2024届河北省邢台市五岳联盟高三上学期9月月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat17页2024届河北省邢台市五岳联盟高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.【详解】由题意知命题“，”为特称命题，故其否定为，，故选：B2．已知正数a，b满足，则的最小值为（

）A．13 B．16 C．9 D．12【答案】B【分析】根据结合基本不等式即可得解.【详解】因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：B.3．在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：.该运动员在时的瞬时速度（单位：m/s）为（

）A．-4 B．4 C．11 D．-11【答案】A【分析】根据导数的物理意义，求出的导数，即可求得答案.【详解】由可得，故，即该运动员在时的瞬时速度为（m/s）.故选：A4．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，不等式恒成立时，，所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.故选：D.5．函数在区间上的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据函数的奇偶性可排除AB，根据最值范围可排除D.【详解】由于，所以，所以为偶函数，故排除AB,由于，故当时，，故排除D，故选：C6．已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（

）A．2 B．－2 C．4 D．－4【答案】A【分析】判断函数和的图象关于点对称，即可判断曲线与曲线有且只有的两个交点关于点对称，结合函数图象交点与函数零点的关系，可得函数的零点之和.【详解】由题意定义域为的函数满足，则的图象关于点成中心对称，函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到，故的图象关于点成中心对称，又曲线与曲线有且只有两个交点，则这两个交点关于对称，故这两个交点的横坐标之和为2，而函数的零点即为曲线与曲线交点的横坐标，故函数的零点之和是2，故选：A7．已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．的图象关于原点对称C． D．的最小正周期是6【答案】D【分析】利用赋值法求判断AC；赋值法结合函数奇偶性的定义判断B；利用赋值法求得，化简得，即可判断D．【详解】由，令，，有，可得,故A错；因为，令，则，则，函数是偶函数，故B错误，令，则，故C错误，令，则,所以，则，，所以，则周期为6，D正确．故选：D8．不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】由题意可得，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案.【详解】解：因为,为正数，所以，所以，则有，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值为1，所以，即的最大值为1.故选：D.【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解.二、多选题9．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【详解】或，，所以或或，故A错误；，故B正确；，所以，故C错误，D正确.故选：BD.三、单选题10．下列函数满足的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令，则，结合各选项代入验证，即可判断答案.【详解】令，则，对于A，，则，即，A正确；对于B，，即不成立，B错误；对于C，，即，即，C正确；对于D，，即不成立，D错误，故选：AC四、多选题11．关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的值可以是（

