问题，计量经济学家们提出了许多方法。这些方法的出发点都是通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数。SVAR模型就是这些方法中较为成功的一种。9.2.1VAR模型的识别条件

在经济模型的结构式和简化式之间进行转化时，经常遇到模型的识别性问题，即能否从简化式参数估计得到相应的结构式参数。26

对于k元p阶简化VAR模型利用极大似然方法，需要估计的参数个数为

(9.2.1)(9.2.2)而对于相应的k元p阶的SVAR模型来说，需要估计的参数个数为

(9.2.4)(9.2.3)27

要想得到结构式模型惟一的估计参数，要求识别的阶条件和秩条件，即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多(识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见第12章的“12.1.2联立方程模型的识别”)。因此，如果不对结构式参数加以限制，将出现模型不可识别的问题。对于k元p阶SVAR模型，需要对结构式施加的限制条件个数为式(9.2.4)和式(9.2.2)的差，即施加k(k-1)/2个限制条件才能估计出结构式模型的参数。这些约束条件可以是同期(短期)的，也可以是长期的。289.2.2SVAR模型的约束形式

为了详细说明SVAR模型的约束形成，从式(9.1.16)和式(9.1.17)出发，可以得到其中C(L)、D(L)分别是VAR模型和SVAR模型相应的VMA(∞)模型的滞后算子式，D0=B0-1，这就隐含着(9.2.5)(9.2.6)29

因此，只需要对D0进行约束，就可以识别整个结构系统。如果D0是已知的，可以通过估计式(9.1.17)和式(9.2.6)非常容易的得到滞后多项式的结构系数和结构新息ut。在有关SVAR模型的文献中，这些约束通常来自于经济理论，表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和短期关系。30

1.短期约束

短期约束通常直接施加在矩阵D0上，表示经济变量对结构冲击的同期响应，常见的可识别约束是简单的0约束排除方法。

（1）通过Cholesky-分解建立递归形式的短期约束

Sims提出使D0矩阵的上三角为0的约束方法，这是一个简单的对协方差矩阵

的Cholesky-分解。31例9.2基于SVAR模型的货币政策效应的实证分析

例9.1使用了VAR模型验证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响，但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系，而这种同期相关关系隐藏在扰动项变动中，因此可以通过本节介绍的SVAR模型来识别，这就涉及对模型施加约束的问题。首先建立3变量的AB型SVAR(3)模型，其A、B矩阵的形式如下：(9.2.13)32其中变量和参数矩阵为33

其中

t是VAR模型的扰动项，u1t、u2t和

u3t分别表示作用在实际利率rr、

ln(m1)和

ln(gdp)上的结构式冲击，即结构式扰动项，ut~VWN(0k，Ik)。一般而言，简化式扰动项

t是结构式扰动项

ut的线性组合，因此代表一种复合冲击。34

模型中有3个内生变量，因此至少需要施加2k2

k(k+1)/2=12个约束才能使得SVAR模型满足可识别条件。本例中约束B矩阵是单位矩阵，A矩阵对角线元素为1，相当于施加了k2+k个约束条件。根据经济理论，本例再施加如下两个约束条件：(1)实际利率对当期货币供给量的变化没有反应，即a12=0；(2)实际利率对当期GDP的变化没有反应，即a13=0。

则A变为：

35

2.长期约束

关于长期约束的概念最早是由Blanchard和Quah在1989年提出的，是为了识别模型供给冲击对产出的长期影响。施加在结构VMA(∞)模型的系数矩阵Di(i=1，2，…)上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的形式是对

i

=0

Di

的第i行第j列元素施加约束，典型的是0约束形式，表示第i个变量对第j个变量的累积乘数影响为0。

关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考9.4节的脉冲响应函数。36

在EViews中如何估计SVAR模型

在VAR估计窗口中选择：Procs/EstimateStructuralFactorization

即可。下面对这一操作进行详细说明：假设在EViews中SVAR模型为：

(9.8.3)其中et，ut是k维向量，et是简化式的残差，相当于前文的

t，而ut是结构新息(结构式残差)。A、B是待估计的k

k矩阵。简化式残差et的协方差矩阵为

37

1.用矩阵模式表示的短期约束

在许多问题中，对于A、B矩阵的可识别约束是简单的排除0约束。在这种情况下，可以通过创建矩阵指定A、B的约束，矩阵中想估计的未知元素定义为缺省值NA，在矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值。

