电气工程师-公共基础-高等数学-积分学

电气工程师-公共基础-高等数学-积分学[单选题]1.设函数则f′（1）等于()。[2017年真题]A.B.C.D.正确答案：D参考解析：由得求导得：即有注：若f（x）在[a，b]上连续，且g（x）可导，则[单选题]2.若∫f（x）dx＝F（x）＋C，则∫xf（1－x2）dx＝()。[2018年真题]A.F（1－x2）＋CB.（－1/2）F（1－x2）＋CC.（1/2）F（1－x2）＋CD.（－1/2）F（x）＋C正确答案：B参考解析：计算得∫xf（1－x2）dx＝（－1/2）∫f（1－x2）d（1－x2）＝（－1/2）F（1－x2）＋C，这里C均表示常数。[单选题]3.∫f（x）dx＝lnx＋C，则∫cosxf（cosx）dx等于()。[2017年真题]A.cosx＋CB.x＋CC.sinx＋CD.ln（cosx）＋C正确答案：B参考解析：由∫f（x）dx＝lnx＋C，可得f（x）＝1/x，则∫cosxf（cosx）dx＝∫cosx（1/cosx）dx＝x＋C。[单选题]4.已知φ（x）可导，则等于()。[2018年真题]A.B.C.D.正确答案：A参考解析：由题意，计算得【说明】如果φ（x）、Ψ（x）可导，则：①②[单选题]5.等于()。[2014年真题]A.B.C.D.正确答案：C参考解析：若f（x）在[a，b]上连续，且u＝g（x）可导，则：所以[单选题]6.f′（x）连续，则∫f′（2x＋1）dx等于()。[2012年真题]A.f（2x＋1）＋CB.（1/2）f（2x＋1）＋CC.2f（2x＋1）＋CD.f（x）＋C正确答案：B参考解析：∫f′（2x＋1）dx＝（1/2）∫f′（2x＋1）d（2x＋1）＝（1/2）f（2x＋1）＋C。[单选题]7.若则常数A等于()。[2016年真题]A.1/πB.2/πC.π/2D.π正确答案：A参考解析：反常积分上下限均为无穷，在0处分开求，即：解得：A＝1/π。[单选题]8.定积分等于()。[2017年真题]A.0B.－1C.1D.2正确答案：C参考解析：换元法，令t＝1/x得代入已知定积分得，原式为C为常数。[单选题]9.定积分等于()。[2012年真题]A.B.C.D.正确答案：C参考解析：[单选题]10.下列广义积分中发散的是()。[2013年真题]A.B.C.D.正确答案：C参考解析：故C项积分发散。[单选题]11.若正方形区域D：|x|≤1，|y|≤1，则二重积分等于()。[2018年真题]A.4B.8/3C.2D.2/3正确答案：B参考解析：根据积分区域及被积函数x2＋y2，利用积分对称性，得[单选题]12.若圆域D：x2＋y2≤1，则二重积分等于()。[2017年真题]A.π/2B.πC.2πln2D.πln2正确答案：D参考解析：将此二重积分在极坐标下进行积分可得[单选题]13.二次积分交换积分次序后的二次积分是()。[2013年真题]A.B.C.D.正确答案：D参考解析：根据原积分上下限，积分区域为曲线y＝x2和直线y＝x包围的区域，交换积分次序后，y范围应为0～1，x范围应为，故D项正确。[单选题]14.若D是由y＝x，x＝1，y＝0所围成的三角形区域，则二重积分在极坐标下的二次积分是()。[2012年真题]A.B.C.D.正确答案：B参考解析：画出区域D的图形，在极坐标下，区域D可表为：0≤θ≤π/4，0≤r≤1/cosθ。变量可表示为：x＝rcosθ，y＝rsinθ，dxdy＝rdrdθ。故[单选题]15.设L是从点A（0，1）到点B（1，0）的直线段，则对弧长的曲线积分∫Lcos（x＋y）ds等于()。[2018年真题]A.cos1B.2cos1C.D.正确答案：C参考解析：L是连接AB两点的直线，则直线的方程为：y＝1－x（0≤x≤1），则【总结】如果曲线弧L由方程y＝φ（x）（x0＜x＜x1）给出，则[单选题]16.设L是椭圆周的上半椭圆周，取顺时针方向，则曲线积分∫Ly2dx等于()。