热传导和扩散问题的傅里叶解

第八章热传导方程的傅里叶解第一节热传导方程和扩散方程的建立8.1.1热传导方程的建立推导热传导方程和前面弦振动所用的数学办法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。热传导的傅里叶实验定律：设有一块持续的介质，选定一定的坐标系，并用表达介质内空间坐标为的一点在t时刻的温度。若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的沿x方向的空间变化率成正比，即（8-1.1）q称为热流密度，k称为导热系数。公式中的负号表达热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有，，或即热流密度矢量与温度梯度成正比。下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度。第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到一段微元长度，在t届时间内温度的变化。第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为，比热为c，热传导系数为k。第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t届时间内吸取的热量为：（8-1.2）在t届时间内，同过x位置处的横截面的热量为：（8-1.3）在t届时间内，同过位置处的横截面的热量为：（8-1.4）如果在微元段内有其它的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为，则该热源在微元内产生的热量为：（8-1.5）第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应当等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。即得到：令，则得到热传导方程为（8-1.6）当介质内部无其它热源时，热传导方程是齐次的，为（8-1.7）8.1.2扩散方程的建立扩散问题研究的是杂质在其它介质中的浓度分布，得到的扩散方程与热传导方程有完全同样的形式。过程略。8.1.3热传导问题的定解条件与弦的振动同样，其定解条件涉及边界条件和初始条件。初始条件为：已知初始时刻细杆上各点的温度分布其边界条件有三种：第一边界条件：已知细杆端点的温度或者。第二边界条件：已知通过端点的热量，即已知端点的。例如：当介质x=0端和外界绝热，此时。第三边界条件：例如，已知端点x=l与某种介质按热传导中的牛顿实验定律进行着热量交换，已知端点的温度为，与其接触的介质的温度为，有牛顿实验定律懂得：在单位时间内由端点x=l流入介质的热量为由傅里叶实验定律可知，在单位时间内，端点x=l流出热量为：由，就能够得出第三边界条件为其中，k为热传导系数，h为热交换系数。第二节混合问题的傅里叶解8.2.1混合问题的解对于有界杆的热传导问题，我们先考虑齐次方程和齐次边界条件下的混合问题。即：第一步,分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。令将此代入泛定方程（8-2.1），得到两个常微分方程：（8-2.4）（8-2.5）第二步，将原来的边界条件转化为的边界条件。将此代入边界条件，得的边界条件：，（8-2.6）第三步,求解本征值问题通过讨论分析得出只有时，方程（8-2.5）的解才故意义。因此，时解（8-2.5）式得.将这个通解代入边界条件（8-2.6），就有即于是，即.得到本征值：对应的本征函数是：第四步,求特解，并进一步叠加出普通解：对于每一种本征值，解（8-2.5）式得出对应的:.得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:.得到方程的普通解为（8-2.7）第五步,运用本征函数的正交性拟定叠加系数：现在根据初始条件中的已知函数定出叠加系数，将上面的普通解代入初始条件，并运用本征函数的正交性得到系数为（8-2.8）公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。第三节初值问题的傅里叶解8.3.1运用傅里叶积分求出热传导的初值问题对于无穷长一维介质上的热传导问题，能够表达为解：令代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：（8-3.3）（8-3.4）解式（8-3.3）得到：（8-3.5）由公式（8-3.5）能够看出：当时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此，，令。