冀教版八年级数学下册 （多边形的内角和与外角和）教学课件

第二十二章四边形多边形的内角和与外角和

1课堂讲解多边形多边形的内角和多边形的外角和多边形内角和与外角和的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升小明有一个设想：2018年世界杯在俄罗斯举行，要是能设计一个内角和是2018°的多边形花坛该多有意义啊！小明的这个想法能实现吗？1知识点多边形如图，观察这些图形，它们都是平而上由线段首尾顺次相接所组成的.知1－导平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形，叫做多边形.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.多边形有几条边就叫做几边形.三边形就是我们通常所说的三角形.下图所示的五边形，我们把它记作五边形ABCDE.用类似的方法可以记其他多边形.多边形的边、顶点、内角、外角的意义和三角形相同.知1－导知1－讲例1下列说法中，正确的有(

)(1)三角形是边数最少的多边形；(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角；(4)多边形分为凹多边形和凸多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个B（来自《点拨》）知1－讲(2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在同一条直线上”的线段；其二，是“平面图形”；其三，“线段首尾顺次相接”；(3)n边形有n个内角和2n个外角，即外角的个数是内角个数的2倍．(1)(4)说法正确.导引：（来自《点拨》）总

结(1)理解多边形的定义，要从多边形的几个条件入手.(2)一个n边形，它的顶点数、内角的个数都是n个，

只有外角有2n个．知1－讲（来自《点拨》）知1－练（来自《典中点》）下列图形中，不是多边形的是(

)从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m、n的值分别为(

)

A．4、3B．3、3C．3、4D．4、41C2C知1－练（来自《典中点》）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点和与它不相邻的各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是(

)A．6B．7C．8D．93C2知识点多边形的内角和知2－导（来自《点拨》）在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在起(四个角的顶点里合).你发现了什么？其他同学与你的发现相同吗？你能把你的发现概括成一个命题吗？你能证明这个命题吗？知2－导四边形有以下的定理：四边形的内角和等于360°.已知：四边形ABCD.求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.证明

如图，连接BD.∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠C+∠CBD+∠CDB=180°.∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=180°+180°=360°，即∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°.边数图形从某顶点出发的对角线条数划分成的三角形个数多边形的内角和3011×180°4122×180°56……………n知2－导归纳对于n边形，从某一个顶点出发的(n-3)条对角线把n边形划分成(n-2)个三角形，所以n边形的内角和就等于这(n-2)个三角形的所有内角之和.于是就有下面的定理：

n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3).知2－导例2一个六边形如图1.已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF.求∠A+∠C+∠E的值.因为两条平行线被一条直线所截.有许多等角关系，所以我们不妨连结AD试试看，如图2.不难发现，∠1=∠3，∠2=∠4.由此可得本题解法.分析：图1图2知2－讲如图2，连结AD.∵AB∥DE，CD∥AF(已知)，∴∠1=∠3，∠2=∠4.∴∠1+∠2=∠3+∠4.即∠FAB=∠CDE.同理，∠B=∠E，∠C=∠F.∵∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=(6-2)×180°=720°.∴∠FAB+∠C+∠E=×720°=360°.解：图2知2－讲总结知2－讲把多边形的内角和的问题转化为四边形内角和、三角形内角和问题是常用的解题思路.在540°，720°，960°中，哪个角度不可能是多边形的内角和？在四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，那么∠B的度数是多少？知2－练（来自教材）解：

960°不可能是多边形的内角和．解：

∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D)

＝360°－280°＝80°.一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n°.求n的值.过某个多边形一个顶点的对角线有10条.求这个多边形的内角和.知2－练（来自教材）解：由题意可知90°×3＋2n°＝(5－2)×180°.

