大型框架结构整体稳定性分析

大型框架结构整体稳定性分析

框架梁柱剪切变形的影响该框架的全球稳定非常重要。对于通常的框架结构,框架柱与框架梁均为实腹式截面构件,构件自身的剪切变形相对于弯曲变形而言很小,对于框架整体稳定性的影响可以忽略不计。对于承受竖向荷载较大的框架柱,采用格构式柱子可以获得良好的经济指标。但是格构式柱截面的抗剪刚度通常很小,剪切变形的影响不能忽略。随着超高层结构的逐渐发展,巨型框架结构体系在超高层建筑中的应用逐渐频繁,对于巨型框架结构,其框架柱截面高度高,剪切变形占有相当的比例。高层建筑中常见的蜂窝梁、短柁梁以及巨型框架中常见的桁架梁,其自身的剪切变形亦不能忽略。因此研究上述框架结构的稳定性,就必须考虑梁柱自身的剪切变形影响。例如,文献[1、2]中所研究的三角形截面空间格构式刚架的整体稳定性能,由于截面为空间格构式,其剪切变形的影响不能忽略。对于框架结构的稳定性研究,传统上只将焦点集中在框架梁柱的弯曲变形。因此,传统的理论仅能应用于各构件截面均为实腹式的框架结构稳定性分析,对于格构式框架柱及巨型框架结构,得到的分析结果将会有较大的误差。我国钢结构设计规范中通过换算长细比的方式考虑格构式柱绕虚轴转动时的剪切变形影响,但无法考虑框架梁的剪切变形。文献系统地研究了框架结构的稳定性,分析了考虑框架同层各柱相互支援、框架层与层之间的相互支援,得出了十分精确的临界荷载,但分析中仅考虑了框架梁柱的弯曲变形。文献研究了两端任意转动约束的轴压杆,侧向具有水平弹性支撑且顶部作用竖向集中力时,轴压杆的计算长度系数近似公式,分析中均忽略了压杆剪切变形的影响,且作者并没有发现压杆侧向弹性支撑刚度与压杆有侧移失稳临界荷载之间存在的线性规律,因此文中给出的近似公式计算十分复杂,不便于实际应用。文献基于文献中得到的结论,将单一的压杆推广到同层各柱具有水平连杆相互连接,且具有侧向弹性支撑的框架结构体系,给出了计算各压杆临界荷载的近似公式,分析中同样忽略了柱剪切变形的影响。文献提出了考虑剪切变形影响的两端任意转动约束,侧向具有水平弹性支撑的轴压杆的计算长度系数,但是相比本文采用的近似公式文献的公式非常复杂,不便于实际应用。文献提出了计算框架结构层抗剪刚度(GA)的简化计算公式,公式未考虑梁柱剪切变形的影响,且假设在侧向力作用下,框架梁柱的反弯点为其中点,误差较大。本文基于前人的研究成果,系统地研究了框架梁柱剪切变形对框架有侧移及无侧移失稳临界荷载的影响。概括了框架发生整体有侧移失稳的本质;着重研究了横梁剪切变形对框架整体稳定性的影响。提出了分析框架稳定性的简化计算方法,简化法考虑了框架梁柱剪切变形的影响、同层各柱间的相互支援以及框架层与层之间的相互支援作用。本文的研究中,假设各构件材料均为线弹性。1轴压力p时抗弯线刚度变化的物理意义在以往的研究工作中,作者推导了两端任意转动约束的轴压杆临界荷载的近似公式,及考虑轴力作用影响后的梁单元二阶转角位移方程,两者均考虑了压杆剪切变形的影响。如图1所示,杆件AB两端弯曲变形引起的转角为θA、θB,总的相对侧移为Δ,杆端弯矩为MAB、MBA,杆端剪力为QAB、QBA。所有角位移θ和杆轴的相对转动Δ/l,均以顺时针为正,弯矩以顺时针方向作用于杆端截面为正,剪力以使杆轴顺时针向转动为正,图上所示均为正方向。EI和S分别为截面的抗弯刚度和抗剪刚度。令i=EI/l,表示杆件的抗弯线刚度,γ=(EI)/(Sl2)。引入系数is=Sl,定义为杆件的抗剪线刚度,则系数γ可以认为是杆件的抗弯线刚度i与抗剪线刚度is的比值,简称弯剪线刚度比。