数学研究性学习结题报告

数学研究性学习活动结题报告高二(9)指导老师:组长:组员:高中定积分学习方法探究定积分的定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,…,△xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式:设λ=max{△x1,△x2,…,△xn}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为:其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：二、微积分的诞生微积分学的核心概念之一——极限，其理论的完善得力于19世纪柯西(1789-1857，Cauchy.A.L)和魏尔斯特拉斯(1815-1879，Weierstrass,K)的工作，但极限的观念、思想可以追溯到遥远的古代。公元前五世纪古希腊的安提丰(Antiphon)提出“穷竭法”，前四世纪由欧多克斯(前408-355,Eudoxus)作了补充和完善，他们用来求平面圆形的面积和立体的体积。公元前三世纪阿基米得(前287-212，Archimedes)用“穷竭法”求圆的面积，认为圆的面积与正内接(外切)多边形面积之差可以被“竭尽”，得圆周率约等于3.14。西方人在17世纪(1647年)时称这种没有极限步骤，但给出证明蕴含极限思想的求积方法为“穷竭法”。中国前四世纪春秋战国时代学者惠施称：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，(见《庄子·天下篇》)引出收敛的数列1/2，1/2^2，…，1/2^n，…。江泽民主席1997年访美时，指出：“我们的先人对自然界的认识已达到相当高的水平。”安提丰的“穷竭法”和惠施的“一尺之棰”都是极限思想的滥觞。至公元三世纪，三国魏人刘徽作《九章算术》注，提出“割圆术”，以圆的内接正6×2n-1(n＝1，2……)边形的面积An近似单位圆的面积π（π≈An），算到6×25＝192边形，得π≈157/50或3.14，又进一步算到6×29＝3072边形，得到一个相当于3.14159的分数。刘徽认为：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。即n愈大，π-An愈小；n→∞，π-An→0，则An→π，剩余面积可以被“竭尽”，这种思想也含有积分的雏形。刘纯称之为“无穷分割求和原理”。刘徽的工作影响较大，后来有祖冲之更好的结果。众所周知，当代专家对“割圆术”的兴趣有增无减，有钱宝琮、杜石然的文章，有李约瑟(JosephNeedham)的论述，有2000年出版的王能超的专著《千古绝技“割圆术”》。古希腊最接近积分的是阿基米得于前225年求抛物线弓形面积的工作，他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形，这三角形与剩余空间同底同高，这样无限进行下去，最后的三角形就非常小了，他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子。至11世纪宋代沈括(1031-1095)在《梦溪笔谈》中也提到“造微之术”，当代英国著名科学史专家李约瑟博士认为，他的思想和600年后微积分先驱者卡瓦列里(1598-1647，Cavalieri,B)的无穷小求和相当，沈括知道，分割的单元愈小，所求得的体积、面积愈精确。上述这些思想尽管没有导致微积分在中国诞生，但对近代(清)李善兰将西方微积分学介绍到国内，著《代微积拾级》，首创“微分”、“积分”等许多贴切的中文译名不无影响，也说明我国古代微积分的观念发端甚早，渊源很深。古代由几何问题引起极限，微积分等观念思想的萌芽的出现，所用方法本质上是静态的，只有牛顿(1642-1727，Newton,I)、莱布尼兹(1646-1716，Leibniz,G,W)在他们的先驱者所做工作的基础上，发展成动态分析的方法。笛卡儿年轻时在军队服役，那时他就孜孜不倦地研究数学，笛卡儿经过多个日日夜夜的苦思冥想，在连续梦境的第二天，“开始懂得这惊人发现的道理。”这个惊人的发现即坐标几何即今称为解析几何［6］。笛卡儿创立的解析几何就要与传统的古希腊的几何决裂，1637年他出版了名著《更好地指导推理和科学真理的方法论》(简称《方法论》)有三个附录，其一为《几何》，表达了他将代数用于几何，用方程表示曲线的思想，他着重于方程的轨迹(图形)，在曲线领域内迈了一大步。此外，他还引入了变数(变量)的思想，称一些量为“未知和未定的量”，相当于现在的变量。恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分就立刻成为必要的了。”另一位创立者费马(1601-1665，Fermat,P.de)1629年提出解析几何的基本原理，他强调的是轨迹的方程，这与笛卡儿所考虑的恰好是解析几何相辅相成的两个方面。微分的研究源于对切线，极值和运动速度等问题的处理。对于切线，早期有笛卡儿、罗贝瓦尔、托里拆利的工作。在牛顿、莱布尼兹作最后冲刺前，微分、积分的知识已积累起来，尚未有人发现更具有本质，更有普遍意义的内涵，更谈不上指出两者之间的联系，尽管巴罗已认识到微分是积分之逆，费马的工作也到了微积分创立边缘，但是，他们没有能走出这最后、最高的一步，这一步归功于牛顿、莱布尼兹。牛顿、莱布尼兹所要做的工作是创立一个具有划时代意义的新学科，应当包括：1纯洁概念。特别是建立变化率的概念。2提炼方法。把解决各种具体问题的方法加以提炼，创立有普遍意义的微积分方法。3改变形式。变概念和方法论述的几何形式为解析形式，使它应用更广。牛顿首先是物理学家，速度是中心概念，多考虑流数之逆不定积分；莱布尼兹是哲学家，着眼于物质的构成最终是微粒，故注重求和，积分为无穷多个无限窄的矩形之和，多考虑的是定积分。但他们都清楚积分的两个方面。牛顿、莱布尼兹的最大功绩是将两个貌似不相关的问题-切线问题和求积问题联系起来，建立了两者的桥梁。牛顿对微积分是先发明(1665)，后发表(1711)；莱布尼兹则后发明(1675)，先发表(1684、1686年先后发表第一篇微分学，第一篇积分学文章)，于是发生了所谓“优先权”的争论，英国数学家捍卫他们的牛顿，指责莱布尼兹剽窃，而大陆的数学家支持莱布尼兹。事实上，他们彼此独立地创立了微积分。莱布尼兹称赞牛顿：“在从世界开始到牛顿生活的全部数学中，牛顿的工作超过了一半。”三、定积分的基本性质及定理1、2、3、常数可以提到积分号前:4、代数和的积分等于积分的代数和:5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有:又由性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）也满足条件。6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则:7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点t在（a，b)内使:8、牛顿-莱布尼兹公式如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。四、定积分的简单应用方法1.基本积分表（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2.运算公式（1）（2）（3）3.基本定理（1）（2）4.常用算法（1）换元法如果有①；②x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导；③当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b；则有：(2)分部积分法设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公