解得n＝135.解：设这个多边形的边数为n，则n－3＝10，

∴n＝13.∴内角和为(13－2)×180°＝1980°.知2－练（来自教材）5四边形的四个内角可以都是锐角吗，可以都是钝角吗？为什么？解：不可以．四边形的内角和是360°，如果四边形的四个内角都是锐角，那么它的内角和小于360°；如果都是钝角，那么它的内角和大于360°.知2－讲例3[中考·重庆]若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(

)A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝900°，解得：n＝7.导引：（来自《点拨》）C总结知2－讲

已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内角和公式：(n－2)×180°＝内角和列方程，解方程求出n的值，即得多边形的边数．（来自《点拨》）1一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是多少？知2－练（来自教材）解：设这个多边形的边数为n.

则(n－2)×180°＝1080°.解得n＝8.∴这个多边形的边数为8.解：

∠D＝×360°＝144°.在四边形ABCD中，已知∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4.求∠D的度数.知2－练【中考·北京】内角和为540°的多边形是(

)（来自《典中点》）3C知2－练（来自《典中点》）【中考·宜昌】如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是(

)A．①②B．①③C．②④D．③④4B知2－练（来自《典中点》）【中考·益阳】将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是(

)A．360°B．540°C．720°D．900°5D知2－练（来自《典中点》）将一个n边形变成(n＋1)边形，内角和将(

)A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是(

)A．27B．35C．44D．546C7C知2－练（来自《典中点》）一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是(

)A．10

B．11

C．12

D．以上都有可能8D3知识点多边形的外角和知3－导由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以n边形的外角和(每一个顶点只取一个外角)为n×180°-(n-2)×180°=360°.任何多边形的外角和为360°.知3－讲定理：多边形的外角和等于360°.要点精析(1)多边形的外角和与多边形的边数无关，它始终

为360°；(2)若n边形的每个内角相等，则每一个外角的度数

为(n≥3)．知3－讲例4已知一个多边形的每个外角都等于40°，则这个多边形是(

)A．五边形B．九边形C．七边形D．八边形根据多边形外角和等于360°，直接可求出多边形的边数.导引：（来自《点拨》）B总结知3－讲

用多边形外角和定理求多边形内(外)角的度数或求多边形的边数的方法：一般可利用方程思想通过列方程解决，本例根据边数×多边形每个外角的度数＝360°，即可求出．（来自《点拨》）1如图所示的模板，规定：AB，CD的延长线应相交成80°的角.因交点不在板上，不便测量，工人师傅测得∠BAE=122°，∠OCF=155°.此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定?为什么?知3－练（来自教材）不符合规定．理由：因为五边形AEFCG的内角和为(5－2)×180°＝540°.所以∠AGC＝540°－(∠E＋∠F＋∠BAE＋∠DCF)＝540°－457°＝83°≠80°.所以不符合规定．解：知3－练五边形的外角和等于(

)A．180°B．360°C．540°D．720°【中考·十堰】如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是(

)A．140米B．150米C．160米D．240米2B3B（来自《典中点》）知3－练【中考·宜昌】设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是(

)A．a＞bB．a＝b

C．a＜bD．b＝a＋180°（来自《典中点》）4B4知识点多边形内角和与外角和的关系知4－讲（来自《点拨》）例5[中考·资阳]一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．设这个多边形的边数为n，∵多边形的外角和为360°，∴(n－2)×180°＝3×360°.解得：n＝8.导引：8总结知4－讲因为多边形的外角和是定值，所以有些多边形的问题经常转化为外角的问题来解决.多边形的内角和、外角和在应用时注意区分，不要混了.内角和等于外角和的2倍的多边形是几边形？一个n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7.