杆件AB两端作用轴压力P时,考虑剪切变形影响的二阶转角位移方程为:式中:u=π(PE/P-PE/PS)-0.5,PE=(π2EI)/l2,Ps=S,如图(2a)所示,两端转动约束的轴压杆AB,侧向无支撑,两端转动刚度分别为KZ1和KZ2,量纲为N×m。压杆AB在竖向集中力P作用下,考虑剪切变形的影响,压杆发生有侧移失稳的临界荷载Pcr0采用计算长度系数μ0表示,Pcr0=π2EI/(μ02l2),μ0的近似解为:压杆AB发生有侧移失稳时,精确的屈曲方程为:其中:K1=KZ1/(6i),K2=KZ2/(6i),表示两端转动刚度的无量纲系数;u=π×(μ02-π2γ)-0.5如图2(b)所示,当两端转动约束的轴压杆,侧向有支撑时,杆件将发生无侧移失稳。考虑剪切变形的影响,杆件发生无侧移失稳时的临界荷载Pcr∞采用计算长度系数μ∞表示,Pcr∞=(π2EI)/(μ∞2l2),μ∞的近似解为:压杆AB发生无侧移失稳时,精确的屈曲方程为:式中:u=π×(μ∞2-π2γ)-0.5如图(2a)所示,当AB柱顶的集中荷载为0时,AB的线性抗侧刚度为K0;当柱顶作用集中荷载P后,AB的抗侧刚度为Kp。根据作者以往的研究,当P≤Pcr0时,压杆的抗侧刚度与其轴力P之间保持近似的线性关系:其中:αs的物理意义为:考虑杆件的剪切变形影响,竖向荷载与柱局部弯曲变形产生的二阶效应对侧向刚度的影响系数。由(6)式可知,由于轴压力P的作用,压杆的水平抗侧刚度减小了αsP/l,因此,轴压力P的作用可理解为负刚度,大小为:αsP/l。当轴力P达到压杆有侧移失稳临界荷载Pcr0时,压杆的抗侧刚度Kp为零,即:由(8)式可知,考虑剪切变形的影响后,压杆有侧移失稳临界荷载Pcr0与压杆的线性抗侧刚度成正比关系。2简单结构的稳定性2.1框架柱失稳的屈曲分析如图3(a)所示为单层单框框架,柱脚刚接,框架柱顶分别作用竖向集中荷载P、αP,外荷载按等比例加载。EIc、Sc分别为框架柱的抗弯刚度与抗剪刚度;EIb、Sb分别为框架梁的抗弯刚度与抗剪刚度。忽略框架梁内轴力,应用考虑剪切变形影响的转角位移方程(1a、1b、1c),记B,C点处,梁柱弯曲变形引起的转角为θB,θC,框架的侧移为Δ,采用位移法分析框架结构,经复杂的三角函数运算及化简可得:MBA=s1icθB-(s1+c1)ic×Δ/h式中:ic、ib分别为框架柱与框架梁的抗弯线刚度,γb=EIb/(Sbl2)、γc=EIc/(Sch2)。根据节点B、C的弯矩平衡以及框架柱内的水平剪力平衡,即MBA+MBC=0,MCB+MCD=0,QBA+QCD=0,将上述弯矩与剪力表达式代入平衡方程组可得关于基本未知量θB,θC和Δ的齐次线性方程组,当框架屈曲时,θB、θC、Δ均不为零,因此,齐次线性方程组的系数行列式为零,化简可得:方程(9)即为柱顶荷载不同时,框架的屈曲方程。方程(10a)为框架发生有侧移失稳的屈曲方程,方程(10b)为无侧移失稳的屈曲方程。当框架侧向没有支撑时,框架将发生有侧移失稳,无侧移失稳是高阶的失稳模态,因此,框架的屈曲方程为方程(10a)。若框架柱的柱脚铰接,与前文类似,采用位移法可得框架的屈曲方程为:其中u=π(μc2-π2γc)-0.5,μc为框架柱的计算长度系数。由方程(10a)和(11)可求得当框架柱顶荷载相等,柱脚分别为刚接和铰接时,框架柱有侧移失稳的计算长度系数,从而确定框架的临界荷载。