非线性系统的精确线性化方法反步设计法

非线性系统的精确线性化方法反步设计法

1非线性控制理论的进展在过去的20年中，微分几何等现代数学工具的成功应用，为非线性控制系统理论和应用的深入研究提供了突破。通过利用李括号及微分同胚等基本工具研究非线性系统状态、输入和输出变量间的依赖关系,系统地建立了非线性控制系统能控、能观、能测的充要条件。特别是通过适当的非线性状态和反馈变换,非线性系统可实现全局状态或输入输出的精确线性化,从而将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题。它与传统的利用泰勒级数展开进行局部线性化近似方法不同,在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项,故这种线性化不仅是精确的,而且是全局意义下的。这类精确线性化方法推广了线性控制系统理论,推动了非线性控制系统理论在各种复杂非线性系统控制对象中的应用与开发研究。微分几何方法用来研究非线性控制系统是现代数学发展的必然产物。Isidori曾预见性地指出:正如50年代引入拉氏变换和传递函数,60年代引入线性代数概念和方法,分别给控制理论在单输入单输出及多变量线性系统方面所带来的重大变革一样,微分几何方法引入非线性系统,将给控制理论带来突破性进展。非线性控制系统理论包括Lyapunov稳定性方法、输入输出方法、精确线性化方法等。除此之外,近年来针对不同的控制对象,又提出了伪线性化法、反步设计法等新的控制思想和方法。反步设计法是在非线性标准形下进行的,可以看作是微分几何方法的间接应用。本文专门讨论反步设计法的基本原理、构成方法及其拓展,综述了该方法在非线性鲁棒控制中的应用。2先进设备的渐近性反步设计法,又称后推法、回推法或反演法,它通常与Lyapunov型自适应律结合使用,即综合考虑控制律和自适应律,使整个闭环系统满足期望的动静态性能。该方法由Kokotovic等于1991年首先提出,近年来引起了众多学者的重视,相关研究文献不断见诸于各类期刊及论文集。反步设计法的基本思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统,然后为每个子系统设计部分Lyapunov函数(简称V函数)和中间虚拟控制量,一直“后退”到整个系统,将它们集成起来完成整个控制律的设计。其基本设计方法是从一个高阶系统的内核开始(通常是系统输出量满足的动态方程),设计虚拟控制律保证内核系统的某种性能,如稳定性、无源性等;然后对得到的虚拟控制律逐步修正算法,但应保证既定性能;进而设计出真正的镇定控制器,实现系统的全局调节或跟踪,使系统达到期望的性能指标。反步设计法适用于可状态线性化或具有严参数反馈的不确定非线性系统,可用符号代数软件较为方便地实现。考虑如下单输入单输出非线性系统{˙x1=x2+f1(x1)˙x2=x3+f2(x1‚x2)⋯˙xn=fn(x1‚⋯‚xn)+u(1)其中:x∈Rn和u∈R分别是系统的状态和输入变量;系统的非线性部分fi(x1,…,xi)呈下三角结构。反步法的设计思想是视每一子系统˙xi=xi+1+fi(x1‚⋯‚xi)中的xi+1为虚拟控制,通过适当的虚拟反馈xi+1=αi(i=1,…,n-1),使得系统的前面状态达到渐近稳定,但系统的解一般不满足xi+1=αi。为此引进误差变量,期望通过控制的作用,使得xi+1与虚拟反馈αi间具有某种渐近特性,从而实现整个系统的渐近稳定。首先,利用虚拟反馈定义n个误差变量{z1=x1z2=x2-α1(x1)⋯zn=xn-αn-1(x1‚⋯‚xn-1)(2)其中αi(i=1,…,n-1)待定。现对每一步构造一个V函数,使每一状态分量具有适当的渐近特性。注意式(1)本质上是一个微分同胚,为镇定原系统,只需镇定原系统状态xi+1与虚拟反馈αi间的误差z即可。第1步对z1求导得˙z1=x2+f1(x1)=-z1+x1+x2+f1(x1)(3)定义V1=12z21,取α1=-x1-f1(x1)≜˜α1(z1),则得{˙z1=-z1+z2˙z2=x3+f2(x1‚x2)-∂˜α1∂z1˙z1≜x3+˜f2(z1‚z2)˙V1=-z21+z1z2(4)显然,如果z2=0(即α1=-x1-f1(x1)),则由式(4)知z1渐近稳定。