求n的值.知4－练（来自教材）解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)·180°＝2×360°.解得n＝6.所以这个多边形是六边形．解：由题意可知，

所以n＝9.3如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC.BE与DF有怎样的位置关系？为什么？知4－练（来自教材）知4－练（来自教材）解：BE∥DF.理由：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC＋∠ABC＝360°－(∠A＋∠C)＝180°.∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，∴∠ABE＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC.∴∠ABE＋∠ADF＝∠ABC＋∠ADC

＝×180°＝90°.又易知∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠ADF.∴BE∥DF.知4－练（来自《典中点》）【中考·南通】已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为(

)A．3B．4C．5D．6【中考·临沂】一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(

)A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形4B5C知4－练（来自《典中点》）【中考·莱芜】一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(

)A．12B．13C．14D．156C定义：平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3).n边形一个顶点出发可引(n-3)条对角线.则n个顶点的n边形共有条对角线.多边形的外角和等于360°.1知识小结已知多边形的一个外角与除该外角对应的内角外的其余各内角的和为600°，求该外角的度数．2易错小结解：设多边形的边数为n，这个外角的度数为x°，则与这个外角相邻的内角为(180－x)°.由题意，得(n－2)×180＋x－(180－x)＝600，解得x＝570－90n.∵0<x<180，∴0<570－90n<180，即4<n<6.又∵n为整数，∴n＝5或n＝6.∴当边数为5时，该外角为120°；

当边数为6时，该外角为30°.易错点：忽视角的度数的取值范围

请完成《典中点》Ⅱ、Ⅲ板块对应习题！第二十章函数函数的表示

1课堂讲解函数的表示法三种函数表示法间的关系画函数的图像2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升函数有不同的表达方式，可用来表达不同的问题情境，帮助我们分析和解决问题.1知识点函数的表示法函数的表示方法有三种：(1)解析式法；(2)列表法；(3)图像法．

知1－讲用来表达函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．(1)用关于自变量的数学式子表示函数与自变量的方

法叫做解析式法．(2)用表格表示函数关系的方法，叫做列表法．(3)用图像表示函数关系的方法．叫做图像法．知1－讲弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表：下列说法错误的是(

)A．在没挂物体时，弹簧的长度为10cmB．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是函数，弹簧的长度是自变量例1（来自《点拨》）知1－讲物体的质量/kg012345弹簧的长度/cm1012.51517.52022.5B（来自《点拨》）知1－讲根据表格中给出的有限对应值以及每组对应值所表示的实际意义逐次判断.导引：C．若物体的质量为mkg(0≤m≤5)，弹簧的长度为ycm，则y＝2.5m＋10D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为4kg时，弹簧的长度为20cm总

结知1－讲（来自《点拨》）

已知表格中的自变量与函数的对应值，观察对应数组之间的联系可确定函数的变化规律，再结合数值可确定函数表达式．知1－练（来自教材）1一辆机动车行驶在路途中.出发时，油箱内存油40L.行驶若干小时后司机停车吃饭，饭后继续行驶一段时间后到某加油站准备加油.图中表示的是该过程中油箱里剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数关系.(1)行驶几小时后司机开始吃

饭？吃饭用了多长时间？(2)饭后行驶几小时到加油

站？到加油站时油箱内

还有多少油？知1－练（来自教材）(1)行驶2h后司机开始吃饭，吃饭用了1h.(2)饭后行驶4h到加油站，到加油站时油箱内还有10L油．(3)相同．理由：饭前行驶过程中，汽车每小时耗油(40－30)÷2＝5(L)；饭后行驶过程中，汽车每小时耗油(30－10)÷(7－3)＝5(L)．解：

(3)在饭前与饭后的行驶过程中，汽车每小时的耗油量相同吗？请说明理由.知1－练（来自《典中点》）某省遭受台风袭击，大部分地区发生强降雨，某河受暴雨袭击，某天的水位记录如表，观察表中数据，水位上升最快的时段是(

)

A.8～12时B．12～16时C．16～20时D．20～24时2时间/时04812162024水位/米22.534568Da.表格法(数值表法)知1－练（来自《典中点》）3已知某品牌东北大米6元/kg，请你根据条件完成下表：购买该品牌东北大米的质量x(kg)123456…付款金额y(元)