例如：对于例9.2，(9.2.14)的简化式扰动项和结构式扰动项的关系为

t=A-1ut

，即A

t=ut

，对于k

=

3个变量的SVAR模型，其矩阵模式可定义为：38一旦创建了矩阵，从VAR对象窗口的菜单中选择Procs/EstimateStructuralFactorization，在下图所示的SVAROptions的对话框中，击中Matrix按钮和Short-RunPattern按钮，并在相应的编辑框中填入模版矩阵的名字。39

2.用文本形式表示的短期约束

对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：Aet=

But

并用特殊的记号识别et和ut向量中的每一个元素。A、B矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。

例如：像上例所假定的一样，对于有3个变量的VAR模型，约束A矩阵为B0矩阵，B矩阵是一对角矩阵。在这些约束条件下，Aet=ut

的关系式可以写为下面的形式。40为了以文本形式指定这些约束，从VAR对象窗口选择Procs/EstimateStructureFactorization…，并单击Text按钮，在编辑框中，应键入下面的方程：@e1t

=@

u1t

@

e2t

=c(1)

@

e1t+

@u2t+c(2)

@

e3t

@e3t

=c(3)

@

e1t+c(4)

@

e2t+

@u3t

4142

特殊的关键符“@e1”，“@e2”，“@e3”分别代表et向量中的第一、第二、第三个元素，而“@u1”，“@u2”，“@u3”分别代表ut向量中的第一、第二、第三个元素。在这个例子中，A、B矩阵中的未知元素以系数向量C中的元素来代替。并且对A、B矩阵的约束不必是下三角形式，可以依据具体的经济理论来建立约束。43

4.A、B矩阵的估计

一旦提供了上述所描述的任何一种形式的可识别约束，单击SVAROptions对话框的OK按钮，就可以估计A、B矩阵。为了使用脉冲响应和方差分解的结构选项，必须先估计这两个矩阵。假定扰动项是多元正态的，EViews使用极大似然估计法估计A、B矩阵。使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值。对数似然值通过得分方法最大化，在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算。4445

在模型(9.2.13)满足可识别条件的情况下，我们可以使用完全信息极大似然方法（FIML）估计得到SVAR模型的所有未知参数，从而可得矩阵A

及

t和

ut的线性组合的估计结果如下：

46或者可以表示为

在本章后面的部分可以通过SVAR模型利用脉冲响应函数讨论实际利率和货币供给量的变动对产出的影响。47

无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型（VEC）也适用。

9.3.1Granger因果检验

VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969)提出，Sims(1972)推广的如何检验变量之间因果关系的方法。9.3VAR模型的检验

48

1.Granger因果关系的定义

Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x解释，加入x的滞后值是否使解释程度提高。如果x在y的预测中有帮助，或者x与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由xGranger引起的”。

考虑对yt进行s期预测的均方误差（MSE）：

(9.3.1)49

这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。Granger因果定义：如果关于所有的s>0，基于(yt，yt-1，…)预测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，…)和(xt，xt-1，…)两者得到的yt+s的均方误差相同，则y不是由xGranger引起的。对于线性函数，若有可以得出结论：x

不能Granger引起y。等价的，如果(9.3.2)式成立，则称x对于y是外生的。这个意思相同的第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息。

