冀教版九年级数学上册 （解直角三角形的应用）教育教学课件(第1课时)

26.4解直角三角形的应用第1课时

学习目标12能运用解直角三角形知识解决仰角、俯角和方向角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的

数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.(重难点)理解仰角、俯角及方向角的概念.(重点)（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.（3）边角之间的关系：（1）三边之间的关系：

（勾股定理）.ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：知识回顾；；；；；.水平线视线视线︶︶仰角俯角铅垂线仰角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线上方的角.俯角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线下方的角.知识讲解眼睛巧记：上仰下俯1.仰角和俯角的概念【探究】如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝30°，求飞机A到控制点B的距离.解：由题意知∠B＝∠α＝30°.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sinB＝∴AB＝2AC＝2400m．

答：飞机A到控制点B的距离为2400m．知识讲解如图所示,小明在距旗杆4.5m的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(∠AOC)为50°;俯视旗杆底部B,俯角(∠BOC)为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1m)知识讲解【思考】(1)要求旗杆的高,实际是要求图中哪条线段的长度?图中有哪些已知条件?(2)在Rt△AOC中,如何求线段AC的长度?(3)在Rt△BOC中,如何求线段BC的长度?知识讲解例1热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.ABCDαβ仰角水平线俯角

类似地Rt△ACD中由β=60°求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.

答：这栋楼高约为277.1m.ABCDαβ变式如图，两建筑物AB和CD的水平距离为120米，已知从A顶部看C的仰角为30°，从A顶部看D的俯角为60°，求建筑物AB、CD的高度.DBCAE120米300α仰角600β俯角解：如图，a=30°,β=60°，AE＝120．．．．．．即学即练1如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A,B,O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB.450米解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中,答：大桥的长AB为βαPABO．．．．2.方位角

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.以正南或正北为基准线东西北南O（1）正东，正南，正西，正北（2）西北方向:_________

西南方向:__________

东南方向:__________

东北方向:__________

射线OAABCDOBOCOD45°射线OE射线OF射线OG射线OHEGFH45°45°45°2.认识方向角O北南西东

（3）南偏西25°25°

北偏西70°

南偏东60°ABC射线OA射线OB射线OC70°60°方向角通常都写成：北偏……，南偏……的形式.例1如图所示,一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40min后,渔船行驶到B处,此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心,10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航行,有没有进入危险区的可能?(Rt△BCD中,∠CBD=60°;Rt△ACD中,∠CAD=30°)(1)如何判断有没有进入危险区的可能?(点C到直线AB的距离与10海里比较大小)(2)要求点C到直线AB的距离,需要作什么辅助线?(过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D)(3)要求CD的长,CD在哪个直角三角形中?(Rt△BCD和Rt△ACD中)(4)Rt△BCD和Rt△ACD中,有什么已知条件?知识讲解(5)设CD=x,则直角三角形中的边长能否用x表示?(，)

(6)题目中的等量关系是什么？你能列方程求解吗？（AB=AD-BD，）.知识讲解解:

如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则∠CBD=60°,

在Rt△ACD中，∠CAD=30°，所以,即.∵，

∴.解得.因为10＜所以这艘渔船继续向东航行，不会进入危险区.

知识讲解归纳：

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.随堂训练1.如图所示,由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基距地平面20米(即BC为20米),则塔身AB的高为 (

)A.60米

B.4米C.40米 D.20米解析:由题意知BC=20米,∠ADC=60°,∠BDC=30°,∠ACD=90°,所以∠ADB=∠A=30°,所以AB=BD,在Rt△BCD中,BD==40(米),所以AB=BD=40米,所以塔身AB的高为40米.故选C.C2.如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.3.如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.100图①BCA图②BCAD30°60°随堂训练4.某铁塔由塔身和塔座两部分组成（如左图所示）.为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC的高为1.6m，CD的长为6m，CD所在的水平线CG⊥EF于点G（如右图所示），求铁塔EF的高（结果精确到0.1m）.5.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，

并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°，如图所示．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m．请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．

参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700)随堂训练过点A作AD⊥BC于点D，热气球离地面的高度即为AD的长．利用BC长度转化为CD－BD＝BC，由辅助线构造出Rt△ABD，Rt△ACD，利用解直角三角形求解．如图，作AD⊥BC于点D.由题意得∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，BC＝100m.设AD＝xm，则BD＝AD＝xm，CD＝m.∵BC＝CD－BD，∴

－x＝100.∴x≈233.答：热气球离地面的高度约为233m.分析：解：随堂训练200km

6.如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.73，

≈1.414)．随堂训练200km解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，

AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．C随堂训练利用仰、俯角及方向角解直角三角形仰角、俯角及方向角的概念运用解直角三角形解决仰角、俯角及方向角问题课堂小结26.4解直角三角形的应用第2课时

学习目标12

使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力,从而利用所学知识解决实际问题.(重难点)理解坡度、坡角的概念；(重点)知识讲解坡度、坡角（2）坡角：坡面与水平面所成的夹角叫做坡角.

坡角越大，斜坡越陡；坡角越小，斜坡越缓.

特别注意：坡度不是一个度数，而是一个比值，是坡角的正切值.

1.斜坡的坡度是，则坡角α=___.2.斜坡的坡角是45°

，则坡比是_____.3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.αlh30°1:1练一练归纳

1.坡度也叫坡比,即i=,一般写成1∶m的形式(比的前项是1,后项可以是整数,也可以是小数或根式).2.坡度i与坡角α之间的关系为i=tanα.3.坡角越大,坡度越大,坡面越陡.知识讲解例1

如图所示，铁路路基的横断面为四边形ABCD，其中，BC∥AD，∠A=∠D，根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角（结果精确到)(1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的知识求坡角.(2)根据坡度概念及梯形的高,可以求出AE,DF的长.(3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系,求出EF的长,从而求出底AD的长.(4)在Rt△ABE中,由坡角和坡度之间的关系可求出坡角.解:如图所示,作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.在四边形BEFC中,∵BC∥AD,∠AEB=∠DFC=90°,∴四边形BEFC为矩形.∴BC=EF,BE=CF.在Rt△ABE和Rt△DCF中,∵∠A=∠D,∠AEB=∠DFC,BE=CF,∴Rt△ABE≌Rt△DCF.∴AE=DF.在Rt△ABE中,BE=4,∴α≈38°39',AE=5.∴AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20.即路基下底的宽为20m,坡角约为38°39'.例2水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；

ADBCi=1:2.5236αi=1:3解：

斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α为22°.知识讲解解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F，由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m).EFADBCi=1:2.5236αi=1:3解题关键：适当添加辅助线，构造直角三角形=69+6+57.5=132.5(m).在Rt△ABE中，由勾股定理可得在Rt△DCF中，同理可得故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.EFADBCi=1:2.5236αi=1:3利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.1.某人上坡沿直线走了50m,他升高了25m,则此坡的坡度为(

)A.30° B.45°C.1∶1 D.1∶

解析:由勾股定理求得另一直角边为m，由坡度公式得i=h∶l=25∶25

=1∶1.故选C.C随堂训练2.小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1000m，则

他升高了(

)A．200m

B．500m

C．500m

D．1000m