由于若框架柱顶作用相同的集中荷载,对于截面相同的框架柱AB、DC,两柱的失稳趋势是相同的,框架柱之间不存在相互支援作用,因此可以将框架的失稳看作为两独立的轴压杆的有侧移失稳,应用近似公式(2),可方便地确定框架的临界荷载。高层建筑中常见的短柁梁、蜂窝梁以及Virendeel桁架梁性能类似于桁架梁,其剪切变形对横梁的性能影响显著。如图3(a)所示框架,侧向无支撑,当框架柱为实腹式柱,剪切变形可忽略不计,γc→0,横梁为桁架梁,其变形模式近似于纯剪切变形,γb→∞,此时,由屈曲方程(10a)可得框架发生有侧移失稳时,框架柱的计算长度系数为:μ=2。这相当于框架柱柱脚端刚接,柱顶端自由时的计算长度系数。由此可见,当横梁的抗剪刚度较小,变形模式为纯剪切模式时,横梁对框架柱端不提供任何转动约束。当框架柱脚铰接时,屈曲方程(11)的解为:μ=∞,框架柱柱脚铰接,柱顶为自由端,此时框架不再是一个固定的结构,而成为了一个可变的机构,临界荷载为0。由以上分析可知,当框架横梁的抗剪刚度较小,可近似认为是纯剪切变形,框架发生有侧移失稳时,框架梁对框架柱提供的转动约束可忽略不计,得到的框架柱临界荷载偏于安全。在实际结构中,框架柱内的轴力大小往往是不同的,各框架柱的失稳趋势也不相同。由于横梁的作用,框架柱之间存在相互支援作用,因此单根框架柱的临界荷载不能够按照前文所述的方法求解。将框架总的临界荷载(Pcr1+αPcr1)用等效计算长度系数μt表示,(Pcr1+αPcr1)=π2EIc/(μth)2,则μt=μ1(1+α)-0.5,其中μ1为框架柱AB有侧移失稳的计算长度系数。给定框架梁和柱的弯剪线刚度比γb=γc=0.05,对不同的梁柱抗弯线刚度比K,以及框架柱顶荷载加载比例α,根据方程(9)分别计算等效计算长度系数μt,结果见表1。由表1中数据可知,即使两框架柱轴力相差十分悬殊(α=0.1),框架总的临界荷载与两柱轴力相等时的总临界荷载也几乎相等,两者差距小于4%。从理论上解释由表1中的数据得出的上述结论。考虑压杆剪切变形之后,压杆的有侧移失稳临界荷载Pcr0与其线性抗侧刚度K0仍然保持正比关系。由于框架的线性抗侧刚度与框架柱内轴力的分布没有关系,是框架本身的属性。而作用在两框架柱上的轴力等效负刚度分别为:αs1P/h和αs2(αP)/h。当框架发生有侧移失稳时,其抗侧刚度消失,线性抗侧刚度与轴力等效负刚度相互抵消,即:(αs1+αs2α)P/h=K0。根据(7)式可知,αs1与αs2取决于参数K、γc、γb,两者基本相等,因此,(1+α)Pcr=K0h/αs,框架总的临界荷载与框架柱内的轴力如何分布无关。这与由精确的屈曲方程(9)计算得出的数据相一致。2.2框架柱等效计算长度系数图(3b)所示,为最普遍的单层单跨框架,柱顶作用有大小不等的集中荷载P、αP,外荷载按等比例加载。两框架柱的截面不同,抗弯刚度和抗剪刚度分别为:EIc1、Sc1;EIc2、Sc2。框架梁BC抗弯刚度与抗剪刚度为:EIb1、Sb1;框架梁AD为EIb2、Sb2。利用考虑剪切变形的二阶转角位移方程(1a、1b、1c),根据位移法建立结构平衡方程,与上文分析类似,可得不对称框架结构的屈曲方程(12)。方程(12)即为最普通的框架单元在柱顶不同荷载作用下的屈曲方程。各参数下标c1、c2分别表示框架柱AB、CD;下标b1、b2分别表示框架梁BC、AD。其中,K11=ib1/ic1、K12=ib1/ic2、K21=ib2/ic1、K22=ib2/ic2,分别表示各框架梁与框架柱之间的抗弯线刚度比。