含参数扰动的多元化混沌系统的控制

含参数扰动的多元化混沌系统的控制

自20世纪90年代以来，许多混合控制算法已被提出。但是,对含参数扰动的混沌系统进行控制的研究工作却较少。实际上,由于系统本身存在热噪声及电子管内的散弹噪声等内部噪声,很多混沌系统的参数会由于这些内部噪声的原因而在有界范围内波动,因此,研究含参数扰动混沌系统的控制问题具有实用意义。基于这一原因,本文使用反步自适应控制方法对含参数扰动的Liu混沌系统的控制问题进行了研究。首先从理论上详细介绍了反步设计法的原理,然后从理论上详细分析了将反步设计法、Lyapunov稳定性定理及自适应控制技术三种理论相结合设计得到的控制技术,再将以上控制技术应用于含参数扰动的Liu混沌系统并从理论上设计出具体的控制器,再根据理论进行数值模拟并给出数值模拟结果。理论推导及数值模拟都发现,将以上三种理论相结合设计得到的控制器加在含参数扰动的Liu混沌系统的两个不同方程中将得到两种不同的控制器。1基于lyapunov控制的渐近稳定控制考虑如下单输入单输出非线性系统:{˙xi=xi+1+fi(x1,⋯,xi),i=1,⋯,n,˙xn=fn(x1,⋯,xn)+u,(1)式中,x∈Rn是系统的状态,u∈R是输入变量,fi(x1,…,xi)为系统的非线性部分。反步设计法是把每一个子系统中的xi+1看作虚拟控制,通过确定适当的虚拟反馈xi+1=φi(i=1,…,n-1),控制系统达到渐近稳定。通常,系统的解很难直接满足xi+1=φi,我们希望能够通过控制的作用,使xi+1与虚拟反馈φi之间具有渐近特性,从而渐近地实现整个系统的控制。首先,利用虚拟控制,引进n个误差变量zi(i=1,…,n):{z1=x1,z2=x2-φ1(x1),⋮zn=xn-φn-1(x1,⋯,xn-1),(2)式中,φi(i=1,…,n-1)是虚拟反馈控制,待定。我们将对每一子系统构造一个Lyapunov函数,使该状态分量具有适当的渐近特性。系统(2)为系统(1)的微分同胚,为了控制系统(1)达到渐近稳定,只要控制系统(2)达到渐近稳定即可。第1步:对z1求导得˙z1=x2+f1(x1)=-z1+x1+x2+f1(x1),(3)定义状态1的Lyapunov函数为V1=(1/2)z21,并取φ1=-x1-f1(x1)≜˜φ1(z1),可得{˙z1=-z1+z2,˙z2=x3+f2(x1,x2)-∂˜φ1∂z1˙z1≜x3+~f2(z1,z2),˙V1=-z21+z1z2,(4)式(4)中,若z2=0(即˜φ1=-x1-f1(x1)),则由式(4)可知:z1渐近稳定。然而,一般情况下z2≠0,为使z2=x2-˜φ1(z1)具有期望的渐近特性,再引入虚拟控制φ2,并定义相应的Lyapunov函数。第2步:定义V2=z22/2+V1,取˜φ2≜-z1-z2+~f2(z1,z2),可得{˙z1=-z1+z2,˙z2=-z1-z2+z3,˙z3=x4+f3(x1,x2,x3)-2∑i=1∂˜φ2∂zizi≜x4+~f3(z1,z2,z3),˙V2=-z21-z22+z2z3,(5)式(5)中,若z3=0(即˜φ2=-z1-z2+~f2(z1,z2)),则由式(5)可知z1、z2渐近稳定。但一般情况下z3≠0,为使z3=x3-˜φ3具有期望的渐近特性,再引入虚拟反馈φ3,如此下去,可得到一般情形下的虚拟控制以及Lyapunov函数。第i步:定义Lyapunov函数以及虚拟控制如下:{Vi=(z12+⋯+zi2)/2,φ˜i≜-zi-1-zi+fi~(z1,⋯,zi),(6)因此,得{z˙i=zi+1+φ˜i(z1,⋯,zi)+fi~(z1,⋯,zi)=-zi-1-zi+zi+1,V˙i=-(z12+⋯+zi2)+zi[zi+1+φ˜i(z1,⋯,zi)+fi~(z1,⋯,zi)]=-(z12+⋯+zi2)+zizi+1,推导得到,在第n-1步{z˙n-1=-zn-2-zn-1+zn-1zn,φ˜n-1=-zn-2-zn-1+f~n-1(z1,⋯,zn-1),V˙n-1=-(z12+⋯+zn-12)+zn-1zn,同理可得,在最后一步{z˙n=fn(z1,⋯,zn)+u-∑i=1n-1∂φ˜n-1∂ziz˙i=fn~(z1,⋯,zn)+u,V˙n=-(z12+⋯+zn-12)+zn-1zn+zn[fn~(z1,⋯,zn)+u],(7)选取反馈控制律为u=φ˜n(z1,⋯,zn)=-zn-1-zn-fn~(z1,⋯,zn),(8)将式(8)代入式(7)得{z˙n=-zn-zn-1,V˙n=-(z12+⋯+zn-12+zn2),(9)由Lyapunov稳定性定理可知,误差系统(9)是指数渐近稳定的。