新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 知识点易错点解题方法提炼汇总

第二章一元二次函数、方程和不等式TOC\o"1-4"\h\z\u2.1等式性质与不等式性质 -1-2.2基本不等式 -6-第一课时基本不等式 -6-第二课时基本不等式与最大值、最小值 -9-2.3二次函数与一元二次方程、不等式(1) -15-2.3二次函数与一元二次方程、不等式(2) -22-2.1等式性质与不等式性质知识点一实数a、b大小设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B，那么A、B的位置与a、b的大小有什么关系？知识梳理关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也对，这个基本事实可以表示为a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．知识点二等式的基本性质如果a＝b，那么a±c与b±c、ac与bc、eq\f(a,c)与eq\f(b,c)相等吗？知识梳理等式有下面的基本性质：性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点三不等式的性质如果a＞b，那么a±c与b±c，ac与bc有什么关系？知识梳理性质别名性质内容注意1对称性a＞b⇔b＜a⇔2传递性a＞b，b＞c⇒a＞c⇒3可加性a＞b⇔a＋c＞b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＞0))⇒ac＞bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＜0))⇒ac＜bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＞d))⇒a＋c＞b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0,c＞d＞0))⇒ac＞bd同向7可乘方性a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N*，n≥2)同正解题方法探究探究一作差法比较大小[例1]设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．[解析](x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝(x－y)(－2xy)．由于x＜y＜0，所以x－y＜0，－2xy＜0，所以(x－y)(－2xy)＞0，即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．探究二用不等式的性质证明不等式[例2][教材P42例2拓展探究](1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d)，又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).(2)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．[证明]eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(ab＋m－ba＋m,bb＋m)＝eq\f(ma－b,bb＋m)，∵b＞a＞0，m＞0，∴a－b＜0，eq\f(ma－b,bb＋m)＜0，∴eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m).利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．探究三求表达式的范围[例3]已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求x＋y，x－3y及eq\f(x,x－3y)的范围．[解析]因为30＜x＜42,16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66.又30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6.又30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以－eq\f(1,6)＜eq\f(1,x－3y)＜－eq\f(1,42)，所以0＜eq\f(1,42)＜－eq\f(1,x－3y)＜eq\f(1,6)，所以eq\f(30,42)＜－eq\f(x,x－3y)＜eq\f(42,6)，故－eq\f(42,6)＜eq\f(x,x－3y)＜－eq\f(30,42)，得－7＜eq\f(x,x－3y)＜－eq\f(5,7).根据某些代数式的范围求其它代数式的范围，要整体应用已知的代数式，结合不等式的性质进行推理.易错点归纳一、借不等式性质之根“移花接木”——不等式性质的拓展1．由不等式性质4：a＞b，c＞0，那么ac＞bc拓展为倒数性质：若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞b,ab＞0))，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).证明：∵ab＞0，∴eq\f(1,ab)＞0由a＞b得a×eq\f(1,ab)＞b×eq\f(1,ab).∴eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).2．由性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn.(n∈N且n≥1)．拓展为开方性质：如果a＞b＞0，那么eq\r(n,a)＞eq\r(n,b).(n∈N且n≥2)．证明：假设0＜eq\r(n,a)≤eq\r(n,b).由性质7得(eq\r(n,a))n≤(eq\r(n,b))n∴a≤b与a＞b矛盾．∴eq\r(n,a)＞eq\r(n,b).[典例]已知a＞b＞0，求证eq\r(a)＞eq\r(b).[证明]∵a＝(eq\r(a))2，b＝(eq\r(b))2.由a＞b得：(eq\r(a))2＞(eq\r(b))2＞0∴eq\r(a)＞eq\r(b).二、同样正确用不等式性质，差别这么大[典例]已知1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，求4a－2b的范围．[解析]设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4,n－m＝－2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝1))，∴4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4∴5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10∴4a－2b范围是[5,10]．纠错心得(1)使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．(2)注意同一个问题中应用同向不等式相加性质时不能多次使用(因多次使用时取等号的条件会发生改变)，否则不等式范围将会扩大．