[2017年真题]A.5ab2/3B.4ab2/3C.2ab2/3D.ab2/3正确答案：B参考解析：由题意可得：x2/a2＋y2/b2＝1，即y2＝b2－（b2/a2）x2，则有：[单选题]17.设L为从点A（0，－2）到点B（2，0）的有向直线段，则对坐标的曲线积分等于()。[2014年真题]A.1B.－1C.3D.－3正确答案：B参考解析：AB直线的方程为：y＝x－2，曲线积分化成x的积分为：[单选题]18.设L是连接点A（1，0）及点B（0，－1）的直线段，则对弧长的曲线积分∫L（y－x）ds等于()。[2013年真题]A.－1B.1C.D.正确答案：D参考解析：直线L的方程为：y＝x－1，则[单选题]19.设L为连接（0，2）和（1，0）的直线段，则对弧长的曲线积分∫L（x2＋y2）ds＝()。[2011年真题]A.B.2C.D.正确答案：D参考解析：直线L方程为：y＝－2x＋2，故：[单选题]20.抛物线y2＝4x与直线x＝3所围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积是()。[2014年真题]A.B.C.D.正确答案：C参考解析：根据定积分的运用，抛物线y2＝4x与直线x＝3所围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积为：[单选题]21.曲线y＝（sinx）3/2（0≤x≤π）与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积等于()。[2012年真题]A.4/3B.4π/3C.2π/3D.2π2/3正确答案：B参考解析：旋转体体积为：[单选题]22.若D是由x＝0，y＝0，x2＋y2＝1所围成在第一象限的区域，则二重积分等于()。[2016年真题]A.－1/15B.1/15C.－1/12D.1/12正确答案：B参考解析：采用极坐标法求二重积分，具体计算如下：[单选题]23.设D是由y＝x，y＝0及所围成的第一象限区域，则二重积分等于()。[2014年真题]A.πa2/8B.πa2/4C.3πa2/8D.πa2/2正确答案：A参考解析：直线y＝x，y＝0及曲线所围成的是一个处于第一象限内的以a为半径的1/8的圆的区域，而二重积分表示上述区域的面积，所以二重积分[单选题]24.由曲线y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）所围成的平面图形的面积等于()。[2018年真题]A.lnb－lnaB.b－aC.eb－eaD.eb＋ea正确答案：B参考解析：由y＝lnx得，x＝ey。由题意，得围成的平面图形的面积[单选题]25.圆周ρ＝cosθ，ρ＝2cosθ及射线θ＝0，θ＝π/4所围的图形的面积S等于()。[2010年真题]A.3（π＋2）/8B.（π＋2）/16C.3（π＋2）/16D.7π/8正确答案：C参考解析：根据积分区域可得[单选题]26.设L是抛物线y＝x2上从点A（1，1）到点O（0，0）的有向弧线，则对坐标的曲线积分∫Lxdx＋ydy等于()。[2016年真题]A.0B.1C.－1D.2正确答案：C参考解析：选择x的积分路线，有：[单选题]27.不定积分等于()。[2014年真题]A.（1/4）（1＋x3）4/3＋CB.（1＋x3）1/3＋CC.（3/2）（1＋x3）2/3＋CD.（1/2）（1＋x3）2/3＋C正确答案：D参考解析：原式等于[单选题]28.()。[2011年真题]A.B.C.tan（1＋x）D.（1/2）arctanx＋C正确答案：B参考解析：因为故[单选题]29.若f（x）的一个原函数是lnx/x，则∫xf′（x）dx＝()。A.lnx/x＋CB.（1＋lnx）/x＋CC.1/x＋CD.（1－2lnx）/x＋C正确答案：D参考解析：由f（x）＝（lnx/x）′＝（1－lnx）/x2，则：∫xf′（x）dx＝∫xdf（x）＝xf（x）－∫f（x）dx＝x（1－lnx）/x2－lnx/x＋C＝（1－2lnx）/x＋C[单选题]30.