人教版八年级数学下册 （正方形）平行四边形教育课件

正方形

学习目标学习目标1、理解正方形的概念。2、探索正方形的性质。3、利用正方形的性质解决实际问题。重点探索正方形的性质。难点能利用正方形的性质解决实际问题。正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：矩形菱形正方形平行四边形丰富多彩的正方形二、探索发现

？是真的吗（一）有人说，给你两个大小不等的正方形，可以通过切割的方法把它们拼接成一个大正方形．这是真的吗？正方形的性质四条边相等四个角都是直角相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角ABCDO边----角----对角线----菱形的性质矩形的性质对称性------是轴对称图形也是中心对称图形丰富多彩的正方形二、探索发现

？是真的吗（二）

有人说，如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．这是真的吗？已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

ABCDO正方形的判定正方形的判定：1）有一个角是直角的菱形是正方形；2）对角线相等的菱形是正方形；3）一组邻边相等的矩形是正方形；4）对角线互相垂直的矩形是正方形；5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。丰富多彩的正方形变式探究

（2）把正方形A1B1C1O的顶点放在正方形ABCD对角线交点O处，在转动过程中，若边OA1、OC1能与直线AB、BC交于点E、F，线段BE、BF、OB是否存在一定的数量关系？请写出数量关系式，并证明．练习题1、周长为20cm的正方形,边长是

对角线长是

面积是

。2、正方形两条对角线的和为8cm，它的面积为____________.3、正方形具有而矩形不一定有的性质是()A.四个角是直角B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线相等4.矩形,菱形,正方形都具有的性质是()A.邻边相等B.邻角相等C.对边相等D.对角互补B5√22585C课堂测试（理解正方形的性质）正方形具有而菱形不一定具有的性质是()A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分C．四条边相等 D．对角线平分一组对角【详解】解：正方形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故A符合题意；

正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，故B不符合题意；

正方形和菱形的四条边都相等，故C不符合题意；

正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故D不符合题意，

故选：A．丰富多彩的正方形反馈训练

2、将n个边长都为1cm的正方形如图摆放，点A1、A2、A3、……、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为_________．课堂测试（利用正方形的性质进行计算）如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(

)A．52 B．68C．76 D．86【解析】∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴根据勾股定理得AB=10∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=76.故选C.丰富多彩的正方形课外探索

？是真的吗（三）有人说，周长一定的四边形中，正方形的面积最大，这是真的吗？随堂练习操作2提示：有一组邻边相等的矩形是正方形ABDCE〃〃∟F正方形裁一组邻边相等的矩形是正方形课堂测试（利用正方形的性质进行计算）

课堂测试（正方形的判定）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。平行四边形有一个直角矩形一组邻边相等菱形一组邻边相等正方形有一个直角有一组邻边相等的矩形是正方形有一个角为直角的菱形是正方形特殊的矩形特殊的菱形特殊的平行四边形一组邻边相等有一个直角正方形的判定同学们，再见正方形的判定

1．理解并掌握正方形的判定和推导过程．2．能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？？思考：满足什么条件的矩形是正方形？有一组邻边相等的矩形是正方形；矩形正方形对角线互相垂直的矩形是正方形．思考：满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．有一个角是直角的菱形是正方形；菱形正方形对角线相等的菱形是正方形．如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形．ADCB证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．AB＝CD，AD＝BC，又AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴矩形ABCD是正方形．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直．求证：矩形ABCD是正方形．ADCBO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，又AC⊥BD．∴∠AOD＝∠AOB＝90°，在△AOB和△AOD中，OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD．∴矩形ABCD是正方形．如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．ADCB证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D．又∠A＝90°，∴∠C＝90°．∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．∴菱形ABCD是正方形．如图，在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：菱形ABCD是正方形．ADCB证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，在△ABD和△BAC中，AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB＝∠CBA．∵∠DAB＋∠CBA＝180°，∴∠DAB＝∠CBA＝90°．∴菱形ABCD是正方形．定理对角线相等的菱形是正方形．定理对角线互相垂直的矩形是正方形．定理有一组邻边相等的矩形是正方形．定理有一个角是直角的菱形是正方形．例1直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC．求证：四边形CEDF是正方形．ABCDEF∴DF＝DE，∵CD平分∠ACB，∴四边形CEDF为矩形．又∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°．证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是正方形．例2如图，已知在□

ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．证明：（2）∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形．例2如图，已知在□

ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．1．如图，在直角三角形中，∠C＝90〫，∠CAB，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB．

求证：四边形CEDF为正方形．ABCEFDG证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G．∴∠DEC＝∠DFC＝90〫．∵∠C＝90〫，∴四边形CEDF为矩形．∵DE⊥AC，DF⊥CB，∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB,∴DE＝DG．∴四边形CEDF为正方形．同理可得：DG＝DF，∴ED＝DF，ABCEFDG2．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB．（2）若∠ADC＝90〫，求证：四边形PMDN是正方形．CABDMNP证明：（1）∵AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB＝∠CDB．∵在△ABD和△CBD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，B