数学实验 Mathematic实验三 导数

PAGEPAGE11天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称导数所属课程名称数学实验实验类型微积分实验实验日期2011.10.05班级学号姓名成绩一、实验概述：【实验目的】1.深入理解导数与微分的概念,导数的几何意义.2.掌握用Mathematica求导数与高阶导数的方法.3.深入理解和掌握求隐函数的导数,以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.4.完成数学实验报告,总结方法,增强数学思维能力.【实验原理】1.求导数命令D与求微分命令Dt.D[f,x]给出关于的导数,而将表达式中的其他变量看作常量,因此,如果是多元函数,则给出关于的偏导数.D[f,{x,n}]给出关于的阶导数或者偏导数.D[f,x,y,z]给出关于,,的混合偏导数.Dt[f,x]给出关于的全导数,将表达式中的其他变量都看作的函数.Dt[f]给出的微分.如果是多元函数,则给出的偏微分.即使表达式是抽象函数,上述命令也可以给出相应的正确结果,当然是一些抽象符号.命令D的选项Nonconstants一>{…}指出{…}内的字母是的函数.命令Dt的选项Constants一>{…}指出{…}内的字母是常数.2.解方程或方程组的命令Solve.解方程命令的格式为Solve[f[x]＝＝0,x]解方程组命令的格式为Solve[{f[x,y]＝＝0,g[x,y]＝＝0},{x,y}]执行命令后给出方程或方程组关于指定变量的解.方程中的等号要用双等号“＝＝”.如果是方程组,要用大括号将所有方程括起来,各方程之间用逗号隔开.Solve的输出形如{{x->a}}.因此,为了取出其中解的表达式a,要使用取出集合中元素的命令[[]].例如,解方程组,输入Solve[{x+y＝＝a,x-y＝＝b},{x,y}]输出为3.循环语句Do.循环语句Do的基本形式是Do[表达式,循环变量的范围]表达式中一般有循环变量,有多种方法说明循环变量的取值范围.最完整的形式是Do[表达式,{循环变量名,最小值,最大值,增量}].当省略增量时,默认增量为1.省略最小值时,默认最小值为1.例如输入Do[Print[Sin[n*x],{n,1,10}]则在屏幕上显示sin[x],sin[2x],……,sin[10x]等10个函数.【实验环境】Mathematic4二、实验内容：【实验方案】1.导数概念与导数的几何意义;2.求函数的导数与微分;3.求隐函数的导数,由参数方程定义的函数的导数;4.拉格朗日中值定理.【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1．导数概念与导数的几何意义.例3.1用定义求函数的导数.输入Clear[g]；g[x_]=x^3-3x^2+x+1；Simplify[(g[x+h]-g[x])/h]%/.h0Limit[%%,h0]Plot[{g[x],g'[x]},{x,-1,1},PlotStyle{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}]例3.2作函数的图形和在处的切线.输入Clear[f]；f[x_]=2x^3+3x^2-12x+7；plotf=Plot[f[x],{x,-4,3},DisplayFunctionIdentity]；plot2=Plot[f'[-1]*(x+1)+f[-1],{x,-4,3},PlotStyleGrayLevel[0.5],DisplayFunctionIdentity]；Show[plotf,plot2,DisplayFunction$DisplayFunction].2．求函数的导数与微分.例3.3求函数的一阶导数D[x^n,x]例3.4求函数的一阶导数,并求diff[x_]=D[Sin[a*x]*Cos[b*x],x]diff[1/(a+b)]例3.5求函数的1阶到11阶导数.输入Clear[f];f[x_]=x^10+2(x-10)^9;D[f[x],{x,2}]Do[Print[D[f[x],{x,n}]],{n,1,11}]或输入Table[D[f[x],{x,n},{x,11}]例3.6求函数与例3.4中函数的微分.输入Dt[Sin[2*x]]Dt[Sin[a*x]*Cos[b*x],Constants->{a,b}]//SimplifyDt[Sin[a*x]*Cos[b*x]]3．求隐函数的导数,由参数方程定义的函数的导数.例3.7求由方程确定的隐函数的导数.