与2.1节中相似,将总的临界荷载(1+α)Pcr1用等效计算长度系数μt表示,(1+α)Pcr1=π2EIc1/(μth)2,μt=μc1(1+α)-0.5,其中μc1为框架柱AB有侧移失稳的计算长度系数。给定各框架梁的弯剪线刚度比为γb1=γb2=0.05,各框架梁与框架柱之间的抗弯线刚度比分别为K11=K12=0.5,K21=K22=1。对于不同的框架柱弯剪线刚度比γc1、γc2,以及框架柱顶荷载加载比例α,采用方程(12),分别计算等效计算长度系数μt,见表2。由表2中数据可知,不对称单层框架中,即使两框架柱具有不同的弯剪线刚度比γ,无论框架柱内轴向荷载如何分布,即使两框架柱内轴力大小相差悬殊(α=0.1),框架同层总的临界荷载保持近似相等,最大误差小于1%。值得注意的是,当γc1=0.5,γc2=0时,框架总的临界荷载(Pcr1+αPcr1)并不相等,这与之前的讨论并不矛盾。之前的结论基于假设框架失稳模态为整体有侧移失稳,而当γc1=0.5时,框架柱AB自身的抗剪刚度很小,框架柱AB的无侧移失稳模态近似于纯剪切失稳,其临界荷载将小于框架发生有侧移失稳时的临界荷载,框架柱AB将率先发生无侧移失稳,此时框架的失稳将由框架柱AB的无侧移失稳控制,因此,无论α如何取值,AB柱的计算长度系数均为μc1=2.355。这是非常极端的情形,实际情况中,由于框架柱的弯剪线刚度比γ通常小于0.1,因此即使框架柱之间存在相互支援作用,框架柱的有侧移失稳临界荷载仍然远小于其无侧移失稳临界荷载,框架将发生整体的有侧移失稳。3框架的无侧移屈曲方程研究图(3a)所示简单框架,当α=1,柱顶作用大小相等的集中荷载P。当框架发生有侧移失稳时,θB=θC;根据转角位移方程(1a、1b、1c),梁端弯矩为:MBC=MCB=6(1+12γb)×ibθB,即横梁对于框架柱顶端提供转动约束为:KZ1=6ib(1+12γb)。如果框架侧向具有足够的支撑,框架将发生无侧移失稳,θB=-θC;梁端弯矩为:MBC=2ibθB、MCB=-2ibθB,即横梁对框架柱顶端提供转动约束为:KZ1=2ib。采用位移法分析图(3a)所示简单框架,得到框架发生有侧移失稳与无侧移失稳的屈曲方程分别为方程(10a)与(10b)。方程(10a)实际上与一端刚接,一端有转动约束KZ1=6ib(1+12γb)的轴压杆有侧移屈曲方程(3)等效;方程(10b)实际上与一端刚接,一端有转动约束KZ1=2ib的轴压杆无侧移屈曲方程(5)等效。因此,框架分别发生有侧移失稳与无侧移失稳时,横梁对于框架柱顶提供的转动约束分别为:6ib(1+12γb)和2ib。综上所述,对于框架柱上作用有相同轴压力的对称框架,发生有侧移失稳时,横梁的剪切变形对框架稳定性的影响,主要体现在横梁对框架柱顶提供的转动约束减小了。可以通过对横梁的抗弯线刚度进行折减来体现横梁剪切变形的影响:i′b=ib(1+12γb)。当框架侧向有足够支撑,框架先发生无侧移失稳时,横梁的剪切变形对框架的稳定性没有任何影响。当框架为不对称框架,且框架柱顶分别作用集中荷载P、αP,如图(3b)所示。对于此类最普遍的情况,同样假设当框架发生有侧移失稳时,考虑横梁剪切变形的影响,将其抗弯线刚度ib折减为i′b=ib(1+12γb);当框架发生无侧移失稳时,假设横梁剪切变形对稳定性的影响很小,可忽略不计。将横梁抗弯线刚度折减后,框架的有侧移屈曲方程为:由方程(12)求得框架发生整体有侧移失稳时,柱AB的计算长度系数μ1,由方程(13)求得柱AB的计算长度系数近似解μ′1。