但一般情况下z2≠0,需要进一步引入虚拟控制α2,使其误差z2=x2-˜α1(z1)具有期望的渐近性。为此,进行下一步设计:第2步定义V2=12z22+V1,取˜α2≜-z1-z2+˜f2(z1‚z2),则得{z˙1=-z1+z2z˙2=-z1-z2+z3z˙3=x4+f3(x1‚x2‚x3)-∑i=12∂α˜2∂ziz˙i≜x4+f˜3(z1‚z2‚z3)V˙2=-z12-z22+z2z3(5)显然,若z3=0(即α˜2=-z1-z2+f˜2(z1‚z2)),则由式(5)知z1和z2渐近稳定。但一般情况下z3≠0,需要引入虚拟控制α3,使其误差z3=x3-α˜3具有期望的渐近性态。如此下去,可找到一般情形下的V函数及虚拟控制。第i步定义如下Lyapunov函数Vi及虚拟控制{Vi=12(z12+⋯+zi2)α˜i≜-zi-1-zi+f˜i(z1‚⋯‚zi)(6)则有{z˙i=zi+1+α˜i(z1‚⋯‚zi)+f˜i(z1‚⋯‚zi)=-zi-1-zi+zi+1V˙i=-(z12+⋯+zi2)+zi[zi+1+α˜i(z1‚⋯‚zi)+f˜i(z1‚⋯‚zi)]=-(z12+⋯+zi2)+zizi+1(7)由式(7)知{z˙n=xn+fn(x1‚⋯‚xn)+u-∑i=1n-1∂α˜n-1∂ziz˙i≜f˜n(z1‚⋯‚zn)+uV˙n=-(z12+⋯+zn-12)+zn-1zn+zn[f˜n(z1‚⋯‚zn)+u](8)选取反馈控制律u=α˜n(z1‚⋯‚zn)=-zn-1-zn-f˜n(z1‚⋯‚zn)(9)由式(8)和(9)得{z˙n=-zn-zn-1V˙n=-(z12+⋯+zn2)(10)因此误差是指数渐近稳定的,从而在上述反步法给定的虚拟控制(6)及反馈控制(10)下,原非线性系统是指数渐近稳定的。由以上设计方法可知,反步法实际上是一种由前向后递推的设计方法,逐步迭代设计V函数,最终实现系统镇定或跟踪。它较为适合在线控制,以达到减少在线计算时间的目的。此外,反步法中引进的虚拟控制本质上是一种静态补偿,前面子系统必须通过后面子系统的虚拟控制才能达到镇定目的,要求系统结构必须是与式(1)类似的严参数反馈系统或可经变换化为该种类型的非线性系统。backstepping算法有两个主要优点:1)通过反向设计使控制V函数和控制器的设计过程系统化、结构化;2)可以控制相对阶为n的非线性系统,消除了经典无源性设计中相对阶为1的限制。backstepping方法一经提出,便得到广泛的关注,并被推广到自适应控制、鲁棒控制、滑模变结构控制等领域。在设计不确定系统的鲁棒或自适应控制器方面,特别是当干扰或不确定性不满足匹配条件时,反步法具有明显的优越性。Lyapunov函数在非线性控制系统设计中具有重要的作用。长期以来,Lyapunov稳定性理论取得了大量结果,但对于如何构造V函数,特别是用于系统控制设计的V函数,至今仍缺乏系统的方法。反步法的提出,从一定程度上解决了这一问题,可为之提供一类较为简便的结构化、系统化方法。backstepping方法首先是针对单输入系统提出的,其后被推广到多输入系统,但系统结构仍需满足所谓的块严格反馈条件,这在很大程度上限制了这一方法的应用范围。文献针对一类更为广泛的非线性多输入系统——交叉严格反馈系统,采用交叉回退设计方法,使整个控制系统具有全局稳定性。在控制器设计过程中,分别对奇数阶状态和偶数阶状态采用backstepping算法反向递推。利用u1控制状态x2n-1收敛到某一流形α2n-3,再利用x2n-1控制x2n-3收敛到某一流形α2n-5,这样一直递推下去。u2的控制过程也一样,先控制x2n→α2n-2,再利用x2n控制x2n-2→α2n-4,反复迭代直至x2→0。所以u1和u2分别控制两组递阶的流形,系统的运动最终收敛到这两组递阶流形的交集上,即平衡点xe=0。3非线性自适应动态检测鲁棒控制理论所要研究的问题可分为两方面:控制系统的鲁棒性分析和控制律综合。分析方面研究的是:当系统存在不确定性和外部干扰时,系统的稳定性和动态性能的分析;综合方面研究的是:当系统存在不确定性和外部干扰时,如何设计有效的控制律使得闭环系统具有更强的鲁棒性。分析是综合的基础,综合是分析的延伸。控制律综合即鲁棒镇定是非线性鲁棒控制的基本问题,其主要设计方法仍以Lyapunov稳定性定理为基础。