2024届湖北省宜荆荆随高三上学期10月联考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat22页2024届湖北省宜荆荆随高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算．【详解】，，，∴.故选：D．2．“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由复数的除法法则化简复数，由纯虚数的定义求出的取值，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】为纯虚数的充要条件为因此应为复数为纯虚数的充分不必要条件，故选：A．3．公差不为零的等差数列的前为项和为，若，则（

）A．8 B．12 C．16 D．9【答案】C【分析】根据等差数列的性质以及基本量计算可得解.【详解】由等差数列的性质，，又，，，，.故选：C.4．已知为钝角，，则（

）A． B． C．7 D．【答案】D【分析】利用同角公式求出，再利用差角的正切公式即可求解.【详解】由为钝角，得，，所以.故选：D5．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥，，，依题意，，解得，所以所求近视的概率为.故选：B6．已知均为正数，且，则的最小值为（

）A．11 B．13 C．10 D．12【答案】A【分析】利用基本不等式求最值即可.【详解】，当且仅当，即时，等号成立.故选：A.7．已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由椭圆定义可得，结合已知条件可得，在中，由余弦定理得为等边三角形，在中，可得，得解.【详解】

由得到，设，,在中，由余弦定理得，，解得，为等边三角形，则在中，，，又，，得，解得.故选：B.8．为三个互异的正数，满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】对于可构造函数，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得，对于，可在同一坐标系下画出函数及的图象，可得，再由不等式性质可知A正确.【详解】由得且，构造函数，所以，易得在上单调递减，在上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得，易知函数及交于点，作出函数及的图象如下图所示：

由图知所以，即，由此可得，即.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二、多选题9．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．是图象的一条对称轴D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换得，然后根据三角函数的性质逐一判断即可.【详解】由，故B正确；，故A错误；又，由正弦函数的性质可知，是图像的一条对称轴，故C正确；将的图像向左平移个单位，得，是奇函数图像关于原点对称，故D正确.故选：BCD.10．下列命题中，正确的是（

）A．已知随机变量服从正态分布，若，则B．已知，则C．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强D．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差【答案】ABD【分析】利用正态分布的对称性计算判断A；利用条件概率公式推理判断B；利用相关系数与相关性强弱的关系判断C；根据分层方差和总方差的公式可判断D.【详解】A选项，由正态曲线的性质可得，根据对称性可知，则，，故A正确；B选项，由得，即，所以事件A，B相互独立，所以结论正确；C选项，越接近于1，相关性越强，故C错误；D选项，设两层的数据分别是和，总体的平均数为，则，又，，，，总体方差.故D正确.故选：ABD.11．已知是抛物线上三个不同的点，的焦点是的重心，则（

）A．的准线方程是B．过的焦点的最短弦长为8C．以为直径的圆与准线相离D．线段的长为19【答案】AC【分析】对于A，由点在抛物线上，代入抛物线方程得出准线方程；对于B，当过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短；对于C，由重心坐标公式以及焦半径公式进行判断；对于D，由，得出的中点到准线的距离大于得出结果进行判断.【详解】对于A，由在抛物线上可得抛物线方程为，，准线方程是，故A正确；对于B，当过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，把代入，得，所以此时弦长为16，故B错误；对于C，D，设，又，，由重心的坐标公式得，即，所以的中点坐标为，因为不过焦点，所以，的中点到准线的距离为，所以C正确，D错误.故选：AC.12．如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（

