锐角三角函数 省赛获奖

1.1锐角三角函数(1)α=30O40米1.7米EDCAB情景引入

为了测量一座古塔的高，在塔前方40m处，用测角器测得塔的仰角为300，测角器高1.7m，求此塔的高；α=50O19米1.7米EDCAB情景引入

为了测量一座古塔的高，在塔前方19m处，用测角器测得塔的仰角为500，测角器高1.7m，求此塔的高；小红出发地小强出发地情景引入A30°BC45°D西坡东坡小红小强小红在上山过程中，下列那些量是变量和常量(坡角，上升高度，所走路程)？自主探索她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值变化吗？小强呢?当锐角为50°时，这个比值还是一个确定的值吗？西坡A30°BCHD45°BCD东坡EF东坡BCD50°HG当锐角为30°时，上升高度与所走路程的比值是．当锐角为45°时，上升高度与所走路程的比值是．

动手实验已知一个50o的∠MAN,在边AM上任意取一点B，作BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１毫米),再计算的值(结果保留2个有效数字),并将所得的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？AMN50O发现规律对于每一个确定的锐角α，在角的边上任意取一点B作BC⊥AC于点C，比值是一个确定的值．ABC比值只随着锐角的变化而变化．

与点B在角的边上的位置无关.那么，比值呢？

一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比值都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关，因此，比值都是锐角α的三角函数。ACB定义三角函数的由来“三角学”一词，是由希腊文三角形与测量二字构成的，原意是三角形的测量，也就是解三角形．后来范围逐渐扩大，成为研究三角函数及其应用的一个数学分支．

三角测量在我国出现的很早．据记载，早在公元前两千年，大禹就利用三角形的边角关系，来进行对山川地势的测量．比值叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.

比值叫做∠α的余弦(cosine)

，记做cosα.即cosα=比值叫做∠α的正切(tangent)

，记做tanα.即tanα=感悟定义即sinα=注意：1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写．2、sinα、

cosα、

tanα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.锐角α的正弦，余弦和统称∠α的三角函数（trigonmetricfunction）如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有sinA=cosA=tanA=

你能求出sinA与cosA的取值范围吗？0<sinA<1，0<cosA<1.那么∠B呢？已知直角三角形中的两边或两边之比，就能求出锐角三角函数值．解后语：1.如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12.判断：（1）sinA=（）（2）tanB=（）ABC2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.⑴

若BC=8,AB=17,求sinA,cosA,tanA的值;⑵

若BC︰AB=5︰17,求sinA,cosA,tanA的值;⑶若sinA=,求sinB的值.

AB

C√×用一用3、如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠,若AB=5，BC=3.(2)请求出∠B的正弦、余弦和正切的值.(1)求∠A的正弦、余弦和正切的值；CAB５3(3)观察(1)(2)中的计算结果,你发现了什么?当∠A+∠B=90°时,sinA=cosB,cosA=sinB,tanA·tanB=1.用一用4、⑴在如图所示的格点图中，请求出锐角α的三角函数值;⑶以射线AB为始边任意作锐角∠DAB，并求出它的正切值；请组内比较，谁画出的锐角的正切值最大？BCAα⑵如图，请你以射线AB为始边作锐角∠CAB，使它的正切值为;用一用5、如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论正确的是（）A．sinA=B．sinA=C．sinA=D.以上结论都不正确CAB3５D6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于D，若BD=2，BC=3．则sinA=

.3DBCA27.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定8.已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则sinA

sinB;(2)若sinA=sinB,则∠A

∠B.ABC┌C==200ACB┌例1、如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求BC的长.解：∵∠B=900∴sinA==0.6∴BC=0.6AC=120例2、在Rt△ABC中，∠C为Rt∠，求证：sin２A+cos2A=1ABC┌证明：∵∠C=Rt∠AC2+BC2=AB2∴sinA=，cosA=提示:过点A作AD垂直于BC于D.556ABC┌D练一练1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.2、如图,∠C=90°CD⊥AB.求sinB；3、在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.┍┌ACBD练一练谈谈今天的收获畅所欲言

AB

C∠A的对边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边tanAcosA∠A的邻边∠A的对边斜边sinA斜边斜边回味无穷定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA,是一个完整的符号,表示∠A的三角函数,习惯省去“∠”号；3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA,的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.540xy163243B5211、在平面坐标系第一象限内是否存在点P，使得OP=4,sin∠POB＝0.5．求点P的坐标,并求出OP所在直线的解析式.思考：OP所在直线的解析式的比例系数K与∠POB有什么关系呢?拓展探索：拓展探索：