山西省太原市第三十六中学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

2023-2024学年第一学期九年级教学质量检测考试（10月月考）数学（北师）注意事项：1．本试卷考查范围：第1、2章完。本试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟。2．本试卷采用网阅形式阅卷，请将答题信息与答题过程在配套的答题卡上完成。试卷上答题无效。3．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在本试卷配套答题卡的相应的位置里．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑。）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程配方后可变形为（）A．B．C．D．3．方程的解是（）A．B．C．D．4．用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（）A．B．C．D．5．如图，在中，，D是AB的中点，，则CD的长为（）A．4B．5C．6D．86．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A、B的距离为6，A、C的距离为4，则B、D的距离是（）A．B．8C．D．7．电影《满江红》于2023年1月22日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．B．C．D．8．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．且D．且9．如图，中，，点D是AB边上的动点，过点D作边AC，BC的垂线，垂足分别为E、F连接EF，则EF的最小值为（）A．3B．2.4C．4D．2.510．如图、正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，于点E，于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．正确的有（）A①②③④B．①②③C．①②④D．①③④第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分。）11．已知m是方程的一个根，则的值为___________．12．如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，，则四边形ABCD的面积为___________．13．的两根分别为m、n，则___________．14．如图，一张长、宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为_________．15．秋天到了，人容易着凉，某班有一同学患了流感，经过两轮传染后共有49名学生患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则列方程为___________．三、解答题（本大题共8小题，75分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16．解下列方程（每小题5分，共10分）（1）（2）17．（本题8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．（1）求证：；（2）若，求的度数．18．（本题8分）某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克为了获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？19．（本题8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点B作交OE的延长线于点F，连接AF．（1）求证：四边形AOBF为矩形；（2）若，求菱形ABCD的面积．20．（本题8分）【阅读材料】若，求x，y的值．解：，，，．【解决问题】（1）已知，求的值；【拓展应用】（2）已知a，b，c是的三边长，且b，c满足，a是中最长的边，求a的取值范围．21．（本题8分）图1图2备用图（1）课本情境课本第40页第3题：如图1，已知矩形AOBC，，动点P从点A出发，以的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点P同时结束运动出发___________时，点P和点Q之间的距离是；（2）逆向发散当运动时间为时，P、Q两点的距离为_________；当运动时间为时，P、Q两点的距离为________；22．（本题11分）小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”、通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：已知：如图1．在中，D是AB边的中点，连接CD，且．求证：为直角三角形．证明：由条件可知．，则．又．．即为直角三角形．爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图2，图3两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整：图1图2图3证法一：如图2，延长CD至点E，使，连接AE，BE．证法二：如图3，分别取AC，BC边的中点E，F，连接DE，DF，EF，则DE，DF，EF为的中位线23．（本题14分）①②③探究问题：（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，连接EF，求证．感悟解题方法，并完成下列填空：将绕点A顺时针旋转得到，此时AB与AD重合，由旋转可得：，，因此，点G，B，F在同一条直线上．．，．即___________．又___________．___________，故．（2）方法迁移如图②，将沿斜边翻折得到，点E，F分别为DC，BC边上的点，且．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，E，F分别为DC，BC上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．2023—2024学年第一学期九年级教学质量检测考试10月月考数学（北师）参考答案一、选择题（共10小题）【答案】D【解答】解：A．方程是二元一次方程，选项A不符合题意；B．方程是分式方程，选项B不符合题意；C．方程是二元二次方程，选项C不符合题意；D．方程是一元二次方程，选项D符合题意．故选：D．2．【答案】C【解答】解：，，，即，故选：C．3．【答案】D【解答】解：，，或，所以，故选：D4．【答案】C【解答】解：，，，故选：C．5．【答案】A【解答】解：在中，，D是边AB的中点，，则，即．故选：A．6．【答案】C【解答】解：过点A作于E，于F，连接AC，BD交于点O，两条纸条宽度相同，，，四边形ABCD是平行四边形，，，四边形ABCD是菱形，，，，，故选：C．7．【答案】D【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，依题意得：．故选：D．8．【答案】D【解答】解：一元二次方程有实数根，，且，解得且，故选：D．9．【答案】B【解答】解：如图，连接CD，，，，，四边形CEDF是矩形，，由垂线段最短可知，当时，线段CD最小，则线段EF的值最小，此时，即，，的最小值为，故选：B．10．A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④【答案】A【解答】解：四边形ABCD是正方形，，于点E，于点F，，四边形GFCE是矩形，，，为BD的中点，，，四边形GFCE是正方形，故①正确；连接GC，四边形GFCE是矩形，，在与中，，，，故②正确；，，四边形GFCE是矩形，，，即的值为定值4，故③正确：，当CG最小时，EF最小，当时，CG最小，在中，，，，，线段EF的最小值为，故④正确；正确的有①②③④．故选：A．二．填空题（共5小题）11．【答案】．【解答】解：是方程的一个根，，即，．故答案为：．12．【答案】．【解答】解：如图，设AC与BD相交于点O，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，在中，，，，菱形ABCD的面积为．故答案为：．13．【答案】．【解答】解：由题意，根据根与系数的关系可得，．又，．14．【答案】48．【解答】解：设剪去的正方形的边长为，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为，宽为，依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去）．该纸盒的体积为；故答案为：48．15．【答案】6．【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人．依题意得，，（不合题意，舍去）．所以，每轮传染中平均一个人传染给6个人故答案为：6．三．解答题（共8小题）16．【详解】（1）分解因式得：，可得或，解得：；（2）分解因式得：，可得或，解得：；17．【答案】（1）证明见解析部分；（2）．【解答】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则，在和中，，（2），，四边形ABCD是矩形，，，，．18．【详解】设每千克应涨价x元，由题意，得，整理，得，解得或，为了使顾客得到实惠，所以．答：应该涨价5元．19．【答案】（1）证明见解析；（2）64．【解答】（1）证明：，，E是AB的中点，，在和中，，，四边形AOBF是平行四边形，四边形ABCD是菱形，，，平行四边形AOBF为矩形；（2）解：四边形ABCD是菱形，，，点E是AB的中点，，，，，，解得：（负值己舍去），，．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）每盏台灯销售价为46元，这周的销售利润为：（元），答：若每盏台灯销售价为46元，这周的销售利润为8640元；（2）设每盏台灯的销售价格为x元，由题意得：，整理得：，解得：（不符合题意舍去），，答：如果要实现每周的销售利润10000元的目标，每盏台灯的销售价格为50元．20．【答案】（1）1；（2）．【解答】解：（1），将61拆分为25和36，可得：，根据完全平方公式得，，，．（2），将61拆分为25和36，可得：，根据完全平方公式得，，，．是中最长的边，，即a的取值范围为．21．设P，Q两点出发t秒，点P和点Q之间的距离是，过点P作，（1），由勾股定理得：，解得：或，故答案为：或．（2）时，，．时，．故答案为：．22．【答案】见解析．【解答】解：证法一：