角平分线的性质 名师获奖

12.3角的平分线的性质

第1课时角平分线的性质R·八年级上册学习目标：1．学会角平分线的画法.2．探究并认知角平分线的性质.3．熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.学习重、难点：重点：角平分线的性质.难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线．你能说明它的道理吗？ABDC新课导入E推进新课证明：在△ACD和△ACB中，AD=AB（已知），DC=BC（已知），CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）．∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）.∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）.ADBCE从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？用尺规作角的平分线知识点1利用尺规作角的平分线的具体方法:

ABOMNC

1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．3．画射线OC．射线OC即为所求．

2．分别以点M，N为圆心．大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．

你能说明为什么射线OC

是∠AOB

的平分线吗？ABOMNC角的平分线的性质知识点2利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？

如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC，在OC

上任取一点P，过点P

画出OA，OB

的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE

并作比较，你得到什么结论？探究在OC

上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________.

PD

PE

第一次第二次第三次

PD=PE已知：∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD

=PE．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．题设：

一个点在一个角的平分线上．结论：它到角的两边的距离相等．证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO

，∠AOC=∠BOC

，

OP=OP

，

∴

△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE

.∵OC是∠AOB的平分线，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．几何语言：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．

角的平分线的性质的作用是什么？主要是用于判断和证明两条线段是否相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？练习如图，△ABC中，BD=CD，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．ABCDEF证明：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.ABCDEF随堂演练1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO基础巩固2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：综合应用①AD

上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数是（）A.1个 B.2个C.3个D.4个课堂小结ABOMNC角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．1.课本；51页第一题；2.完成练习册本课时的习题。课后作业本节课采用了动手操作、直观模