…61218243036知1－练（来自《典中点》）b.图像法4【中考·淄博】小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看成一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是(

)D知1－练（来自《典中点》）c.表达式法5若每上6个台阶就升高1米，则上升高度h(米)与上的台阶数m(个)之间的函数解析式是(

)A．h＝6mB．h＝6＋mC．h＝m－6D．h＝D知1－练（来自《典中点》）6如图，△ABC的边BC长是8，BC边上的高AD′是4，点D在BC上运动(不与C点重合)，设BD长为x，则△ACD的面积y与x之间的函数关系式为___________________．y＝16－2x(0≤x＜8)2知识点三种函数表示法间的关系知2－讲列表法的特点是一目了然．从表格中已有的自变量的每一个值．不需计算就可以直接查出与它对应的函数值．使用起来很方便，但也布局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中．也不容易看出x与y之间对应的规律．图像法的特点可以直观、形象地把自变量与函数之间的关系表示出来，它的不足之处是由图像只能得到近似的数量关系．解析式法的特点是简单明了．能准确地反映整个变化过程中自变量与函数间的相互关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算.知2－讲注意：

列表法、图像法、解析法虽然形式不同、但都反映了问题中的两个变量——x

(自变量)、y(函数)的关系．我们在解决问题时，常常综合运用这三种表示法来深入地研究自变量与函数的关系式的性质．同一个函数关系可以用不同的方法表示．知2－讲例2某年初，我国西南部分省市遭遇了严重干旱．某水库的蓄水量随着时间的增加而减小，干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万立方米)的变化情况如图所示，根据图象回答问题：(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？(2)根据图象填表：(3)当t取0至60天之间的任一值时，对应几个V值？(4)V可以看作t的函数吗？若可以，写出函数解析式．干旱持续时间t/天0102030405060蓄水量V/万立方米

知2－讲(1)通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表示水库蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系；(2)根据图象信息确定每个特殊点的坐标即可；(3)观察图象可得；(4)可根据函数的定义来判断．(1)图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系．(2)填表如下：导引：解：干旱持续时间t/天0102030405060蓄水量V/万立方米120010008006004002000（来自《点拨》）知2－讲（来自《点拨》）(3)当t取0至60天之间的任一值时，对应着一个V值．(4)V可以看作t的函数．根据图象可知，该水库初始蓄水量为1200万立方米，干旱每持续10天，蓄水量相应减少200万立方米，由此可得出函数解析式为V＝1200－

＝－20t＋1200(0≤t≤60)．本例通过“形”，即图象中的信息，用列表及解析式这些“数”来表示说明，三种函数表示方法之间有互补性，是可以相互转化的，体现了数形结合思想的应用．总结（来自《教材》）知2－讲知2－练（来自教材）小莉的父母出去散步，从家走了20min到达离家900m的一个报亭，母亲随即按原速度返回，父亲看了10min报纸后，用了15min返回家.请根据关于父亲或母亲距家的路程y(m)和离家时间x(min)的函数图像回答：1知2－练（来自教材）(1)哪幅图像表示父亲距家的路程y与离家时间x的关系？(2)哪幅图像表示母亲距家的路程y与离家时间x的关系？(3)余下的那幅图像是关于小莉的，请讲述一段与之相符的故事.(1)图(1)表示父亲距家的路程y与离家时间x的关系．(2)图(2)表示母亲距家的路程y与离家时间x的关系．(3)小莉从家走了30min到达离家900m的一个报亭，随即用15min跑步返回家.解：