2.2基本不等式第一课时基本不等式知识点基本不等式(1)对∀a、b∈R.a2＋b2与2ab的大小如何？在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.可得到CD＝eq\r(ab)，eq\f(1,2)AB＝eq\f(a＋b,2)，由CD小于或等于圆的半径，可得出什么样的不等关系？知识梳理(1)∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)如果a＞0，b＞0，我们用eq\r(a)，eq\r(b)分别代替上式中的a，b，可得eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，①当且仅当a＝b时，等号成立．通常称不等式①为基本不等式(basicinequality)．其中，eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．解题方法探究探究一用基本不等式判断不等式的成立[例1]有下列式子：①a2＋1＞2a；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2；③eq\f(a＋b,\r(ab))≥2；④x2＋eq\f(1,x2＋1)≥1，其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[解析]∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，故①不正确；对于②，当x＞0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x＋eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x＜0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－x－eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1，则eq\f(a＋b,\r(ab))＝－2＜2，故③不正确；对于④，x2＋eq\f(1,x2＋1)＝x2＋1＋eq\f(1,x2＋1)－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．∴选C.[答案]C利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b＞0.探究二用基本不等式证明不等式[例2][教材P44由公式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的证明过程探究](1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.[证明]∵a2＋b2≥2abb2＋c2≥2bcc2＋a2≥2ac.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号)∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(2)已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：eq\f(bc,a)＋eq\f(ac,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.[证明]∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\f(bc,a)＞0，eq\f(ac,b)＞0，eq\f(ab,c)＞0.则eq\f(bc,a)＋eq\f(ac,b)≥2eq\r(\f(abc2,ab))＝2c，eq\f(bc,a)＋eq\f(ab,c)≥2b，eq\f(ac,b)＋eq\f(ab,c)≥2a.由不等式的性质知，2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)＋\f(ac,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，∴eq\f(bc,a)＋eq\f(ac,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．易错点归纳一、千变万化，不离其宗基本不等式的几种常见变形及结论(1)a＋b≥2eq\r(ab)(a＞0，b＞0)；(2)ab≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，(a，b∈R)；(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)；(5)a＋eq\f(k,a)≥2eq\r(k)(a＞0，k＞0)；(6)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a，b都是正实数)．[典例]已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求证：eq\r(ab)＋eq\r(ac)＋eq\r(bc)≤1.[证明]∵eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，eq\r(bc)≤eq\f(b＋c,2)，eq\r(ac)≤eq\f(a＋c,2)，∴eq\r(ab)＋eq\r(ac)＋eq\r(bc)≤eq\f(2a＋b＋c,2)＝1.故原不等式成立．二、忽视基本不等式的条件[典例]设y＝x＋eq\f(1,x)，求y的取值范围．[解析]当x＞0时，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2.当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取“＝”．当x＜0时，y＝x＋eq\f(1,x)＝－[(－x)＋eq\f(1,－x)]∵(－x)＋eq\f(1,－x)≥2∴－[(－x)＋eq\f(1,－x)]≤－2.当且仅当x＝eq\f(1,x)时，即x＝－1时取“＝”．∴y的取值范围为{y|y≤－2或y≥2}．第二课时基本不等式与最大值、最小值知识点基本不等式求最大值、最小值(1)当x＞0，y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是几？(2)当x＞0，y＞0，x＋y＝1，xy的最大值是几？知识梳理(1)用基本不等式求最值．①设x，y为正实数，若x＋y＝s(s为定值)，则当x＝y＝eq\f(s,2)时，积xy有最大值为eq\f(s2,4).②设x，y为正实数，若xy＝p(p为定值)，则当x＝y＝eq\r(p)时，和x＋y有最小值为2eq\r(p).(2)基本不等式求最值的条件①x，y必须是正数．②求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．③等号成立的条件是否满足．解题方法探究探究一用基本不等式求最值[例1][教材P45例1探究拓展](1)若x＞0，求函数y＝x＋eq\f(4,x)的最小值，并求此时x的值；[解析]∵x＞0.