输入deq1=D[2x^2-2x*y[x]+y[x]^2+x+2y[x]+1＝＝0,x]；Solve[deq1,y'[x]]deq2=Dt[2x^2-2x*y[x]+y[x]^2+x+2y[x]+1＝＝0,x]Solve[deq2,Dt[y,x]]deq3=D[deq1,x]；Solve[{deq1,deq3},{y'[x],y''[x]}]//Simplify例3.8求由参数方程确定的函数的导数D[E^t*Sin[t],t]/D[E^t*Cos[t],t]D[%,t]/D[E^t*Cos[t],t]//Simplify4．拉格朗日中值定理例3．9函数在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件．因此存在使．可以验证这个结论的正确性．输入Clear[f]；f[x_]:=1/x^4；Solve[D[f[x],x]＝＝f[2]-f[1],x]//N【实验结论】（结果）1.利用求导命令和求微积分命令可以容易的求出导数和微积分;2.每一个导数和微积分都可以算出来;3.实验很成功.【实验小结】（收获体会）1.用Mathematic4求导数和求微积分很方便;2.可以把实验内容和实际的计算联系起来.三、指导教师评语及成绩：评语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确.成绩：指导教师签名：批阅日期：附录1：源程序实验三导数第一题Clear[f];f[x_]:=Log[Sin[x]];Solve[D[f[x],x]==0,x]//NSolve::ifun:InversefunctionsarebeingusedbySolve,sosomesolutionsmaynotbefound.{{Null(x1.5708)}}第二题Clear[f];f[x_]:=4*x^3-5*x^2+x-2;Solve[D[f[x],x]f[1]-f[0],x]//N{{x0.116204},{x0.717129}}第三题Clear[f];f[x_]:=p*x^2+q*x+r;Solve[D[f[x],x](f[b]-f[a])/(b-a),x]//N{{x0.5(a+b)}}第四题Clear[f];f[x_]:=Sin[x];Clear[F];F[x_]:=x+Cos[x];Solve[D[f[x],x]/D[F[x],x]==(f[Pi/2]-f[0])/(F[Pi/2]-F[0]),x]//NSolve::ifun:InversefunctionsarebeingusedbySolve,sosomesolutionsmaynotbefound.{{Null(x0.533458)}}第五题Clear[f];D[f[x^2],x]Clear[f];D[f[x^2],{x,2}]Clear[f];D[f[x]^2,x]Clear[f];D[f[x]^2,{x,2}]Clear[f];D[Log[f[x]],x]Clear[f];D[Log[f[x]],{x,2}]Clear[f];D[f[E^x+E^f[x]],x]Clear[f];D[f[E^x+E^f[x]],{x,2}]第六题Clear[f];f[x_]=x*Sinh[x];D[f[x],{x,100}]Clear[f];f[x_]=x^2*Cos[x];D[f[x],{x,10}]Clear[f];f[x_]=x^2*Sin[2x];D[f[x],{x,50}]第七题deq1=D[Log[x]+Exp[-y[x]/x]==E,x]Solve[deq1,y'[x]]deq1=D[ArcTan[y[x]/x]==Log[Sqrt[x^2+y[x]^2]],x]Solve[deq1,y'[x]]第八题D[Sin[t]^3,t]/D[Cos[t]^3,t]D[%,t]/D[Cos[t]^3,t]//SimplifyD[6t^2/(1+t^3),t]/D[6t/(1+t^3),t]D[%,t]/D[6t/(1+t^3),t]//Simplify附录2：实验报告填写说明1.实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.2.实验目的：目的要明确,要抓住重点,符合实验教学大纲要求.3.实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.4.实验环境：实验用的软、硬件环境.5.实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容.概括整个实验过程.对于验证性实验,要写明依据何种原理、操作方法进行实验,要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.