(9.3.2)50

可以将上述结果推广到k个变量的VAR(p)模型中去，考虑对模型(9.1.5)，利用从(t

1)至(t

p)期的所有信息，得到yt的最优预测如下：

(9.3.3)VAR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在多变量VAR(p)模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系的必要条件是(9.3.4)其中是的第i行第j列的元素。51

2.Granger因果关系检验

Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。52这时，判断Granger原因的直接方法是利用F-检验来检验下述联合检验：

H0:

H1:至少存在一个q使得

其统计量为

(9.3.6)如果S1大于F的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能Granger引起

y。

53在EViews中Granger因果检验的操作

选择View/LagStructure/GrangerCausalityTests，即可进行Granger因果检验。

54

输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的

2(Wald)统计量，在表的最后一行(ALL)列出了检验所有滞后内生变量联合显著的

2统计量。对例9.1进行检验，其结果如下：55

同时在组(Group)的View菜单里也可以实现Granger因果检验，但是需要先确定滞后阶数，具体统计量的构造可依据9.3节的介绍，将例9.1的3个时间序列构造成组，在组中进行检验可得如下结果：56

例9.3Granger因果检验早期研究发现，在产出和货币的单方程中，货币对于产出具有显著Granger影响(Granger，1969)，这同Friedman等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关”的结论相符。但是，Sims(1980)对于“货币冲击能够产生实际效果”的观点提出了质疑，他通过使用结构变量之间的因果关系检验，得到的主要结论是：如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量，那么货币供给对实际产出的作用程度将出现显著降低。因此，动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力，这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近。57

根据实际情况，利用例9.1的数据，基于VAR(3)模型检验实际利率RR、实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系，其结果如表9.2所示。58

从表9.2的结果可以看到实际利率不能Granger引起实际M1、实际GDP，其P值分别达到0.4027和0.5612，可以作为外生变量，这与我国实行固定利率制度是相吻合的，即利率不是通过市场来调节的。同时在第三个方程(即GDP方程)中，实际M1外生于实际GDP的概率为0.9037，这可能是因为我国内需不足，大部分商品处于供大于求，因此当对货币的需求扩张时，会由于价格调整而抵消，并不会形成对货币供给的数量调整，因此对产出的影响比较微弱。另外，在样本区间内，货币政策发生了方向性的改变，导致其影响作用出现了抵消和中和，因此M1对GDP没有显著的影响。59

VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。在选择滞后阶数p时，一方面想使滞后阶数足够大，以便能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞后阶数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就减少。所以通常进行选择时，需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目。

9.3.2滞后阶数p的确定

60

在EViews软件中滞后阶数p的确定

一旦完成VAR模型的估计，在窗口中选择View/LagStructure/LagLengthCriteria，需要指定较大的滞后阶数，表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准（如果在VAR模型中没有外生变量，滞后从1开始，否则从0开始）。表中用“*”表示从每一列标准中选的滞后数。在4～7列中，是在标准值最小的情况下所选的滞后数。

为了确定例9.1中模型的合适滞后长度p，首先选择尽可能大的滞后阶数8，得到如下的结果：

6162

在EViews软件关于VAR模型的其他检验

一旦完成VAR模型的估计，EViews会提供关于被估计的VAR模型的各种视图。将主要介绍View/LagStructure和View/ResidualTests菜单下提供的检验。63

1.AR根的图表

如果被估计的VAR模型所有根的模的倒数小于1，即位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的（如脉冲响应函数的标准误差）。共有kp个根，其中k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。如果估计一个有r个协整关系的VEC模型，则应有k

r个根等于1。

对于例9.1，可以得到如下的结果：64

所有的单位根的模大于1，因此例9.1的模型满足稳定性条件。

65下面给出单位根的图形表示的结果：66

2．VAR残差检验

(1)相关图(Correlogram)显示VAR模型在指定的滞后阶数的条件下得到的残差的交叉相关图（样本自相关）。(2)混合的自相关检验(PortmanteauAutocorrelationTest)