表3中列举了框架柱轴力比α为0.1,K12=K22=0.5,K11=K21=1,γb1=γb2,即两横梁的抗弯线刚度及弯剪线刚度比相等,框架柱CD的抗弯线刚度为柱AB的2倍时,精确解μ1与近似解μ′1。由表3中μ1与μ′1的对比可知,即使对于两框架柱的弯剪线刚度比γc1与γc2相差悬殊,且柱顶作用集中荷载大小相差悬殊的极端情况,框架发生整体有侧移失稳时,失稳模态不是反对称的,此时采用将横梁线刚度进行折减的方法,考虑横梁剪切变形的影响,仍然具有非常好的精确性,绝大多数情况下,近似解误差均小于1%,且偏于安全。值得注意的是,表中涂灰的数据,近似解的误差较大,这是由于此时框架柱的抗剪刚度很小,框架柱发生无侧移失稳的模式近似于纯剪切失稳,无侧移失稳临界荷载将小于框架发生整体有侧移失稳的临界荷载,因此,(13)式并不适用。由方程(14)求得框架发生无侧移失稳时,柱AB的计算长度系数μ1。表4中列举了框架柱轴力比α为0.1,K12=K22=0.5,K11=K21=1,γb1=γb2时,框架柱AB发生无侧移失稳时的计算长度系数μ1的变化趋势。由大量的数据计算及分析可知,关于横梁剪切变形对于框架整体有侧移及无侧移失稳的影响的假设,(框架发生有侧移失稳时,考虑横梁剪切变形的影响,将其抗弯线刚度ib折减为i′b=ib(1+12γb);当框架发生无侧移失稳时,假设横梁剪切变形对稳定性的影响很小,可忽略不计)是合理的。4框架柱临界荷载的计算对于多层框架,不仅存在同层各柱之间的相互支援作用,同时还存在着层与层之间相互支援作用,相邻两层之间,相对较强的层会对相对较弱的层提供支援作用。对于层间横梁,横梁对于框架柱端提供的转动约束将在上下层之间按照一定的比例进行分配,以体现层与层之间的相互支援作用。考虑层与层的相互影响,就是要突破传统假定导致的梁约束刚度按上下柱线刚度分配的情况。只要能够求出柱端约束,就能够得到计算长度系数。文献提出了一种方法,近似考虑框架层与层之间的相互支援作用,但分析过程忽略了框架梁柱剪切变形的影响,本文基于文献的方法,分析了,考虑框架梁柱剪切变形的影响,框架层与层之间相互支援作用。如图4所示,取两跨三层框架为研究对象。图中下标均为相应梁与柱的编号,各框架柱内轴力为χcijP,按等比例加载。根据文献中的结论,层对层的约束作用,对同一层的各个柱子而言,获得的支援或贡献出来的刚度具有相同的比例,这表明同一层横梁对于框架柱提供的总的转动约束将按照相同的比例分配给上下层柱。如图4所示框架,第二层横梁B21、B22对上下层框架柱提供的总的转动约束为:mB2,其中,底层框架柱分配到的转动约束为:ζ·mB2,二层框架柱下节点分配到的约束为:(1-ζ)·mB2;第三层横梁B31、B32对上下层框架柱提供的总的转动约束为:mB3,其中,二层框架柱上节点分配到的转动约束为:ξ·mB3,三层框架柱下节点分配到的约束为:(1-ξ)·mB3。ξ、ζ为待定未知量。根据公式(2),可分别求得各层各个框架柱有侧移失稳时的临界荷载。如框架柱C22,节点A处获得横梁对其转动约束为:节点B处的获得的转动约束为:由公式(2)可得,C22柱的临界荷载为:当框架发生整体有侧移失稳时,框架某一层总的临界荷载与相邻的其他层总的临界荷载的比值,满足最初的荷载加载比例,即:方程(16)为关于未知量ξ、ζ的方程组。由方程(16)可求得ξ、ζ,进而由(15)式得到各框架柱的临界荷载。由方程(16)的解ξ、ζ计算得到的各框架柱的K1Cij、K2Cij需满足要求:根据前文的结论,由于同层各框架柱之间存在相互支援作用,当框架发生有侧移失稳时,无论同层框架柱顶的轴向荷载如何分布,层总的临界荷载近似保持不变,因此,由(15)式求得各框架柱的临界荷载后,需满足:由(18b)式,可求得按等比例加载时,框架的临界荷载P。