第三章应变理论课件

第三章

应变理论§3-1§3-2§3-3§3-4§3-5§3-6§3-7位移和变形小应变张量（几何方程）转动张量主应变和应变不变量变形协调方程位移场的单值条件由应变求位移目

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应变理论研究方法用运动学观点研究物体的变形主要内容介绍应变的概念及性质,讨论变形体研究的另一个基本关系：变形与位移之间的关系应变协调方程适用范围任何连续介质§3-1

位移和变形图1各点位移矢量的集合确定了物体的位移场。在弹性力学中，通常假定位移场足够光滑，存在三阶以上的连续偏导数。在载荷作用下，物体内各质点会产生位移，导致构型变化（位置和形状）。物体形状的变化称为变形，其中包括体积改变和形状畸变。首先定义位移场。设变形前物体内一点

,其坐标为 矢径为 。变形后，该点变成 ，设其坐标为 ，矢径为 （如图1所示）。于是，变形前后位置矢量之差称为点的位移矢量，记为 ，因而（1）设 在坐标系中的分量为即，因此（2）或显然，位移分量 都是点

的坐标 的连续函数，当考虑动力学问题时，它们也是时间的函数。§3-1位移和变形§3-1位移和变形由于要求物体变形前后都是连续体，因此点 变形后坐标 与变形前 是一一对性的，即拉格朗日描述法而且反函数亦存在，即欧拉描述法这说明雅克比行列式这被称为连续性公理，表示变形前物体的体元、面元和线元变形后仍为体元、面元和线元，物体既不会撕裂也不会重叠。物体的变形是由一点邻域内的局部几何变化来描述的，即由过该点P任一微分线元长度的变化和过点P任意两个微分线元之间夹角的变化来描述的。根据任意微分线元长度的变化（dS0变为dS)，按照拉格朗日描述可以定义描述大变形的格林应变张量，即§3-1位移和变形这是格林应变张量的位移分量表达式，是二阶对称张量§3-1

位移和变形引进位移梯度在笛卡尔坐标系中的定义为则格林应变张量可用实体符号写成：按照欧拉描述还可以定义描述大变形的阿尔曼西（Almansi,E)应变张量，即它也是二阶对称张量由此可见：物体无变形（线元长度不变，仅作刚体运动）的充分必要条件是应变张量处处为零。§3-1

位移和变形线性弹性力学的研究对象是位移比物体尺寸小得多的小变形情况。这时位移分量的一阶导数远小于1，即略去二阶小量后有在小变形情况下，忽略二阶小量后拉格朗日描述与欧拉描述没有区别！即有称为柯西应变张量或小应变张量其实体表示形式为是二阶对称张量，只有六个独立分量。§3-1

位移和变形在笛卡尔坐标系中，其常用形式为这是一组线性微分方程，称为应变-位移公式或几何方程。根据它可以从位移分量导出应变分量，或由应变分量积分得到位移分量。若已知该直平行六面体各

棱长度的变化以及直平行

六面体各平面间夹角的改

变量，该点邻域内变形将

被决定。在小变形理论中，用正应变描述微元线段长

度的变化，以拉伸为正，

压缩为负；而剪应变描述

两微元线段所夹角度的变

化。图2§3-1位移和变形设过点P取一个微小的直平行六面体，它的各个面分别与坐标面相平行，如图2所示。若变形使夹角减小，则剪应变为正，若使夹角增大，则剪应变为负。在小变形理论中，正应变和剪应变

分别定义为定义六个变形分量，即三个正应变，和三个剪应变§3-1位移和变形和，沿 轴和 轴的方向取，如图3。经过弹性体内的任意一点两个微小长度的线段假定弹性体受力以后,三点分别移动到。§3-2小应变张量（几何方程）图3求线段

和示。设 点在的正应变，即

和 ，用位移分量表方向的位移分量是 ，则 点在 方向的位移分量，由于 坐标的改变，可用泰勒级数表示为在略去二阶及更高阶的微量以后简化为线段 的正应变是（3）§3-2小应变张量（几何方程）由于位移是微小的， 方向的位移所引起的线段

的伸缩，是更高一阶微小的，略去不计。同样线段的正应变是（4）求出线段

与 之间的直角改变，也就是剪应变 ，用位移分量来表示。§3-2小应变张量（几何方程）由图可见，剪应变是由两部分组成的：一部分是由 方向的位移 引起的，即 方向的线段

的角 ；另一个部分是由 方向的位移 引起的，即方向的线段 的转角

。图§3-2小应变张量（几何方程）设 点在 方向的位移分量是位移分量将是 。线段，则 点在 方向的的转角是同样可得线段的转角是§3-2小应变张量（几何方程）于是可见，