利用这类方法设计鲁棒镇定系统时,首先假设不确定因素可表示为有界的未知参数、增益有界的未知摄动函数或未知动态过程,然后根据其上界值或界函数及被控对象的标称模型来构造一个适当的V函数,使其保证整个系统对于不确定集合中的任何元素都是稳定的。这种设计方法的关键是如何给出构造理想V函数的一般方法。近年来鲁棒控制理论的研究表明,如果系统满足一定的链式结构,便可通过递推设计的方法逐步构造出理想的V函数。非线性系统的反步法是一种构造性方法,它利用系统的结构特性递推地构造整个系统的V函数,但目前的研究结果大都是在每一步设计中对一个标量系统进行设计。为此,文献提出一类广泛的带有未建模动态多输入严格反馈非线性系统,研究了系统的状态反馈控制设计问题,设计中状态反馈控制律不依赖于未建模动态的界,因此系统未建模动态的界可以是未知的。但若将这一系统的每一子系统按标量形式展开,则不一定能用递推方法设计。文献提出一类更广泛的带有界扰动的多输入非线性串级系统,通过反步递推设计,使系统的状态和控制全局有界,并且第1个子系统的状态能收敛到原点的一个小邻域内。文献则提出一类更广泛的带不确定参数的多输入非线性串级系统,每个子系统都是一向量形式,严格反馈系统模型可看作是该系统模型的特例。所得的参数自适应律的阶次等于未知参数的个数,说明该设计是非过参数化的,在适当的假设条件下可全局适应稳定。但该方法存在两个问题:一是根据设计只能得到辨识误差是有界的,而得不到辨识误差收敛于零;二是控制信号过大。二者均需要进一步研究。Kokotovic等提出的反步法虽然是构造性的,但它所利用的系统必须具有特殊的严格反馈的下三角结构,这种方法广泛应用于严格反馈型非线性系统的自适应镇定和自适应跟踪问题。与线性系统类似,一个未考虑鲁棒性的非线性自适应控制器,在外部干扰下可能导致整个闭环系统崩溃,从而出现了许多改进的自适应控制方案使系统具有一定的鲁棒性,但如何直接对干扰进行抑制讨论得则较少。文献讨论了一类含线性未知参数和未建模动态的不确定单输入单输出非线性系统的输出自适应跟踪问题,利用反步法构造出鲁棒自适应控制器,通过调节控制参数,直接对干扰进行抑制,最终可使跟踪误差任意小,调节过程任意短。文献基于异步电动机的非线性模型,提出一种在转子电阻未知条件下的非线性自适应磁通观测器,设计中采用反步法得到转子电阻的自适应律,仿真结果证明了其可行性。对于具有参数不确定和未知非线性的一类非线性系统,文献通过引入快慢两种切换线给出一种自适应有限时间滑模控制机制,将反步法应用于控制设计,保证了闭环系统的稳定性,并使状态在有限时间内收敛到原点。文献则考虑了有关节位置测量的机器人控制问题,基于反步法提出一种在模型不确定条件下的鲁棒控制方案,实验证明所提出方案具有更高的跟踪精度。反步设计法是处理不确定性尤其是非匹配不确定性的一种有效手段,但存在计算膨胀和要求系统不确定性满足可参数化的假设等问题。文献提出一种基于模糊CMAC神经网络的多面滑模变结构控制算法,利用模糊神经网估计出系统的非线性函数及系统状态各阶导数,利用反步法和变结构控制设计控制器。该方法无需已知不确定性函数及各阶导数的上界,并能减少反步法的计算量。近年来,不确定非线性系统的鲁棒自适应控制有了很大进展,大致可分为状态反馈控制和输出反馈控制两类。由于状态反馈控制要求系统的所有状态已知或能测,而有些实际系统只有输出能测,状态不能全部测出,必须设计输出反馈控制器来解决这类控制问题。文献基于Lyapunov函数的反步法,对一类具有一般不确定性的非线性系统设计鲁棒输出反馈自适应控制器,该控制器不仅能保证闭环系统全局稳定,而且能使跟踪误差以指数速率收敛到零的小邻域内。非线性控制系统在其不确定性不满足匹配条件情况下,控制的主要困难在于非匹配不确定性使系统状态之间并不存在通常的积分关系,而且状态可测并不意味着可以得到系统状态的导数。文献根据所提出的等价作用概念设计滑模观测器,在对系统非匹配不确定项进行估计的基础上设计控制律,给出了变结构控制方案,使闭环系统在有限时间内进入滑动模态,从而实现系统的跟踪控制。文献则研究了反步法在机床磁悬浮主轴系统中的应用,建立了系统控制设计的非匹配不确定模型,控制器稳定,参数估计收敛,稳态误差为零。