∴x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋eq\f(4,x)(x＞0)在x＝2时取得最小值4.(2)设0＜x＜eq\f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；[解析]∵0＜x＜eq\f(3,2)，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq\f(9,2).当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)时，等号成立．∵eq\f(3,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，∴函数y＝4x(3－2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))的最大值为eq\f(9,2).(3)已知x＞2，求x＋eq\f(4,x－2)的最小值；[解析]∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，当且仅当x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．∴x＋eq\f(4,x－2)的最小值为6.(4)已知x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．[解析]∵x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝6＋10＝16，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.应用基本不等式的常用技巧(1)常值代替这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值”和“已知eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．(2)构造不等式当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．(3)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．探究二基本不等式的实际应用[例2]如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝eq\f(3,40)v2＋eq\f(5,8)v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？[解析](1)T＝eq\f(s＋25＋5,v)＝eq\f(\f(3v2,40)＋\f(5v,8)＋30,v)＝eq\f(3v,40)＋eq\f(30,v)＋eq\f(5,8).(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．∵T＝eq\f(3v,40)＋eq\f(30,v)＋eq\f(5,8)≥2eq\r(\f(30,v)·\f(3v,40))＋eq\f(5,8)＝eq\f(29,8)，当且仅当eq\f(3v,40)＝eq\f(30,v)，即v＝20时取等号．∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．易错点归纳一、用基本不等式求最值的策略1．配凑以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x)＝ax＋b＋eq\f(e,cx＋d)的函数求最值时可以考虑配凑法．[典例]函数y＝eq\f(x2,x＋1)(x＞－1)的最小值为________．[解析]因为y＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2，因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以y≥2eq\r(1)－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．[答案]02．常值代换利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by(或eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))为定值，求cx＋dy(或eq\f(c,x)＋eq\f(d,y))的最值(其中a，b，c，d均为常参数)”时可用常值代换处理．[典例]若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是()A．2 B．3C．4 D．5[解析]由3x＋y＝5xy，得eq\f(3x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq\f(1,5)(eq\f(3,y)＋eq\f(1,x))＝eq\f(1,5)(4＋9＋eq\f(3y,x)＋eq\f(12x,y))≥eq\f(1,5)(4＋9＋2eq\r(36))＝5，当且仅当eq\f(3y,x)＝eq\f(12x,y)，即y＝2x时，等号成立，故4x＋3y的最小值为5.[答案]D3．探究通过换元法使得问题的求解得到简化，从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理，然后利用常值代换及基本不等式求最值．[典例]设x，y是正实数，且x＋y＝1，则eq\f(x2,x＋2)＋eq\f(y2,y＋1)的最小值为________．[解析]令x＋2＝m，y＋1＝n，则m＋n＝4，且m＞2，n＞1，所以eq\f(x2,x＋2)＋eq\f(y2,y＋1)＝eq\f(m－22,m)＋eq\f(n－12,n)＝eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)－2＝(eq\f(4,m)＋eq\f(1,n))(eq\f(m,4)＋eq\f(n,4))－2＝eq\f(m,4n)＋eq\f(n,m)－eq\f(3,4)≥2eq\r(\f(m,4n)·\f(n,m))－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,4n)＝\f(n,m)，,m＋n＝4))即m＝eq\f(8,3)，n＝eq\f(4,3)时取等号．所以eq\f(x2,x＋2)＋eq\f(y2,y＋1)的最小值为eq\f(1,4).[答案]eq\f(1,4)4．减元当题中出现了三个变元，我们要利用题中所给的条件构建不等关系，并减元，在减元后应注意新元的取值范围．[典例]已知x，y，z均为正实数，且x－2y＋3z＝0，则eq\f(y2,xz)的最小值为________．[解析]由x－2y＋3z＝0得y＝eq\f(x＋3z,2)，所以eq\f(y2,xz)＝eq\f(x2＋9z2＋6xz,4xz)＝eq\f(x,4z)＋eq\f(9z,4x)＋eq\f(3,2).又x，z均为正实数，所以eq\f(x,4z)＞0，eq\f(9z,4x)＞0，所以eq\f(y2,xz)＝eq\f(x,4z)＋eq\f(9z,4x)＋eq\f(3,2)≥2eq\r(\f(x,4z)·\f(9z,4x))＋eq\f(3,2)＝3，当且仅当eq\f(x,4z)＝eq\f(9z,4x)即x＝3z时取等号．所以eq\f(y2,xz)的最小值为3.