与 之间的直角的改变（以减小时为正），也就是剪应变 ，为（5）综合（3）、（4）、(5)三式，得出平面问题中表明形变分量与位移分量之间的关系式，即几何方程在平面问题中的简化形式,也就是§3-2小应变张量（几何方程）同理得可得其他分量该方程组称为几何方程，又称柯西方程，它给出了6个应变分量与3个位移分量之间的关系。（6）§3-2 小应变张量（几何方程）如果对式（6）中后一列的3个式子两边同除2，并令张量形式为§3-2小应变张量（几何方程）根据格林应变张量可以定义变形前后线元长度之比为伸长比，即为变形前线元方向的单位矢量其中为线元的方向余弦变形后，线元方向的单位矢量为其中方向余弦§3-2小应变张量（几何方程）即讨论线元间夹角余弦的变化考虑变形前的两个任意线元,其单位矢量分别为方向余弦分别为夹角余弦为变形后两线元单位矢量分别变为方向余弦分别为变形后两线元夹角余弦为§3-2小应变张量（几何方程）对小变形情况有：§3-2小应变张量（几何方程）应变张量 （或）给出了物体变形状态的全部信息。通常定义 方向线元的工程正应变 为变形前后线元长度的相对变化，即其展开形式为当取分别为时，有所以，小应变张量 的三个对角分量分别等于坐标轴方向三个线元的工程正应变，以伸长为正，缩短为负。§3-2小应变张量（几何方程）再看线元的转动，根据前面导出的结果，可知任意线元变形后的方向余弦为可由位移梯度分量 和线元正应变计算任意方向线元变形后的方向余弦。考虑两线元间的夹角变化§3-2小应变张量（几何方程）若变形前两线元互相垂直，即令 为变形后线元间直角的减小量，则由上式可得通常定义两正交线元间的直角减小量为工程剪应变，即若 为坐标轴方向的单位矢量，例如其余的方向余弦均为零，则由上式得§3-2 小应变张量（几何方程）§3-2小应变张量（几何方程）小应变张量的六个分量的几何意义：当指标i=j时，表示沿坐标轴i方向线性工程正应变，以伸长为正，缩短为负；当时，的两倍表示坐标轴i与j方向两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角减小）为正，钝化（直角增大）为负。应变张量与应力张量都是二阶对称张量。应变张量与应力张量一样，也具有不变性和对称性。在坐标变换时，新老坐标中的应变张量分量 应满足转轴公式 ，由此可根据九个应变分量 求出任意方向的正应变和剪应变，小应变张量完全表征了一点的应变状态。应变张量可分解为应变球量和应变偏量之和。例1.已知位移分量为式中 为常数。试求应变分量，并指出所研究物体的受力状况。解：应变分量为物体的受力状况为等直杆两端承受着扭矩作用。例

题的位移为,则点如图4设过点一微元线段从物体中任意取出。若令点 的坐标为 ，则点 的坐标为变形后， 变成 。令点的位移为于是图4§3-3转动张量§3-3转动张量其中§3-3转动张量若令则表示位移矢量 的旋度， 则分别表示物体内微元体绕相应的坐标轴的旋转分量，而 则代表微元体的刚性转角。§3-3

转动张量结论：点P邻域内的任意点M的位移由三部分组成包含 的刚性平动；包含 的刚性转动；包括应变分量 的纯变形。并且上述三步的次序是可以交换的。令（*）§3-3转动张量（**）称（*）式为点 的无限小应变张量，（**）式为点的无限小转动张量。可见应变张量是对称张量。而转动张量是反对称张量，元素

和 分别为无限小应变分量和无限小转动分量。注：由定义的变形分量排成形式，它不构成张量。通常称工程应变应变分量 、转动分量 与位移分量 的关系用张量记号可表示为不难得到

和导数之间如下关系§3-3转动张量§3-4

主应变和应变不变量由下图可知，在小变形理论中物体内某点邻域的变形由刚性平移、刚体转动以及纯变形三部分组成，而且微元线段

PM方向的改变实际是由刚体转动和切变形所引起的。如果在变形过程中该微元段的方向保持不变，则称该方向上线段的应变为主应变，相应的方向称为应变主方向（与主应力相对应）。应变主方向的方向余弦l，m，n满足方程：特征方程组由，上式有非零解的必要条件是系数行列式为零，即此式为应变张量的特征方程，其根为主应变。其中：§3-4

主应变和应变不变量此式为应变张量的第一、第二、第三不变量。§3-4主应变和应变不变量应变张量的第一、第二、第三不变量用主应变表示为类似结论所有主应变都是实数。与两个不同的主应变对应的主方向彼此正交。§3-4主应变和应变不变量若特征方程式有重根时，相应的主方向是不确定的，对于一对重根，在平面内的任意两个正交方向都可选为主方向，第三方向与该平面垂直。若特征方程式三个根均相等时，则过