针对一类不确定参数化严格反馈非线性系统的鲁棒自适应控制问题,文献基于Lyapunov函数的递推设计方法,设计出一种新的非过参数鲁棒自适应控制器,克服了一些方案中存在的过多参数辨识问题。在较弱条件下控制器不仅能保证闭环系统所有信号全局有界,而且能使跟踪误差以指数速率收敛到零的有界小邻域内,具有很好的跟踪性能。文献考虑了具有输出反馈标准形的非线性系统输出反馈控制问题,应用反步法设计新的鲁棒输出反馈控制方案,不需辨识系统未知参数及未知参数向量的上界,在较弱条件下能保证闭环系统所有信号全局有界。针对一类存在有界干扰的线性参数化非线性系统,文献给出了适应输出反馈控制器,不需知道有界扰动的上界就能保证闭环系统所有信号的全局有界性。将无扰动情形的结果推广到存在有界干扰的情形,适当选择有关参数便可获得良好的控制效果。几乎所有的非线性自适应控制器都是针对线性参数化的非线性系统设计的,这在实际应用中有很大的局限性。首先,仅有很少的一类非线性系统可以线性参数化建模;其次,要求光滑非线性函数完全已知也是相当苛刻的条件;最后,当系统状态受到不可测有界干扰及不确定性时,现有的自适应控制方案便不再适用。基于以上原因,文献针对一类具有一般不确定性的非线性系统,利用反步递推设计方法设计出一种用于输出调节的鲁棒自适应控制器,使其具有处理尽可能广泛的不确定非线性系统的能力。该控制器对非线性不确定性和有界干扰具有鲁棒性,并能保证闭环系统信号的全局有界性,闭环系统输出充分小,并且超调很小。针对一类具有有界扰动的时变非线性系统,文献利用反步法递推设计鲁棒控制器,保证闭环系统信号的全局有界性。适当选择控制器参数可使闭环系统输出接近于零,不要求知道有界扰动和时变参数的上界,可处理一类较广泛不确定非线性系统的鲁棒控制问题。其缺点是所设计的鲁棒控制器阶次较高。对于不确定非线性系统,变结构控制是较为有效的方法,具有良好的跟踪性能,但它要求系统的不确定性满足匹配条件。针对一类具有非匹配不确定性最小相位仿射非线性系统,文献研究了其在未知扰动作用下的调节问题,基于自适应反步法和变结构控制设计了控制方案。该方案使控制器对加于最后一个方程的非参数化不确定性及未知扰动具有较强的鲁棒性,而基于Lyapunov稳定性理论的设计过程则保证了闭环系统的全局稳定性。由运动学模型描述的移动小车跟踪控制问题是一个典型的非完整系统。文献研究了由运动学模型描述的二自由度移动小车的跟踪问题,结合反步法并利用终端滑模技术(TSM)设计控制律,对不同状态分别采用TSM设计,使得移动小车能在有限时间内完全跟踪转动速度不为零的期望轨迹,跟踪误差模型在一定条件下收敛于有限时间内。在大系统控制中,对于集中信息和计算能力无效或不可行的情况,全局分散自适应控制策略是一种处理系统参数不确定性的有效方法。在保证整个系统稳定的前提下,对每一子系统只使用局部信息设计局部控制器,在改善暂态特性的同时得到一个总体分散控制器。按照控制设计中考虑的相互作用形式,控制策略可分为两类:一类考虑静态相互作用,状态的范数通常由一个多项式函数来限定;另一类考虑动态相互作用。为建立整个系统的稳定性,对于第1类情况,允许子系统间存在强的相互作用;对于第2类分散控制器,只允许子系统间存在弱的相互作用。值得注意的是,至今只有个别分散自适应设计考虑了暂态特性问题,全局分散自适应控制设计仍是一个空白。全局分散自适应控制器设计的主要困难是如何建立整个系统的稳定性:静态相互作用时,可方便地使用Lyapunov第2方法获得稳定性结果;但当大系统具有动态相互作用且子系统关联度大于2时,则是十分困难的。反步法的优点是可同时设计控制器及随时更新的自适应律,以改善系统的暂态性能,同时被控对象的关联度已不再成为设计问题。文献研究了一类子系统具有任意关联度的大系统,在保证系统暂态特性的基础上,采用自适应反步法设计出一个全局分散自适应鲁棒控制器。所设计的控制器可保证整个系统全局稳定且具有精确的调节特性,分散控制器的自适应系统暂态特性可由跟踪误差的L∞和L2范数来评价,通过适当选择控制器设计参数可使这些范数任意小。通过使用V函数,非线性连续时间系统的自适应控制已取得了很大进展,但非线性离散时间系统的自适应控制却只有很少文献提及。这可能归因于V函数的增量与变量的变化呈线性关系,难以构造离散时间的V函数。就是这些很少文献中的结果,也是在非线性系统假定可准确建模的理想情况下获得的。由于缺乏合适的V函数,使建立模型不确定非