吉林省长春市2021-2022学年高一数学下学期第一学程考试试题（解析版）

吉林省长春市2021-2022学年高一数学下学期第一学程考试试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根据复数和坐标系中的点的对应关系得到结果即可.【详解】复数对应的点的坐标为由题干得到故选：D2.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第1个零件编号是（）A.36 B.16 C.11 D.14【答案】A【解析】【分析】根据随机数表的规则读取编号．【详解】从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11．所以出来的第1个零件编号是36．故选：A3.已知，，，则（）A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算得到，从而可以获得答案.【详解】，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选：B.4.的三个内角､､满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理即得.【详解】因为，可设，由余弦定理可得.故选：B.5.若z是复数，且，则的最大值是（）A.12 B.8 C.6 D.3【答案】A【解析】【分析】利用复数模的几何意义求解即可.【详解】由已知得表示复平面内z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，而表示的是复平面内对应的点到复数对应的点（6，－8）之间的距离，其最大值为，故选：A.6.已知向量，满足，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用数量积运算律化简即得解.【详解】解：因，所以，所以.故选：D7.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为（）A.（）m B.（）mC.（）m D.（）m【答案】A【解析】【分析】先由正弦定理求出PB，然后根据三角函数定义可得.【详解】在中，，所以，由正弦定理得：，所以，树的高度为.故选：A8.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】选定为基底表示目标向量，根据已知条件确定点的位置，再用基底表示，即可利用向量的数量积求得结果.【详解】设，则，．所以解得．故故选：二､多选题（本大题共4小题，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分）9.已知为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是（）A.的模为 B.的虚部为C.对应的点位于复平面第一象限 D.的共轭复数为【答案】ABC【解析】【分析】根据复数的相关概念依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，的模为，故正确；对于B选项，的虚部为，故正确；对于C选项，，对应的点的坐标为，在第一象限，故正确；对于D选项，的共轭复数为，故错误.故选：ABC10.下列命题正确的是（）A.B.相反向量，，满足C.向量，能作为所在平面内的一组基底D.对于向量，，有不一定成立【答案】BC【解析】【分析】对于A：利用向量的减法直接求解；对于B：由直接判断；对于C：根据基底的定义直接判断；对于D：由计算可得.【详解】对于A：.故A错误；对于B：因为，相反向量，，满足.故B正确；对于C：对于向量，，因为向量与不平行，所以能作为所在平面内的一组基底.故C正确；对于D：对于向量，，有，所以.所以恒成立，故D错误.故选：BC11.有下列说法，其中错误的说法为（）A.､为实数，若，则与共线B.若､，则C.两个非零向量､，若，则与垂直D.已知向量，，若在上的投影向量为（为与向量同向的单位向量），则【答案】ABD【解析】【分析】由向量共线的性质可判断A；由零与任何向量共线，即可判断B；；根据平面向量数量积的运算律判断C；利用投影向量的概念可判断D．【详解】对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误，对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错误，对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确，对于D选项，由向量，，在上的投影向量为，∴，即，故D错误.故选：ABD.12.在中，角，，所对的对边分别为，，，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，，，则满足条件的有且仅有一个C.若，则是直角三角形D.若为锐角三角形，且.若，则外接圆面积的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】利用大角对大边以及正弦定理可判断A，利用正弦定理可判断B，利用余弦定理化角为边可判断C，利用条件可得，然后利用余弦定理及基本不等式可判断D.详解】对于A，若，则，由正弦定理可得，则，故A正确；

对于B，若，则,,因此满足条件的有两个，故B错误；

对于C，,则，整理得，故为直角三角形，故C正确；

对于D，由，可得，∴，又，∴，又为锐角三角形，∴，∴，当且仅当时，取等号，∴，由正弦定理可得，，（R为外接圆半径）可得,∴外接圆面积的最小值为，故D正确.

故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共共20分.13.计算：___________.【答案】##【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】.故答案为：.14.在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则_____________．【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形内角和定理可求，根据正弦定理即可求的值．【详解】在中，，，，则，由正弦定理可得：．故答案为：．15.某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．【答案】6【解析】【分析】先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.【详解】因为“泥塑”社团的人数占总人数的，故“剪纸”社团的人数占总人数的，所以“剪纸”社团的人数为.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为，所以“剪纸”社团中高二年级人数为.由题意知，抽样比为，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为.故答案为:616.已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为_________．【答案】##【解析】【分析】如图建立直角坐标系，设（），则（），然后表示出可求得其最大值【详解】如图建系，则、、，则，，设（），则（），则，，∴，∴，当时，取最大值．故答案为：四､解答题：本题共4小题，每小题题10分17.设、、、为平面内的四点，且，，.（1）若，求点的坐标；（2）设向量，，若与平行，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点，利用结合平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，由此可求得点的坐标；（2）求出向量与的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于实数的方程，由此可求得实数的值.【详解】（1）设，，即，则，解得，因此，点的坐标为；（2），，，，与平行，，解得.【点睛】本题考查利用向量相等求点的坐标，同时也考查了利用平面向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题.18.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式，然后利用正弦函数的性质即得；(2)根据正弦函数的性质即得.【小问1详解】∵，由，，解得，，所以函数的单调递减区间为，；小问2详解】由，则，所以，所以，所以当时，函数有最小值为0．19.西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，、是邛海水面上位于东西方向相距公里的两个观测点，现位于点北偏东、点西北方向的点有一艘渔船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距公里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为公里/小时.求：（1）观测点与点处的渔船间的距离；（2）点的救援船到达点需要多长时间？【答案】（1）公里（2）小时【解析】【分析】（1）求出的三个内角，利用正弦定理可求得的长；（2）利用余弦定理求出，结合救援船行驶的速度可求得所需时间.【小问1详解】解：在中，，，则，所以，，由正弦定理，所以，（公里）.【小问2详解】解：在中，，，，由余弦定理可得，因此，救援船所需时间为（小时）.20.如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.（1）若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图①，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；（2）若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得为正三角形，或者如图③，使得平行，且垂直，则两种方案的的面积分别设为，，则和哪一个更小？【答案】（1）百米（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出即可求得连廊的长；（2）分别表示出方案②和方案③的面积，利用三角函数求最值以及二次函数求最值即可.【小问1详解】解：点是等腰三角形的顶点，且，且由余弦定理可得：解得：又在中，，在中，由余弦