计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Box-Pierce/Ljung-BoxQ统计量。(3)自相关LM检验(AutocorrelationLMTest)计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。(4)正态性检验(NormalityTest)(5)White异方差检验(WhiteHeteroskedasticityTest)

67

在实际应用中，由于VAR模型是一种非理论性的模型，因此在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数方法(impulseresponsefunction，IRF)。9.4脉冲响应函数

68由式(9.1.5)可得

9.4.1VAR模型的脉冲响应函数

(9.4.3)

VAR(p)可以表示为VMA(∞)模型，因此VMA(∞)的系数矩阵C可以由VAR(p)的系数矩阵A计算得到。69考虑VMA(∞)的表达式yt的第i个变量yit可以写成：其中k是变量个数。(9.4.7)(9.4.8)70一般地，由yj的脉冲引起的yi的响应函数可以求出如下：

且由yj的脉冲引起的yi的累积(accumulate)响应函数可表示为71

本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入数据做为各行业的需求变量，利用脉冲响应函数分析各下游行业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响。分别用y1

表示钢材销售收入；y2

表示建材销售收入

y3

表示汽车销售收入；

y4

表示机械销售收入；y5表示家电销售收入。样本区间为1999年1月～2002年12月，所采用数据均作了季节调整，指标名后加上后缀sa，并进行了协整检验，存在协整关系，这表明，所选的各下游行业的销售收入与钢铁工业的销售收入之间具有长期的均衡关系。例9.4钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应72

脉冲响应函数在EViews软件中的实现为了得到脉冲响应函数，先建立一个VAR模型，然后在VAR工具栏中选择View/ImpulseResponse…或者在工具栏选择Impulse，并得到下面的对话框，有两个菜单：Display和ImpulseDefinition。73

1.Display菜单提供下列选项：

(1)显示形式（DisplayFormat）

选择以图或表来显示结果。如果选择CombinedGraphs则ResponseStandardError选项是灰色，不显示标准误差。而且应注意：输出表的格式是按响应变量的顺序显示，而不是按脉冲变量的顺序。

(2)显示信息（DisplayInformation）

输入产生冲击的变量（Impulses）和希望观察其脉冲响应的变量（Responses）。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数。74

2.ImpulseDefinition菜单提供了转换脉冲的选项：

(1)Residual-OneUnit

(2)Residual-OneStd.Dev(3)Cholesky分解

用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲。

(4)广义脉冲（GneralizedImpluses）

(5)结构分解（StructuralDecomposition）

用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。(6)用户指定（UserSpecified）

75例9.4建立5变量的VAR(3)模型，下面分别给各下游行业销售收入一个冲击（选择广义脉冲），得到关于钢材销售收入的脉冲响应函数图。在下列各图中，横轴表示冲击作用的滞后期间数(单位：月度)，纵轴表示钢材销售收入(亿元)，实线表示脉冲响应函数，代表了钢材销售收入对相应的行业销售收入的冲击的反应，虚线表示正负两倍标准差偏离带。

76y1：钢材；y2：建材；y3：汽车；y4：机械；y5：家电77

为了解决VAR模型脉冲响应函数非正交化的问题，由Cholesky分解可将正定的协方差矩阵

分解为其中G是下三角形矩阵，Q惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵。利用这一矩阵G可以构造一个k维向量ut，构造方法为

ut=G

1

t，则

t=Gut，因此VMA(∞)可以表示为9.4.3SVAR模型的脉冲响应函数

(9.4.12)78则由式(9.4.10)和式(9.4.11)可导出一个正交的脉冲响应函数

(9.4.13)上式表示Dq的第i行、第j列元素(q=0，1，…)，它描述了在时期t，其他变量和早期变量不变的情况下yi,t+q对yjt的一个结构冲击的反应。79

同样由yj的脉冲引起的yi的累积(accumulate)响应函数可表示为

不失一般性，对于一个n元的SVAR(p)模型，由式(9.1.15)可得SVAR模型的脉冲响应函数为(9.4.14)对于AB-型的SVAR模型，由式(9.1.15)和式(9.2.18)可求得(9.4.15)80它的脉冲响应函数为(9.4.16)则其累积脉冲响应函数矩阵（

