《经济应用数学》(谢金云 )教案 第18课-线性方程组（二）

18第18第课线性方程组及应用（二）PAGE8线性方程组及应用（二）第线性方程组及应用（二）第课18PAGE9

课题线性方程组及应用（二）——齐次线性方程组的解法、逆矩阵法解线性方程组、线性规划问题的数学模型课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握齐次线性方程组的解法。（2）学会用逆矩阵法解线性方程组。（3）熟悉线性规划问题的数学模型。思政育人目标：通过学习线性方程组的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：齐次线性方程组的相关定理教学难点：齐次线性方程组的解法、线性规划问题的数学模型教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（10min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解齐次线性方程组的解法，并通过例题讲解介绍其应用对于齐次线性方程组（6-2），有以下结论：（1）若，齐次线性方程组（6-2）有唯一零解；（2）若，齐次线性方程组（6-2）有无穷多组解，即有非零解．解线性方程组可得同解方程组为因为，所以自由变量有(个)，若取与为自由变量，则原齐次线性方程组的解为(为任意实数)．已知齐次线性方程组问当为何值时，方程组仅有零解？当为何值时，方程组有非零解？．当时，即或时，，方程组有无穷多组解，即有非零解；当时，即且时，，方程组有且仅有零解．【学生】掌握齐次线性方程组的解法【教师】讲解用逆矩阵法解线性方程组，并通过例题讲解介绍其应用当系数矩阵是可逆方阵时，可用逆矩阵法求解线性方程组．对于矩阵形式为的线性方程组，当存在时，由于，，因此有，即为线性方程组的解．令，则有，即．解矩阵方程，其中

．．所以，．例9用逆矩阵法解线性方程组解该方程组的系数矩阵为，常数矩阵为，则，即得，于是有

．因此，原线性方程组的解为【学生】学会用逆矩阵法解线性方程组学习齐次线性方程组的解法、逆矩阵法解线性方程组。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解线性规划问题的数学模型，并通过例题讲解介绍其应用由题意知，每根10m长的钢筋有3种下料方案：（1）截成3根3m长的钢筋，残料1m；（2）截成2根3m长的钢筋和1根4m长的钢筋，无残料；（3）截成2根4m长的钢筋，残料2m．设从库房中取出一批钢筋后用于以上3种下料方案的根数分别为．那么得到3m长钢筋根，4m长钢筋根，根据题意可得约束条件那么最合理的下料方案应使取最小值．因此，该线性规划问题的数学模型为，满足约束条件上述约束条件可记作“s.t.”．“s.t.”是“subjectto”的缩写，表示“在……约束条件之下”或“约束为……”．．设安排甲、乙两种产品各生产．资源约束条件为目标是使达最大值．因此，该线性规划问题的数学模型为，设，则该线性规划问题数学模型的矩阵形式为，某投资公司有一批资金用于4个项目的投资，各项目所得收益率如表

6-3

所示．根据宏观调控政策的要求，对项目甲的投资不能大于对其他3个项目投资的总和，而对项目乙和项目丙的投资要大于对项目丁的投资．试建立一个投资方案，使得该投资公司能获得最大利润．设分别表示该投资公司对甲、乙、丙、丁4个项目的投资额，为总投资额，表示投资公司对4个项目的投资占总投资的百分比数，因而该问题的数学模型为，也可以表示为，设，，则该线性规划问题数学模型的矩阵形式为，现有两个原料供给地，可分别供应60t和100t原料，且需要供给甲、乙、丙3个工厂，而这3个工厂各需要原料45t，75t，40t．已知两个原料供给地与3个工厂之间的距离（km）如表6-4所示，若每吨原料每千米的运费相同，问如何调配能使总运费最省?设为第i个原料供给地运往第j个工厂的原料吨数，则，设则该线性规划问题数学模型的矩阵形式为，通过以上例子，建立线性规划问题的数学模型可以总结为，其矩阵形式为（6-3）（6-4）任何满足约束条件的有序数集都可称为线性规划问题的，所有可行解构成的集合称为．使目标函数S取得最小（大）值的可行解称为，此时S的值称为．【学生】熟悉线性规划问题的数学模型学习线性规划问题的数学模型。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家认识了n元非齐次线性方程组和n元齐次线性方程组，了解了同解方程组的相关定理，掌握了非齐次线性方程组的解法，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题6.2第1题的（3）～（6）小题、第2～3题，以及