）A． B． C． D．－1【答案】AD【分析】利用已知条件判断的符号，求出不等式对应方程的根，然后列出不等式求解即可．【详解】关于的不等式的解集中恰有4个整数，所以，因为时，不等式的解集中的整数有无数多个．不等式，对应的方程为：，方程的根为：和；由题意知，，则，解得；当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：0,1,2,3；满足题意．当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：,0,1,2；满足题意．当时，不等式的解集是,，此时，解集中含有5个整数：,0,1,2,3；不满足题意．当时，不等式的解集是,，，解集中含有整数个数多于4个，不满足题意．综上知，的值可以是和．故选：AD12．已知函数的最小值为2，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由指数函数单调性判断A是错误，利用导数求最小值判断CD，由不等式性质得出B的真假．【详解】选项A，若，则，是上的增函数，无最小值，A错；，由得，记，，，由选项A分析及已知得，时，，递减，时，，递增，所以时，取得极小值也是最小值，若，则，，，D正确，此时由于得，B也正确；若，则，，，从而，，不合题意（同理可证也是错误的），C错．故选：BD．五、填空题13．已知函数，则.【答案】【分析】代入即可求解.【详解】，，故答案为：14．已知函数，则.【答案】/0.4【分析】求导，代入即可求解.【详解】由得，所以，故答案为：15．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为.【答案】/【分析】求出和，继而求出和，根据曲率的计算即可得答案.【详解】因为，故，，故，故，即曲线在点处的曲率为，故答案为：六、双空题16．设函数，若，则，.【答案】/0.5198【分析】第一空，根据函数的表达式可推出，结合可得，从而可得方程，即可求得的值；第二空，利用，分组求和，即可得答案.【详解】由函数可得：，由于，故，即，所以，即；，故答案为：七、解答题17．已知全集，集合，.(1)求；(2)若，且，求a的值；(3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值.【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）求出全集和集合A，根据补集的运算即可求得答案；（2）根据元素和集合的关系即可求得答案；（3）判断C中的元素个数，确定，即可求得答案.【详解】（1）由题意知，，故；（2）由，且，可得若，则，不合题意；若，则，又，故；（3）由于，集合，C的真子集共有3个，则C中必有2个元素，故.18．已知二次函数.(1)若函数的图象与直线相交于A，B两点，其中A点的横坐标为1，B点的横坐标为5，求m的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)-1(2)【分析】（1）由题意可得方程的两根为1和5，利用根与系数的关系即可求得答案；（2）解一元二次不等式即可得答案.【详解】（1）由题意可知函数的图象与直线相交于A，B两点，A点的横坐标为1，B点的横坐标为5，故方程的两根为1和5，即的两根为1和5，故，解得，此时为，满足，故m的值为.（2）不等式即，解得或，即不等式解集为.19．已知函数，且.(1)求在上的最大值；(2)设函数，若函数在上有三个零点，求的取值范围.【答案】(1)最小值为，最大值为.(2)【分析】（1）求得，根据，求得，进而求得函数的单调区间，求得函数的最值.（2）根据题意，得到，转化为与的图象有三个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与极值，进而求得实数的取值范围.【详解】（1）解：由函数，可得，因为，可得，解得，所以且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；当，函数取得极大值；当，函数取得极小值，又由，所以函数在区间上的最小值为，最大值为.（2）解：由函数和，可得，因为函数在上有三个零点，即有三个实数根，等价于与的图象有三个不同的交点，又由，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当，函数取得极小值；当，函数取得极小值，又由当时，，当时，，要使得与的图象有三个不同的交点，可得，即实数的取值范围是.20．某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.(1)求的解析式.(2)试问如何安排甲､乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值.【答案】(1)(2)对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元【分析】（1）根据题意先求出a，b，由即可得出；（2）设，求出函数的导函数，利用导函数判断函数的单调性，进而求出的最大值.【详解】（1）由题意可得，解得.当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元，则，解得.设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为万元，则解得.故.（2）设，.当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，则.故，即对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元.21．已知函数，.(1)若的值域为，求满足条件的整数的值；(2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；（2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，，，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可.【详解】（1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含，，当时，，其值域为，不满足条件，当时，令，则函数的对称轴为，当时，，即的值域为，所以，解得，当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件，综上所述，，所以满足条件的整数的值为；（2）因为函数是定义域为的奇函数，所以，即，解得或，由函数不是常数函数，所以，经检验，符合题意，所以，即，由，，，得，，，只要即可，当时，，所以函数，则，，令，因为，所以，函数，当时，，则时，恒成立，符合题意；当时，函数的对称轴为，当时，则时，恒成立，符合题意；当，即时，则时，，所以，不等式组无解；当，即时，则时，恒成立，符合题意；当，即时，则时，，所以，解得，综上所述，的取值范围为.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，.（1）若，，有成立，则；（2）若，，有成立，则；（3）若，，有成立，则；（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.22．已知函数.(1)当时，求的图象在点处的切线方程；(2)当时，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析．【分析】（1）由导数的几何意义求解；（2）由不等式性质得，然后证明，求导（理想状态是直接求得最小值），为确定的正负，需对再次求导，然后得出的极小值点，对适当地加以范围限制，以便得出的正负，从而得出的单调性．由于证明了是定义域内的增函数，因此在证明时，可分段证明．【详解】（1），，，，又，所以所求切线方程为，即；（2）的定义域是，所以时，，设，则，设，则，设，则，所以在上是增函数，，，，，，