）A．的取值范围是B．若与平面所成的角为，则C．的最小值为D．若三棱锥的外接球表面积为，则【答案】BCD【分析】利用空间向量数量积的定义可判断A选项的正误，利用线面角的定义可判断B选项的正误;利用的最小值及勾股定理可求出的最小值判断C，利用建系的方法计算出的外接球的半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断D选项的正误;利用锥体的体积公式可判断D选项的正误.【详解】如图，，连接，在中，，所以，因为，所以，所以的取值范围是，故A错误；连接，由于平面，所以与平面所成的角为，如图，所以，因为，所以，故B正确；设在底面的射影为，为中点，连接，则，又，则，而，所以，故，故C正确；以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，如图，则点的坐标满足，可设的坐标为，由球心在BC的中垂线（即过外接圆圆心且与底面垂直的直线）上，可设球心坐标为，因为，所以，解得，故，所以外接球的半径，所以，故D选项正确.故选：BCD.三、填空题13．已知的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为.【答案】【分析】根据二项式的性质，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以，二项式的通项公式为，令，所以展开式中的系数为，故答案为：14．暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A，B，C三个夏令营，其中营安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小涛不能在同一夏令营，则不同的安排方案有种.【答案】160【分析】利用间接法求解，即用总的安排方法减去大睿和小涛在同一夏令营的安排方法，可得答案.【详解】间接法：.故答案为：160.15．已知定义在上的函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为.【答案】【分析】根据函数的对称性，结合导数的性质进行求解即可.【详解】因为，，所以，，或，所以函数在上递减，上递增，因此当时，当时，，显然不满足，当时，，综上所述：不等式的解集为，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数判断函数的单调性，进而运用分类讨论思想进行求解.16．如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为.【答案】/【分析】设正四棱锥的底面边长为，求出正四棱锥的高，利用锥体的体积公式可得出容器的容积V（单位：）关于x（单位：m）的函数关系式，利用基本不等式求解最值.【详解】设正四棱锥的底面边长为，则高为，体积当且仅当时取等号.故答案为：.四、解答题17．已知分别是的三个内角的对边，且.(1)求角；(2)若在边上且，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一为角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式可求得结果，（2）由已知可得为中点，则，两边平方化简得，再利用基本不等式可求得，从而可求出面积的最大值.【详解】（1）由及正弦定理得因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，得，（2）因为在边上且，所以为中点，所以，两边平方得，因为，所以得到，由，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以当时，即为等边三角形时面积的最大值为18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点.(1)求证：平面平面；(2)试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）可先证平面，从而得到平面平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量后结合题设中的面面角可求，从而可得的长.【详解】（1）平面，平面，，为矩形，，又，平面，平面，平面，，，为线段的中点，，又，平面，平面，又平面，所以平面平面.（2）以A为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设，，设平面的一个法向量为，则，，令，则，，设平面的一个法向量为，则，，令，则，，平面与平面所成的锐二面角为，，解得，，即，当时，平面与平面所成的锐二面角为.19．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出函数的导数，分和讨论导数的正负，从而判断函数的单调性；（2）由题意对任意，，可变形为，只要，即对恒成立，即，对恒成立，从而将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求解函数最值即可求得答案.【详解】（1），①当时，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增；②当时，令，得，由，即在上单调递增，由，即在上单调递减，综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）时，，，令，由，在上单调递增，由，即在上单调递减，，，对成立，只要，即对恒成立，，对恒成立，令，则，且在上单调递增，上单调递减，，，.20．已知数列的前项和为，且满足：(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由，得，两式相减化简可得是以为首项，为公比的等比数列，从而可求出通项公式，（2）由题意可得，假设存在这样的三项成等比数列，则，结合已知化简可得结论.【详解】（1）由①得时②①-②得，①中令得，是以为首项，为公比的等比数列，，（2）假设存在这样的三项成等比数列，为递增数列，不妨设，则则，成等差数列，，，由，得，所以，与题设矛盾不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.21．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(1)填写完成上面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量，当时，取得最大值，求.参考公式：（其中为样本容量）0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】(1)列联表见解析，能；(2)（i）；（ii）38.【分析】（1）根据频率分布直方图完善列联表，再求出的观测值，与临界值表比对即可.（2）（i）利用条件概率公式及对立事件的概率公式计算即可；（ii）利用二项分布的概率公式，列出不等式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图知，该项指标值不小于60的频率为，有（只），则列联表如下：（单位：只）抗体指标值合计小于60不小于60有抗体100220320没有抗体404080合计140260400零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联，根据列联表中数据，得根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.025.（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠最多注射2次疫苗后产生抗体”，记事件发生的概率分别为，则，，所以一只小白鼠最多注射2次疫苗后产生抗体的概率.（ii）依题意，随机变量，因为最大，显然，且，因此，则，，解得，而是整数，所以.22．已知双曲线的离心率为2，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和的面积为.(1)求曲线的方程；(2)如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于两点，直线过且垂直于轴，直线DG,DR分别与交于两点，若四点共圆，求点的坐标.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题设有，得双曲线为，设，应用点线距离公式、共圆