[答案]3二、忽视基本不等式的应用条件[典例]已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n＞0)．则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()A．3 B．2eq\r(2)C.eq\f(3＋2\r(2),2) D.eq\f(3－2\r(2),2)[解析]由题意得eq\f(m,2)＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))(eq\f(m,2)＋n)＝eq\f(3,2)＋eq\f(m,2n)＋eq\f(n,m)≥eq\f(3,2)＋2eq\r(\f(1,2))＝eq\f(3＋2\r(2),2)，当且仅当eq\f(m,2n)＝eq\f(n,m)即m＝eq\r(2)n时取等号．故选C.[答案]C纠错心得应用基本不等式求最值时，必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序．本题中求出eq\f(m,2)＋n＝1后，若采用两次基本不等式，有如下错解：eq\f(m,2)＋n＝1≥2eq\r(\f(mn,2))，所以eq\r(mn)≤eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,\r(mn))≥eq\r(2)，①又eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)≥2eq\r(\f(1,mn))，②所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)≥2eq\r(2).选B.此错解中，①式取等号的条件是eq\f(m,2)＝n，②式取等号的条件是eq\f(1,m)＝eq\f(1,n)即m＝n，两式的等号不可能同时取得，所以2eq\r(2)不是eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值．2.3二次函数与一元二次方程、不等式(1)知识点一一元二次不等式的概念我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么什么是不等式x2＞1的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x2＞1的解集吗？知识梳理(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(quadricinequalityinoneunknown)．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.(2)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．即一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．知识点二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系函数y＝x2－1的零点与方程x2－1＝0及不等式x2－1＞0解之间有什么关系？知识梳理(1)Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅(2)不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法eq\x(将原不等式化成ax2＋bx＋c＞0a＞0的形式)eq\x(计算Δ＝b2－4ac的值)Δ＞0eq\x(\a\al(方程ax2＋bx＋c＝0有,两个不相等的实数根，,解得x1，x2x1＜x2))eq\x(\a\al(原不等式的解集为,{x|x＜x1，或x＞x2}))Δ＝0eq\x(\a\al(方程ax2＋bx＋c＝0有,两个相等的实数根，解得x1＝,x2＝－\f(b,2a)))eq\x(\a\al(原不等式的解集为,{x|x≠－\f(b,2a)))Δ＜0eq\x(\a\al(方程ax2＋bx＋c＝0,没有实数根))eq\x(原不等式的解集为R)解题方法探究探究一一元二次不等式的解法[例1]解下列不等式．(1)－x2＋2x－eq\f(2,3)＞0；(2)－eq\f(1,2)x2＋3x－5＞0；(3)4x2－18x＋eq\f(81,4)≤0.[解析](1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2＜0，∵3＞0，Δ＝36－24＝12＞0，且方程3x2－6x＋2＝0的根是x1＝1－eq\f(\r(3),3)，x2＝1＋eq\f(\r(3),3).∴原不等式的解集是{x|1－eq\f(\r(3),3)＜x＜1＋eq\f(\r(3),3)}．(2)不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0，∴原不等式的解集为∅.(3)不等式可化为16x2－72x＋81≤0，即(4x－9)2≤0，∵4x－9＝0时，x＝eq\f(9,4).∴原不等式的解集为{x|x＝eq\f(9,4)}.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.探究二含参数的一元二次不等式[例2]解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．[解析]原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0.当a＜0时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}；当a＝0时，x2＞0，原不等式的解集为{x|x≠0}；当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}；当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}；当a＞1时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}．综上所述：当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}；当a＝0时，解集为{x|x≠0}；当a＝1时，解集为{x|x≠1}．解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．探究三三个二次之间的关系[例3][教材P52例1、例2的拓展探究](1)已知解集求函数若不等式y＝ax2－x－c＞0的解集为(－2,1)，则函数的图象为()[解析]因为不等式的解集为(－2,1)，所以a＜0，排除C，D；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.[答案]B(2)已知方程的根或函数零点求不等式若函数y＝x2－ax＋1有负数零点，则a的范围为________．[解析]有零点，∴Δ＝a2－4≥0，∴a≥2或a≤－2，∵f(0)＝1，要使x2－ax＋1＝0有负根，则对称轴x＝eq\f(a,2)＜0，即a＜0.∴a≤－2.[答案]a≤－2(3)已知解集求不等式已知x2＋px＋q＜0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0.