一类不确定非线性系统的自适应跟踪控制

一类不确定非线性系统的自适应跟踪控制

自适应控制已成为现代自动控制领域最先进的研究领域之一。这项研究的对象是在一定程度上不确定的系统。在实际应用中，非线性系统的精确建模非常困难，因此不确定系统是常见的。在处理这些系统的方法上，一种更成功的方法是自适应反演设计方法，并获得了多项研究成果。随着时间的推移，系统的自适应不确定性越来越紧密，单个未知参数扩展到多个。随着文献研究中引入的不确定性系统的自适应和分散性回归，跟踪误差以指数速度收敛到零的小相邻。为了跟踪验证，使用二次非线性系统的自适应和静态，在变化的情况下，跟踪误差的平方逐渐收敛为零。上述研究包括了具有不同控制增益的系统，无论是相位还是相位都是不规则的。如果参数周期的自适应规则是相似的，则误差平面的积分范围在周期0的范围内逐渐收敛。上述研究包括高度线性系统的自适应重复学习控制，该系统的跟踪误差在误差平方范的意义上逐渐收敛到零。在文献研究中，包括未知参数的高级非线性系统的自适应重复学习控制，以便在误差的平方范的意义上收敛到零。在变化时间的推移，由于未知函数的函数和符号的已知，误差收集尼基是不一致的。因此，系统的过度填充比控制系数的校正值更好。本文研究了一类高阶不确定系统的自适应控制,其中控制增益是未知的,且系统不确定性包括时不变未知参数和时变函数.当系统有时变未知参数时,先前的研究要釆用饱和控制才能使跟踪误差趋于零,而通常控制方法不能保证跟踪误差趋于零.本文结合反步设计法,对含有时变未知参数的高阶系统提出提了一种自适应控制方法,不采用饱和控制就可保证跟踪误差可收敛于零.1自适应控制目标考虑高阶不确定非线性系统式中x=(x1,x2…,xn)T∈Rn是系统可测状态,u、y∈R分别是系统的输入和输出,φi(x1,…,xi)是已知函数,θ∈Rp是未知常参数向量,σ是未知常数,不失一般性,设σ>0,w(t)是周期为T的连续未知函数,代表系统的未知周期扰动.对系统(1)作如下假设:假设1φi(x1,…,xi)已知,关于变量(x1,…,xi)的n-i阶偏导数存在且连续.假设2扰动增益ξ(x,t)有界.假设3期望信号yd(t)及其直至n阶导数在上[0,+∞)连续且有界.这里,假设扰动增益ξ(x,t)有界是为了使问题简化.当其无界时,加上一些适当条件,仍然可以考虑.控制目标是:给定的参考信号yd(t),设计一个自适应控制律,使跟踪误差收敛于零.2为简化表迖式,记ˉxi=(x1,x2,⋯,xi)Τˉyd,i(t)=(yd(t),y(1)d(t),⋯,y(i)d(t))Τ(2)i=1,2,…,n设其中αi-1(ˉxi-1,ˆθ,ˉyd,i-1(t))是待定函数.下面我们根据文献的方法,递推地确定αi-1(ˉxi-1,ˆθ,ˉyd,i-1(t)).设α1=-ce1-φΤ1(x1)ˆθ+y(1)d(t)τ1=0,δ1=e1φ1(x1)(4)假设τi,δi,αi,1≤i<n,已确定.则定义τi+1=τi+Δτiδi+1=δi+Δδiαi+1=Δαi+1-cei+1-(φi+1-i∑j=1∂αi∂xjφj)Τˆθ+i∑j=1∂αi∂xjxj+1+i∑j=0∂αi∂r(j)r(j+1)(5)其中Δτi=ei+1Γ-1∂αi∂ˆθ,Δδi=ei+1(φi+1-i∑j=1∂αi∂xjφj)Δαi+1=(∂αi∂ˆθ)ΤΓ-1δi+1+(φi+1-i∑j=1∂αi∂xjφj)Τ⋅(τi+1-ei+1Γ-1∂αi∂ˆθ)(6)构造Lyapunov函数Vn-1=12n-1∑i=1e2i+12˜θΤΓ-1˜θ(7)其中Γ为对称正定矩阵.根据文献的结果,在式(3)、(5)、(6)的定义下,我们有˙Vn-1=-cn-1∑j=1e2j+n-1∑j=1ejej+1+(˜θ+τn-1)Τ(δn-1-Γ-1˙ˆθ)(8)另外,直接计算可知,˙en=σu+φΤn(x)θ+ξΤ(x,t)w(t)-n-1∑j=1∂αn-1∂xj⋅(xj+1+φΤjθ)-∂αn-1∂ˆθ˙ˆθ-n-1∑j=0∂αn-1∂y(j)dy(j+1)d=σu+ξΤ(x,t)w(t)+(φn-n-1∑j=1∂αn-1∂xjφj)Τθ-n-1∑j=1∂αn-1∂xjxj+1-∂αn-1∂ˆθ˙ˆθ-n-1∑j=0∂αn-1∂y(j)dy(j+1)d(9)构造Lyapunov函数Vn=Vn-1+12σe2n(10)则根据式(9)和(10),我们有˙Vn=˙Vn-1+1σen˙en=-cn-1∑j=1e2j+n-1∑j=1ejej+1+(˜θ+τn-1)Τ⋅(δn-1-Γ-1˙ˆθ)+1σen(ξΤ(x,t)w(t)+h(x,t)+(φn-n-1∑j=1∂αn-1∂xjφj)Τθ)+enu(11)且有h(x,t)=-n-1∑j=1∂αn-1∂xjxj+1-∂αn-1∂ˆθ˙ˆθ-n-1∑j=0∂αn-1∂y(j)dy(j+1)d设其中m(x,t)=φn-n-1∑j=1∂αn-1∂xjφj.