上述框架稳定分析方法既考虑了同层各柱的相互支援,也考虑了框架层与层之间的相互支援作用,同时分析过程包含考虑了框架的梁柱剪切变形的影响。对于三层以上框架,如果依然采用上述方法,得到的高次方程不便于求解,不宜推广。但可以通过下列步骤获得很精确的解:(1)采用传统的方法,即按照上下框架柱的线刚度,线性分配横梁提供的总的转动约束。由此求得各框架柱的临界荷载PCijcr。进而确定各层总的临界荷载(3)取出薄弱层与它的上下层为计算模型,模型包括三层柱四层梁,如图4。其中,由于模型顶部与底部的梁同时还对与之相邻的上层和下层提供约束,因此其线刚度需要进行折减,如顶部横梁B41、B42的线刚度应折减为:采用前述方法,可求得三层柱四层梁模型的框架柱临界荷载,从而确定薄弱层柱子的计算长度系数,以及薄弱层总的临界荷载。(4)其他各层总的临界荷载可按照等比例加载的原则确定。算例:两跨三层框架,如图4所示。梁跨Lb1=Lb2=4m,层高hc1=hc2=hc3=4m,外框柱截面为交叉斜杆腹杆体系的缀条式格构柱,柱肢截面采用[40a,双肢背到背间距400mm,腹杆与弦杆夹角为45度,腹杆截面为L100X63X6;中柱截面为交叉斜杆腹杆体系的缀条式格构柱,柱肢截面为[32a,双肢背到背间距300mm,腹杆截面以及形式与边框柱相同;框架梁截面为H300X150X6X10。材料均为Q235钢。各外框柱柱顶作用集中荷载大小为中柱集中的一半,即边框柱荷载系数χ边=0.5,中柱χ中=1。框架平面外具有足够的侧向支撑。分别采用本文的简化弹性稳定计算法计算框架结构的临界荷载,以及采用有限元程序ANSYS进行弹性稳定计算,验证本文简化计算法的精度。参考文献中给出的计算格构式柱截面属性的方法,可得外框柱截面平面内的抗弯刚度EI外为1.26×1014(N·mm2),抗剪刚度S外=1.401×108(N),弯剪线刚度比γ外=0.0562;中柱截面:EI中=4.64×1013(N·mm2),S中=1.401×108(N),γ中=0.0207;框架横梁:EI梁=1.526×1013(N·mm2),S梁=∞,γ梁=0。代入方程(16),求解得转动约束分配系数ζ=0.814、ξ=1.099。从而求得框架按等比例加载时的临界荷载:Pcr=4.895×106(N)。采用有限元程序ANSYS,计算图4所示框架的临界荷载,采用BEAM189梁单元建模,可以包含考虑梁柱剪切变形的影响。每一框架梁与柱均划分10个单元。由ANSYS计算得到的框架临界荷载为:PcrFEM=4.824×106(N)。与有限元解对比,本文提出的近似分析方法得到的计算结果,误差小于1.5%,具有非常好的精确性。本文给出的近似分析框架稳定性的方法,同时考虑了框架梁柱剪切变形的影响,框架同层各柱之间的相互支援作用,以及框架层与层之间的相互支援作用,与以往的分析方法相比,适用于更广的范围,可以采用MAPLE等数学计算分析软件,编制相应的小程序,非常方便地求得框架的临界荷载。5框架无侧移失稳和屈曲分析本文着重研究了剪切变形对于框架结构稳定性的影响,得出如下结论:(1)采用位移法,分析了框架柱内轴压力相等的框架以及轴压力不等的框架结构。分析结果表明:无论各框架柱上的轴压力大小如何分布,(前提:轴压力小于相应框架柱的无侧移失稳临界荷载),同一层各框架柱总的临界荷载始终保持不变,分析过程中考