[解析]由已知得，x1＝－eq\f(1,2)，x2＝eq\f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的根，∴－p＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)，q＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，∴p＝eq\f(1,6)，q＝－eq\f(1,6).∵不等式qx2＋px＋1＞0，∴－eq\f(1,6)x2＋eq\f(1,6)x＋1＞0，即x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3，故不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．易错点归纳分久必合——分类讨论思想解含参数不等式含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决．(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论．1．讨论二次项系数型为主当二次项系数为字母时，首先要讨论二次项系数是否为0，若二次项系数为0，则该不等式变为一次不等式；若二次项系数不为0，解集则与二次项系数的正负相关．[典例]解关于x的不等式，ax2＋(1－a)x－1＞0.[解析]原不等式化为(x－1)(ax＋1)＞0(1)当a＝0时，原不等式为x－1＞0，∴x＞1，(2)当a＞0时，原不等式为(x－1)(x＋eq\f(1,a))＞0.两根为1与－eq\f(1,a)且1＞－eq\f(1,a)，∴得x＞1或x＜－eq\f(1,a)；(3)当a＜0时，原不等式化为(x－1)(x＋eq\f(1,a))＜0两根为1与－eq\f(1,a)，又∵当－1＜a＜0时，－eq\f(1,a)＞1，∴得1＜x＜－eq\f(1,a).当a＝－1时，不等式为(x－1)2＜0，解集为∅，当a＜－1时，－eq\f(1,a)＜1，∴得－eq\f(1,a)＜x＜1.综上，当a＞0时，解集为{x|x＞1，或x＜－eq\f(1,a)}；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当－1＜a＜0时，解集为{x|1＜x＜－eq\f(1,a)}；当a＝－1，解集为∅；当a＜－1时，解集为{x|－eq\f(1,a)＜x＜1}．规律总结解二次项含参数的一元二次不等式一定要对参数大于0，等于0和小于0展开讨论．2．讨论判别式型为主当二次不等式中有字母，且不易观察出所对应方程是否有实根，此时应对方程有无实根进行讨论．[典例]解关于x的不等式：2x2＋ax＋2＞0.[解析]Δ＝a2－16＝(a－4)(a＋4)．(1)当a＞4或a＜－4时，Δ＞0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝eq\f(1,4)(－a－eq\r(a2－16))，x2＝eq\f(1,4)(－a＋eq\r(a2－16))．原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,4)－a－\r(a2－16)或x＞\f(1,4)－a＋\r(a2－16))))).(2)当a＝±4时，Δ＝0，方程只有一根x＝－eq\f(a,4)，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠－\f(a,4))))).(3)当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无根，∴原不等式的解集为R.规律总结若一元二次方程判别式符号不确定，应分Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0讨论．3．讨论根的大小型为主当一元二次不等式中有字母，而导致根的大小不易区别时，应通过作差法，由根的大小确定字母范围．[典例]解关于x的不等式：x2－2x＋1－a2≥0.[解析]原不等式等价于(x－1－a)(x－1＋a)≥0.①当a＞0时，1＋a＞1－a，所以原不等式的解集为{x|x≥1＋a，或x≤1－a}．②当a＝0时，原不等式的解集为全体实数R.③当a＜0时，1－a＞1＋a，原不等式的解集为{x|x≥1－a，或x≤1＋a}．规律总结当不等式对应方程根的大小不确定时，必须讨论根的大小，以确定不等式的解集．在解关于含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程是否有根的讨论：二根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.2.3二次函数与一元二次方程、不等式(2)知识点一分式不等式的解法不等式eq\f(1,x)＞1与x＜1等价吗？eq\f(1,x)＞1的解集应是什么？知识梳理一般的分式不等式的同解变形法则(1)eq\f(fx,gx)＞0⇔f(x)·g(x)＞0；(2)eq\f(fx,gx)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0；))(3)eq\f(fx,gx)≥a⇔eq\f(fx－agx,gx)≥0.知识点二一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立问题(1)∀x∈R，x2－c＞0，c取何值？(2)∀x∈R，ax2＋1＞0，a取何值？知识梳理一元二次不等式恒成立的情况：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,Δ＜0))；(2)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0,Δ≤0)).解题方法探究探究一解简单的分式不等式[例1]解不等式．(1)eq\f(x＋2,1－x)＜0；(2)eq\f(x＋1,x－2)≤2.[解析](1)由eq\f(x＋2,1－x)＜0，得eq\f(x＋2,x－1)＞0.此不等式等价于(x＋2)(x－1)＞0.∴原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．(2)法一：移项，得eq\f(x＋1,x－2)－2≤0，左边通分并化简，得eq\f(－x＋5,x－2)≤0，即eq\f(x－5,x－2)≥0，它的同解不等式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x－5≥0，,x－2≠0，))∴x＜2或x≥5.原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．法二：原不等式可化为eq\f(x－5,x－2)≥0.此不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5≥0，,x－2＞0，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5≤0，,x－2＜0.))②解①，得x≥5.解②，得x＜2.∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}.1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分