则d(t)是未知的且以T为周期的周期函数,λ是未知常数向量,η(x,t)为已知函数.根据式(12),(11)式变为˙Vn=-cn-1∑j=1e2j+n-1∑j=1ejej+1+(˜θ+τn-1)Τ⋅(δn-1-Γ-1˙ˆθ)+enξΤ(x,t)d(t)+enηΤ(x,t)λ+enu(13)根据(13),我们提出如下反馈律u=-cen-ξΤ(x,t)ˆd(t)-ηΤ(x,t)ˆλ-∥ξ(x,t)∥2en(14)和自适应律θ^˙=Γδn-1λ^˙=η(x,t)end^(t)=d^(t-Τ)+s(t)enξ(x,t),t≥0d^(t)=0,t∈[-Τ,0)(15)其中λ^是λ的估计,d^(t)是d(t)的估计,s(t)由下式定义:s(t)={1,t≥23Τ,3Τ(t-13Τ),13Τ<t<23Τ,0,0≤t≤13Τ.(16)这里s(t)是连续时变函数,在自适应律中引入s(t),由式(15)和(16)可知,d^(t)的连续性得到了保证.我们不加证明地指出,由(1)和(14)组成的闭环系统的解x(t)、θ^(t)、λ^(t)和d^(t)在[0,+∞)上存在.3定理1考虑由(1)和(14)组成的闭环系统.设c>1,则有limt→+∞(y(t)-yd(t))=limt→+∞e1(t)=0.证明.构造新的Lyapunov函数,t≥0V=Vn+12∥λ˜∥2+12∫t-Τtd˜2(τ)dτ(17)其中Vn由式(10)定义,λ˜=λ-λ^,d˜(t)=d(t)-d^(t).对V求导得V˙=V˙n-λ˜Τλ^˙+12(d˜2(t)-d˜2(t-Τ))=-c∑i=1nei2+∑i=1n-1eiei+1+(enη(x,t)-λ^˙)Τλ˜+(θ˜+τn-1)Τ(δn-1-Γ-1θ^˙)+enξΤ(x,t)d˜(t)+12(d˜2(t)-d˜2(t-Τ))-∥ξ(x,t)∥2en2(18)根据自适应律(15),(θ˜+τn-1)Τ(δn-1-Γ-1θ^˙)=0(enη(x,t)-λ^˙)Τλ˜=0enξΤ(x,t)d˜(t)+12(d˜2(t)-d˜2(t-Τ))=enξΤ(x,t)d˜(t)-12d^(t)-d^(t-Τ)2+(-d^(t)+d^(t-Τ))Τd˜(t)=-12∥d^(t)-d^(t-Τ)∥2(19)由(18)和(19),对t≥T,得到V⋅=-c∑i=1nei2-12∥d^(t)-d^(t-Τ)∥2+∑i=1n-1eiei+1-∥ξ(x,t)∥2en2≤-(c-1)∑i=1nei2(20)由此可见,e(t)、θ˜(t)、λ˜(t)和∫t-Τtd˜2(τ)dτ在[T,+∞)上有界,而且∫Τ+∞‖e(τ)‖2dτ<+∞,其中e=(e1,e2,…,en)T.另外,根据(9),我们还看到∫t-Τt∥e˙(τ)∥2dτ在[T,+∞)上有界.因此,e(t)在[T,+∞)上一致连续.根据Barbalat引理,我们得到limt→+∞e(t)=0特别地,有limt→+∞(y(t)-yd(t))=limt→+∞e1(t)=0定理证毕.4未知干扰下仿真考虑如下不确定非线性系统x˙1=x2+θx1x˙2=σu+ξ(x,t)w(t)y=x1其中θ是未知常参数,σ是符号已知的未知常数,ξ(x,t)=2sin2t+cos2x2,w(t)是周期为T的未知干扰.仿真时:选择参考信号yd(t)=2sin(2t),这里系统的初始条件为x1(0)=0,x2(0)=0.θ=2,σ=1,w(t)=sin(πt),周期T=6s.用本文设计的控制律和自适应律,其中c=10,Γ=1,得到仿真结果,如图1.图1(a)和图1(b)分别是跟踪误差和控制输入曲线,图1(c)和图1(d)分别是d^(t)和θ^估计变化曲线.图1所得结果说