）可表示为

(9.4.17)则

的第i行第j列元素表示第i个变量对第j个变量的结构冲击的累积响应。81

9.2节所介绍的短期约束和长期约束体现在脉冲响应函数上，表现为：短期约束意味着脉冲响应函数随着时间的变化将会消失，而长期约束则意味着对响应变量未来的值有一个长期的影响。因此，根据式(9.4.17)可知长期可识别约束依矩阵

的形式指定，典型的是0约束形式，

ij=0

的约束表示第i个变量对第j个变量的结构冲击的长期（累积）响应为0。从脉冲响应函数的角度出发，前面所介绍的SAVR模型的长期约束的经济含义就非常明显了。82

长期约束

体现在关系式Aet=

But中的可识别约束，通常指短期约束。Blanchard和Quah(1989)提出了另外一种可识别的方法，是基于脉冲响应长期性质的约束。由式(9.4.17)，可推出结构新息的长期响应

：长期可识别约束依矩阵

的形式指定，典型的是0约束形式。

ij=0的约束表示第i个变量对第j个结构冲击的长期响应为0。

83

①用矩阵形式表示的长期约束

通过矩阵模式设定长期约束，需建立一个已命名的包括长期响应矩阵

的模板，在

矩阵中非约束的元素应定义为缺省值NA。

例如:

对于一个两变量的VAR模型，若约束第二个内生变量对第一个结构冲击的长期响应为0，即

21=0，则长期响应矩阵可定义为下面的形式：

84

一旦建立了模板矩阵，在VAR对象窗口的菜单中选择Procs/EstimateStructuralFactorization…，在SVAROption对话框中，选择Matrix和Long-runPattern按钮，并在相应的的编辑框中键入模版矩阵的名字。

②用文本形式表示的长期约束

为了以文本形式指定相同的长期约束，在VAR对象窗口的菜单中选择Procs/EstimateStructuralFactorization…，并击活Text按钮，在编辑框中键入下面的形式：85

@lr2(@u1)=0ˊzeroLRresponseof2ndvariableto1stshock在撇号后面的内容是注释。这个约束以特殊的关键字“@1r

#”开始，数字代表受约束的响应变量；在圆括号内，必须指定脉冲关键字@u和扰动项序号，在其后紧跟等号和响应值（通常是0）。需注意：当需列出多个长期约束时，不要混淆短期与长期约束。86对于一个两变量(实际M1和实际GDP均取对数差分)的VAR(3)模型，,若约束第二个内生变量对第一个结构冲击的长期响应为0，即

21=0，则长期响应矩阵可定义为下面的形式：

87

一旦估计收敛，EViews会在VAR对象窗口中显示估计的结果，包括：估计值、标准误差和被估计无约束参数的Z统计量及对数似然的最大值。88M1增长率的结构冲击引起的GDP增长率的响应函数

基于长期性质约束的脉冲响应函数:89例9.5产出对货币供应量和利率变化的响应函数

因为在SVAR模型中可以得到正交化的脉冲响应函数，即可以单独考虑各个变量的冲击对其他变量的影响。以例9.2的SVAR(3)模型为例，分析货币政策的变化对产出的影响。将实际GDP和实际M1均取对数差分，所以系数代表了增长率。在图9.6和图9.7中，横轴表示冲击作用的滞后期间数(单位：季度)，纵轴表示GDP增长率的变化，实线表示脉冲响应函数，虚线表示正负两倍标准差偏离带。图9.6实际利率的结构冲击引起GDP的响应函数图9.7M1的结构冲击引起的GDP的响应函数

90

脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变量的冲击给其他内生变量所带来的影响。而方差分解(variancedecomposition)是通过分析每一个结构冲击对内生变量变化(通常用方差来度量)的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性。因此，方差分解给出对VAR模型中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要性的信息。其基本思想如下所述。9.5方差分解