因此,原系统将在以上所述控制律作用下指数渐近稳定。2参数中断系统的控制2.1lyapunov函数含参数扰动的Liu混沌系统的状态方程:{x˙=a(y-x),y˙=bx-xz,z˙=4x2-cz+u1,(10)式中,a(t)∈[a,a¯]、b(t)∈[b,b¯]和c(t)∈[c,c¯]为系统参数(这些系统参数因存在扰动而在一定范围内波动),x,y,z是系统状态变量,u1是控制输入。假设a,b和c都是正常数,同时,在文中余下部分的研究中这个假设也成立。根据稳定性原理,确定合适的控制律u1,使系统(10)在某个有界点上渐近稳定。第一步:对x子系统,定义V1(x)=x2/2,取φ1(x)=0,则当y=α1(x)时,x子系统满足V˙1(x)=-ax2+axy,φ1(x)=px,p<1。定义误差变量w2为w2=y-φ1(x),(11)则(x,y)子系统可以表示为{x˙=a(w2+px-x),w˙2=-xz-paw2+[b+p(1-p)a]x,(12)进一步,把z看作是系统的虚拟控制输入,并假定当z=φ2(x,w2)时,系统(12)渐近稳定。定义系统(12)的Lyapunov函数为V2(x,w2)=V1(x)+(1/2)w22,等式两边对时间求导:V˙2=-a(1-p)x2-paw22+[a+b+p(1-p)a-z]xw2,(13)令φ2(x,w2)=k,并且对任意ε1>0均有不等式2pq≤ε1p2+ε1-1q2成立,则式(13)可变为V˙2≤(ε1-pa)w22+{-a(1-p)+ε1-1[a+b+p(1-p)a-k]2/4}x2,(14)若V˙2<0,则系统(12)渐近稳定。显然,只要w22及x2的系数小于零,即{ε1-1[a+b+p(1-p)a-k]2/4-a(1-p)<0,ε1-pa<0,(15)即可保证V˙2<0。由不等式(15)可求解出k的取值范围:{a¯+b¯+p(1-p)a¯-2aε1(1-p)<k<a+b+p(1-p)a+2aε1(1-p),0<ε1<pa,(16)令误差变量w3为w3=z-φ2(x,w2),(17)则(x,y,z)系统可表示为{x˙=a(w2+px-x),w˙2=-x(w3+k)-paw2+[b+p(1-p)a]x,w˙3=-c(w3+k)+4x2+u1,(18)定义Lyapunov函数V3(x,w2,w3)=V2(x,w2)+(1/2)w32+(1/2h)(c¯^-c¯)2,c¯^为自适应控制律,h>0。将V3对时间求导:V˙3=Μ+w3(-ck-xw2+4x2+u1)+(c¯^-c¯)c¯^˙/h≤Μ+|kw3|c¯+w3(-xw2+4x2+u1)+(c¯^-c¯)c¯^˙/h,(19)其中M=[a+b+p(1-p)a-z]xw2-a(1-p)x2-paw22-cw32。我们引入如下自适应控制律来消除式(19)中的|kw3|c¯项。引入自适应控制律c¯^˙=h|kw3|,(20)令u1=xw2-4x2-w3k2c¯^2|w3||k|c¯^+r∥e∥2,(21)其中,0<r<-η,∥e∥=x2+w22+w32,η=max{ε1-pa,-c,θ1,θ2},θ1=ε1-1[a¯+b¯+p(1-p)a¯-k]2/4-a(1-p),θ2=ε1-1[a+b+p(1-p)a-k]2/4-a¯(1-p),可得V˙3≤Μ+r∥e∥2≤(η+r)∥e∥2,(22)由Lasalle-Yoshizawa定理,系统(18)在(0,0,0)点渐近稳定。由式(11)和式(17)可知,系统(10)在(0,0,k)点渐近稳定。若去掉系统(10)的第三式中的控制输入u1,同时在该系统的第二式中加入控制输入u2得{x˙=a(y-x),y˙=bx-xz+u2,z˙=4x2-cz,(23)通过计算可得,当u2=x(z-k)(k满足式(16))时,系统(23)在点(0,0,0)渐近稳定。2.2初始状态的数值模拟设a=10+sin2t,b=40+2cos5t和c=2.5+0.2cos8t。取ε1=4,p=5/9,将以上参数代入式(16)可求得k的取值范围:47.7160<k<57.2222。选取k=52,可得r<1。取r=0.0001,h=0.01,c¯^(0)=1,系统的初始状态为[x(0),y(0),z(0)]=[10,-10,10]。系统(10)在式(20)、(21)的控制输入下渐近稳定于点(0,0,52),数值模拟结果如图1所示。系统(23)在u2=x(z-k)的控制输入下渐近稳定于点(0,0,0),数值模拟结果如图2所示。当t→∞时,自适应控制变量趋向于某一有界固定值,数值模拟结果