广义积分则c等于()。A.πB.C.D.－2/π正确答案：C参考解析：根据题意因此，[单选题]31.下列广义积分中发散的是()。A.B.C.D.正确答案：A参考解析：A项，发散。B项，收敛。C项，令x＝sect，则代入已知定积分，收敛。D项，收敛。[单选题]32.设D是xOy平面上以（1，1）、（－1，1）和（－1，－1）为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则等于()。A.B.C.D.0正确答案：A参考解析：三角形D可进一步分割为两个分别关于x轴和y轴对称的三角形，从而根据被积函数关于x或y的奇偶性即可得出结论。设D′是xOy平面上以（0，0），（1，1），（－1，1）为顶点的三角形区域，D″是xOy平面上以（0，0），（－1，1），（－1，－1）为顶点的三角形区域，则D′关于y轴对称，D″关于x轴对称。于是由于xy关于x和y均为奇函数，因此而故[单选题]33.设函数f（u）连续，区域D＝{（x，y）|x2＋y2≤2y}，则等于()。图1-3-1A.B.C.D.正确答案：D参考解析：先画出积分区域的示意图，再选择直角坐标系和极坐标系，并在两种坐标系下化为累次积分，即得正确选项。积分区域（见图1-3-1），在直角坐标系下因为不确定被积函数的奇偶性，故不能用对称条件，B项错误。在极坐标系下，所以[单选题]34.设D：x2＋y2≤a2，则a为()。A.B.C.1D.2正确答案：D参考解析：将方程用极坐标表示，由题设，（2/3）πa3＝（16/3）π，得a＝2。[单选题]35.设其中Ω是由和z＝1所围成的，则I＝()。A.π/6B.C.D.正确答案：B参考解析：设圆锥侧面，球面所围区域为Ω1，球面与平面z＝1，圆锥面所围区域为Ω2（见图1-3-2），则图1-3-2[单选题]36.设曲线积分∫l[f（x）－ex]sinydx－f（x）cosydy与路径无关，其中f（x）具有一阶连续导数，且f（0）＝0，则f（x）等于()。A.（e－x－ex）/2B.（ex－e－x）/2C.（ex＋e－x）/2－1D.1－（ex＋e－x）/2正确答案：B参考解析：曲线积分∫lP（x，y）dx＋Q（x，y）dy与路径无关，即∂P（x，y）/∂y＝∂Q（x，y）/∂xP（x，y）＝[f（x）－ex]siny，Q（x，y）＝－f（x）cosy，则由题设有∂P（x，y）/∂y＝∂Q（x，y）/∂x即f′（x）＋f（x）－ex＝0。由一阶微分方程通解公式知又由f（0）＝0得，C＝－1/2，故有f（x）＝（ex－e－x）/2[单选题]37.设平面曲线l：x2/4＋y2/9＝1，l1：x2/4＋y2/9＝1，y≥0，其所围成的区域分别记为D和D1，则有()。A.B.C.D.正确答案：A参考解析：由对称性知且故有∫l（x＋y2）ds＝2∫l（x＋y2）dsB项，但因此C项，左端为0，但右端为2∫∫y3dxdy＞0，不相等。D项，左端为但因此左、右两端也不相等。[单选题]38.曲线r＝aebθ（a＞0，b＞0）从θ＝0到θ＝α（α＞0）的一段弧长为()。A.B.C.D.正确答案：A参考解析：利用极坐标方程表示曲线的弧长公式，有：[单选题]39.设函数f（x）连续，由曲线y＝f（x）在x轴围成的三块面积为S1、S2、S3（S1、S2、S3均大于0），如图1-3-3所示，已知S2＋S3＝p，S1＝2S2－q，且p≠q，则等于()。图1-3-3A.p－qB.q－pC.p＋qD.2（p－q）正确答案：B参考解析：由定积分几何意义得：又S2＋S3＝p，S1＝2S2－q，则S1－S2＋S3＝p－q，即[单选题]40.设则方程f（x）＝1在（1，＋∞）内的实根个数必为()。A.0B.1C.2D.3正确答案：B参考解析：故f（x）单调递增且连续，f（1）＝0且故x充分大后f（x）会大于任何数，因此方程f（x）＝1必有一个实根。[单选题]41.设f（x）可导，且f′（x）＞0，则()。A.F（0）是极大值B.F（0）是极小值C.F（0）不是极值，但（