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与有关系的一系列解，记为（8-3.6）解式（8-3.4）得到：于是得到热传导的一系列解为（8-3.7）由于这里的没有边界条件的限制，所觉得任意实数值。则的普通解为公式（8-3.7）对全部值对应解的叠加，由于为持续实数，因此，的普通解为公式（8-3.7）对从到进行积分。即（8-3.8）把初始条件代入上式得到：（8-3.9）其中傅里叶系数：（8-3.10）（8-3.11）把公式（8-3.10）与（8-3.11）带入公式（8.3-9）得到：（8-3.12）运用，得出因此，能够写为（8-3.12）8.3.2热传导傅里叶解的物理意义细杆上位置的点热源在整个细杆上引发的温度分布为：解（8-3.12）式能够看作是由各个瞬时点热源引发的温度分布的叠加。第四节一端有界的热传导问题8.4.1左端有界热传导定解问题的解办法1：直接用分离变量法求解。解：令将此代入泛定方程（8-4.1），得到两个常微分方程：（8-4.4）（8-4.5）将此代入边界条件（8-4.2），得到：（8-4.6）解式（8-4.4）得到：（8-4.7）由公式（8-4.7）能够看出：当时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此，，令。（8-4.4）和（8-4.5）的解为与有关系的一系列解，记为（8-4.8）解式（8-4.5）得到：把边界条件（8-4.6）代入上式得到：，因此于是得到热传导的一系列解为（8-4.9）由于这里的没有边界条件的限制，所觉得任意实数值。则的普通解为公式（8-4.9）对全部值对应解的叠加，由于为持续实数，因此，的普通解为公式（8-4.9）对从到进行积分。即（8-4.10）把初始条件代入上式得到：（8-4.11）得出：（8-4.12）把公式（8-4.12）带入公式（8-4.10）得到：（8-4.13）运用，得出因此，能够写为（8-4.14）办法2：把半无界拓展为无界如何拓展？先看无界热传导问题在坐标原点的温度分布含有什么样的特点。由第三节可知，无界热传导问题的解为在点，有：当为奇函数时，满足第一类齐次边界条件。当为偶函数时，满足第二类齐次边界条件。因此：（1）当半边界为第一类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：则其解为把第二项积分变量和区间变为0-，则（2）当半边界为第二类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：则其解为把第二项积分变量和区间变为0-，则非齐次偏微分方程的求解齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离法中起着核心的作用：由于方程和边界条件是齐次的，分离变量法才得以实现。如果定解问题中的方程和边界条件不是齐次的，尚有无可能应用分离变量法呢？在第七章弦的振动问题中针对非齐次边界条件先要进行齐次化解决，才干用分离变量法已经进行了分析阐明。对于非齐次方程的解法在这里详加分析阐明。例如：强迫振动的定解问题：该弦的振动位移能够认为是由三部分干扰引发的：第一部分是由初始位移和初始速度引发的振动；第二部分是由边界条件干扰引发的振动；第三部分是由强迫力干扰引发的振动。因此，求解上述问题强迫振动问题，能够转化为求解下面三个定解问题：=1\*ROMANI:=2\*ROMANII:=3\*ROMANIII:设方程=1\*ROMANI的解为，方程=2\*ROMANII的解为，方程=3\*ROMANIII的解为，则原定解问题的解为以上三个定解问题解的和，即方程=1\*ROMANI直接用分离变量法求解；方程=2\*ROMANII为非齐次边界条件，先将边界条件齐次化后用分离变量法求解。下面研究方程=3\*ROMANIII的解法。基本解法一将未知解展开为本征函数法该办法的前提条件是必须懂得对应齐次方程的本征函数，第七章第四节“非齐次方程的求解”例题用该办法求解，但最后落脚点还是非齐次常微分方程，非齐次常微分方程的解法用冲量法（基本办法三）或积分变换法（拉普拉斯变换法或傅里叶变换法）。基本解法二非齐次方程齐次化找出特解令，保持原有的齐次边界条件不变，使得满足：则满足常微分方程的边值问题：该办法的核心在于找出特解，合用于比较简朴的情形。第七章习题第11题、第14题为非齐次方程，其中的自由项比较简朴，能够用该办法求解。第七章第11题：分析：由于方程（1）的非齐次项知识x的函数，就能够把特解函数也取为只是x的函数，即令其中满足：（4）式的解两次积分很容易求出来。求出后，再求的定解问