角的平分线的性质 省赛获奖

12.3角的平分线的性质1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线。OBAC旧知回顾OBAC∠AOC=∠BOC∠AOB=2∠AOC=2∠BOC角平分线2、已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？ABO如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线。BEDCA····你能说明它的道理吗？思考证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB∴AC平分∠DABBEDCA····你能由上面的平分角的方法得出作已知角的平分线的方法吗?已知：

∠ＡＯＢ求作：

∠ＡＯＢ的角平分线.（2)分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。证明:连结MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中

OM=ON

MC=NC

OC=OC∴△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即:OC是∠ＡＯＢ的角平分线.（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。（3）作射线OC，射线OC即为所求。作法：为什么OC就是∠AOB的角平分线呢？OBA思考：如图，任意作一个∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你能得到什么结论？在OC上再取几个点试一试。COBApDEPD=PE通过测量，我们猜想角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等一个点在一个角的平分线上这个点到这个角的两边的距离相等已知：∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPEDC已知：求证：如图，∠AOC=∠BOC

，点P在OC上，PD⊥OA，

PE⊥OB,垂足分别为D、E，求证PD=PE.AOBEDPC∵

PD⊥OA，PE⊥OB证明：∴∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△PEO中

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∠PDO＝∠PEO∠AOC＝∠BOCOP=OP∴

PD＝PE证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。∵OC是∠AOB的平分线,

且PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等)符号语言:角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。EDOABPC判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.AOBPEF图2图3AOBPEAOBPEF图1（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.××√CCC

如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF。求证：CF=EB分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌Rt△EDB.例题讲解ACDEBF证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°

∴DC=DE,∠DEB=∠C=90°在Rt△CDF和Rt△EDB中，DF=BDDC=DE∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）∴CF=ED如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC.ABCDEF课堂练习◆这节课我们学习了哪些知识？课堂小结1、“作已知角的平分线”的尺