知2－练（来自教材）小亮家与学校相距1500m.一天，他步行去上学，最初以某一速度匀速行进.途中遇到熟人小强，说话耽误了几分钟.与小强告别后他就改为匀速慢跑，终于准时到校.设小亮从家出发后所用的时间为t(min)，行进的路程为s(m).(1)在下列图像中,哪幅能表示上述过程？(2)从其他两个图像中任选一个，写出与图像相应的实际情景.2知2－练（来自教材）(1)图(2)能表示上述过程．(2)选择图(3)：小亮放学回家，最初以某一速度匀速行进，途中经过一家文具店，便停下来在文具店里买了两件文具，然后他就匀速慢跑回家了．设小亮从学校出发后所用的时间为t(min)，距离家的路程为s(m)．解：

知2－练（来自教材）在用表达式和图像这两种方式表达玩具车以1m/s的速度匀速行驶的过程时，得到了表达式y=x和如图所示的图像.(1)请你从图像上任意找出5个点，

并写出这5个点的坐标.(2)说明你得到的5个点的坐标可分

别使得表达式y=x成立.(3)任意写出满足表达式y=x的三组有序正数对，说

明分别以这三组有序正数对为坐标的三个点都在

图中所示的图像上.3知2－练(1)(答案不唯一)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)(2)将x＝1，2，3，4，5分别代入y＝x中，可得y的值依次为1，2，3，4，5，所以(1)中5个点的坐标可分别使得表达式y＝x成立．(3)(答案不唯一)(6，6)，(7，7)，(8，8)，说明略．解：

知2－练（来自《典中点》）要形象、直观地表示某市某天的气温与时间的函数关系，适宜用(

)A．列表法B．解析式法C．图象法D．以上都可以4C知2－练（来自《典中点》）下面说法中正确的是(

)A．两个变量间的关系只能用解析式表示B．图象不能直观地表示两个变量间的数量关系C．借助表格可以反映出因变量随自变量的变化

情况D．以上说法都不对5C3知识点画函数的图像知3－导做一做1.以横轴表示气温，每5℃为一个单位长度，纵轴表示声速，每100m/s为一个单位长度，建立直角坐标

系.以表格中给出的气温和声速的数值为点的横坐标

和纵坐标，在直角坐标系中描点，连线(用平滑的曲

线连点)，画出图形.知3－导2.观察表格中数值，不难发现：气温每升高(或降低)5℃，对应的声速增加(或减少)3m/s.根据这个特点，

求声速y(m/s)和气温x(℃)之间的函数关系式.知3－导通过上面的“做一做”，我们发现在这个问题中，声速与气温这两个变量之间的函数关系，既可以用数值表表示，也可以用图1中的图像表示，还可以用函数表达式来表示.数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点.图1知3－导一般地，我们把一个函数的自变量

x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像(image).如图1中的图形就是函数331.36的图像.观察可知，函数

的图像为一条直线.知3－导用描点法画函数图像的一般步骤：(1)列表：在自变量取值范围内有代表性地取值，并求

出相应的函数值．(2)描点：一对对应值即一个点的坐标，一个点的坐标

确定一个点．(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点

用平滑的曲线连接起来．知3－导要点精析(1)列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或

自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出

的函数的图像能反映函数的全貌．(2)描点时要以表中每对对应值为坐标，在坐标系中准

确描点．(3)连线时要用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来．知3－讲例3在直角坐标系中，画出函数y=2x+1的图像.(1)取值.根据函数表达式，取自变量的一些值，得出

函数的对应值，按这些对应值列表：(2)描点.根据自变量和函数

的数值表，在直角坐标

系中描点.(3)连线.用平滑的曲线将这

些点连接起来，即得函

数的图像，如图所示.解：x-2-1012y-3-1135知3－讲例3在直角坐标系中，画出函数y=2x+1的图像.(1)取值.根据函数表达式，取自变量的一些值，得出

函数的对应值，按这些对应值列表：(2)描点.根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系

中描点.(3)连线.用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数

的图像，如图2.解：描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.总结（来自《教材》）知3－讲知3－练下表是某年一条河流自8月1日至8月10日的水位记录:(1)试画出这个函数的图像.(2)观察图像，判断从哪天起水位开始全面回落.1日期123456