91

脉冲响应函数是随着时间的推移，观察模型中的各变量对于冲击是如何反应的，然而对于只是要简单地说明变量间的影响关系又稍稍过细了一些。因此，Sims于1980年依据VMA(∞)表示，提出了方差分解方法，定量地但是相当粗糙地把握变量间的影响关系。其思路如下：根据式(9.4.8)可知各个括号中的内容是第j个扰动项

j从无限过去到现在时点对yi影响的总和。求其方差，假定

j无序列相关，则

(9.5.1)92这是把第j个扰动项对第i个变量从无限过去到现在时点的影响，用方差加以评价的结果。此处还假定扰动项向量的协方差矩阵

是对角矩阵，则yi的方差是上述方差的k项简单和：(9.5.2)(9.5.3)93

yi的方差可以分解成k种不相关的影响，因此为了测定各个扰动项相对yi的方差有多大程度的贡献，定义了如下尺度：(9.5.4)即相对方差贡献率(relativevariancecontribution，RVC)是根据第j个变量基于冲击的方差对yi的方差的相对贡献度来观测第j个变量对第i个变量的影响。94

实际上，不可能用直到s

=

∞的项和来评价。如果模型满足平稳性条件，则随着q的增大呈几何级数性的衰减，所以只需取有限的s项。VAR(p)模型的前s期的预测误差是可得近似的相对方差贡献率(RVC)：

(9.5.5)95

方差分解在EViews软件中的实现为了得到VAR的方差分解，从VAR的工具栏中选View/Variancedecomposition项。注意，因为非正交的因子分解所产生的分解不具有较好的性质，所以所选的因子分解仅限于正交的因子分解。96

例9.4分析了钢铁销售收入对下游相关行业冲击变化的响应。本例中将利用方差分析的基本思想分析各下游行业对钢铁行业变动的贡献程度。数据的处理和例9.4一样，可得到如下的结果，各图中横轴表示滞后期间数（单位：月度），纵轴表示该行业需求对钢材需求的贡献率（单位：百分数）。数值越大，对钢材需求的影响越大。例9.6下游相关行业对钢铁行业变化的贡献程度97y1：钢材；y2：建材；y3：汽车；y4：机械；y5：家电98

从上面4个图中可以看出，不考虑钢铁行业自身的贡献率，建材行业对钢铁行业的贡献率最大达到48.9%(RVC2

1

(36)=48.9%)，其次是汽车行业，其对钢铁行业的贡献率是逐渐增加的，在第34期达到20%左右(RVC3

1

(34)=20.03%)，机械行业和家电行业的贡献率较小，分别为8%和6%左右。99

第5章5.4节介绍的协整检验和误差修正模型主要是针对单方程而言，本节将推广到VAR模型。而且前面所介绍的协整检验是基于回归的残差序列进行检验，本节介绍的Johansen协整检验基于回归系数的协整检验，有时也称为JJ(Johansen-Juselius)检验。虽然ADF检验比较容易实现，但其检验方式存在一定欠缺性——在第一阶段需要设计线性模型进行OLS估计，应用不方便。Johansen在1988年及在1990年与Juselius一起提出的一种以VAR模型为基础的检验回归系数的方法，是一种进行多变量协整检验的较好的方法。

9.6Johansen协整检验

100其中

(9.6.2)其中y1t，y2t，…，ykt都是非平稳的I(1)变量；Xt是一个确定的d维的外生向量，代表趋势项、常数项等确定性项；

t是k维扰动向量。将式(9.6.1)经过差分变换以后，可得下面的式子，(9.6.3)首先建立一个VAR(p)模型(9.6.1)101

由于I(1)过程经过差分变换将变成I(0)过程，即式(9.6.2)中的Δyt，Δyt–j(j=1，2，…，p)都是