P

点的任意三个垂直方向均可选为主方向。此时该点邻域内的变形为均匀膨胀或压缩状态。在物体内点

P

处至少存在三个彼此正交的方向，变形后仍保持正交。参考于这三个正交的方向，切应变为零，而主应变即为对应的法向分量。§3-4主应变和应变不变量§3-4主应变和应变不变量的正六面体，变形后其相对体积沿主方向取出边长为变化为（略去高阶小量）：因此第一应变不变量 表示每单位体积变形后的体积变化，又称体积应变。例题物体内部一点的应变场可用张量表示为试求：（1）在方向上的线应变（2）

和 两垂直方向间夹角的变化量（3）应变主应变、应变主方向和应变不变量（作业）解：1）2）例题由几何方程可知位移与应变的关系为§3-5变形协调方程通过对上式直接求导可得同一坐标平面上应变分量之间的关系，例如，由§3-5变形协调方程板书！同理可得§3-5变形协调方程下面推导不同坐标平面内应变分量之间的关系。例如，由板书！同理可得因此为保证物体变形后仍为连续体，应变分量之间必须满足上述变形协调条件（也称相容性方程）。§3-5变形协调方程应变协调方程——圣维南

（Saint

Venant）方程§3-5变形协调方程圣维南（A.J.Saint-Venant）1797年生于法国，

1886年逝世。1825年毕业于巴黎桥梁公路学校，后从事工程设计工作，1837年回该校任教，1868年当选为法国科学院院士。在弹性力学、塑性力学、流体力学等方面做出了贡献。他的力作用的局部思想被称为“圣维南原理”。§3-5变形协调方程圣维南（A.J.Saint-Venant）应变协调方程的物理意义：物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或出现相互嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。注：应变协调方程是变形连续的必要和充分条件！§3-5变形协调方程例1.设物体变形时产生的应变分量为试确定系数之间应满足的关系式。例

题解：该应变状态属于平面应变状态，这些应变分量应满足变形协调条件。由应变分量可得：将上式代入到，得：例

题在物体内任意一点上，即x，y为任意值时，上式皆成立，因此得：上式即为系数应变应满足的条件，而系数可为任意常数。例

题利用位移和转动分量的全微分，则轮换x,y,z，可得dv，dw和dwy，dwz保证单值连续的条件是：积分与积分路径无关。§3-6位移场的单值条件通过位移积分表达式，计算出位移应是单值连续的（16）（17）（18）§3-6位移场的单值条件转角位移：也是单值连续的，则问题得证。§3-6位移场的单值条件上述积分与积分路径无关，利用格林公式对于（16）式的位移单值连续性条件要求§3-6位移场的单值条件对于（17）式的单值连续性条件要求§3-6位移场的单值条件对于（18）式的位移单值连续性条件要求§3-6位移场的单值条件对上述9个方程联立，求得代入转角位移的积分表达式§3-6位移场的单值条件其余两式同理可得类似的变形协调方程。ωx单值连续的必要与充分条件为：由此可证：变形协调方程是

单连通域位移

单值连续的必

要和充分条件。§3-6位移场的单值条件对于满足协调方程的应变，可以通过对几何方程积分求出与之对应的位移。由笛卡尔坐标系中的几何方程积分§3-7

由应变求位移3.7.1线积分法一种由线积分求位移的通用步骤：（1）求位移分量，因为可见，只要导出 的三个一阶偏导数与应变分量的表达式，就可由上式积分出位移 。由几何方程可得§3-7

由应变求位移3.7.1线积分法先考虑注意到对求导§3-7

由应变求位移，3.7.1线积分法仿照对 的处理方法，为了求得还需导出它的另外两个偏导数和故§3-7

由应变求位移3.7.1线积分法于是可得用同样的思路可求得偏导数，然后代入求 的公式就能积分出位移分量

。只要应变满足协调方程，以上各式中的积分均与路径无关。一般取与坐标轴平行的折线为积分路径即可。§3-7

由应变求位移3.7.1线积分法（1）求求解思路§3-7

由应变求位移3.7.1线积分法（2）求§3-7

由应变求位移3.7.1线积分法（3）求上式中出现的六个积分常数

和 分别对应于刚体平移和刚体转动的六个自由度，须由外部约束条件决定。如果独立的约束条件少于六个，则物体是可动的；如果多于六个，则约束可能引起附加的应力场。§3-7

由应变求位移3.7.2

直接积分法下面以无应变状态

为例，说明处理常数时应注意的问题。当应变不为零时，处理过程类似，只是多了一些来自非零应变的积分项。由正应变表达式分别对积分§3-7

由应变求位移3.7.2直接积分法代入§3-7

由应变求位移3.7.2直接积分法同理，由第三式有将 代入后有上式对任意 值均应成立，有故同理可由得§3-7

由应变求位移由得无应变的刚体运动只有六个自由度，而求解中出现了12个常数。其中多余的六个常数属于求导后的高阶方程组，所

以要求更多的积分常数。但我们只关心右上角方程组的解，故位移表达式代入其中，有§3-7

由应变求位移3.7.2直接积分法对任意均应成立独立常数降为6个积分常数积分常数是刚体平移是刚体转动§3-7

由应变求